為了討論導數(shù)的存在從，人們曾反復用到連續(xù)函數(shù)的概念，但都限于對連續(xù)函數(shù)的直觀描述，而無法給出一個確切的定義?，F(xiàn)在，我們借助極限的語言來定義連續(xù)函數(shù)，首先用極限的語言來直觀地描述函數(shù)的連續(xù)性，如果說一個函數(shù)f(x)在點x₀處是連續(xù)的，那么，對于任意收斂到x₀的數(shù)列{x_n}，令y_n=f(x_n)和y₀=f(x₀)，則當數(shù)列{x_n}收斂到x₀時，函數(shù)值的數(shù)列{y_n}也收斂到函數(shù)值y₀。我們把這個描述給出一般的符號表達，就可以得到下面的定義：

稱一個函數(shù)f(x)在點x₀處是連續(xù)的，如果對于任意ε>0，都存在δ>0，使得所有滿足

|x-x₀|<δ的x均有|f(x)-f(x₀)|<ε，表示為lim(x→x₀)。稱一個函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)的，如果這個函數(shù)在這個區(qū)間上的每一個點都是連續(xù)的。

可以看到，利用符號表達，我們能夠嚴格地判斷函數(shù)地連續(xù)性了。如果要考察二次函數(shù)f(x)=x²的連續(xù)性，根據(jù)上面的規(guī)則，先固定一個點比如x₀=2，這時f(x₀)=4。因為對于任意給定的ε>0，令δ為小于ε/5的正數(shù)，那么對于(1,3)附近的所有x，只要|x-2|<δ,則必有|f(x)-4|<ε，根據(jù)定義函數(shù)f(x)=x²在x₀=2處連續(xù)。因為這個方法可以適用于任何點，因此函數(shù)f(x)=x²在整個數(shù)軸上是連續(xù)的。

我們是通過數(shù)的變化來討論函數(shù)的連續(xù)性的，這涉及了數(shù)本身的連續(xù)性，否則很難表述甚至很難想象一個變量是如何趨近一個給定的常數(shù)，很難表述也很難理解符號x→x₀的意義。所以，現(xiàn)在出現(xiàn)了一個更加本質(zhì)的問題：數(shù)軸上到底有哪些數(shù)？這些數(shù)是否是連續(xù)不斷的？如何來表示這些數(shù)？

這個問題我們將在以后的《實數(shù)理論的建立》來討論。