題目：如圖1，△ABC中，D、F在AB上，AD=BF，過(guò)D作DE∥BC，交AC于E，過(guò)F作FG∥BC交AC于點(diǎn)G．求證：BC=DE＋FG．

分析：證明一條線段等于另外兩條線段的和，常用的方法是將線段的位置平移：

（1 ）延長(zhǎng)較短線段與較長(zhǎng)線段相等；

（2） 在較長(zhǎng)線段上截取與較短線段相等的線段；

（3）將線段適當(dāng)移動(dòng)位置后進(jìn)行比較；

（4）采用其它比較方法 ，如解析法，三角 法，面積法等．

一、延長(zhǎng)較短線段與較長(zhǎng)線段相等

證法1：如圖2，延長(zhǎng)FG到H，使FH等于BC，連結(jié)C H．（關(guān)鍵證GH=DE即可）．

由作法知 FH平行且等于BC FBCH是平行四邊形 CH=BF．

在△ADE和△CHG中，CH =BF=AD ．

由CH∥AB ∠A=∠2，又∠1=∠B，∠H=∠B，所以∠1=∠H．所以△AD E≌△CHG，則DE=GH，

故BC=FG＋GH=DE＋FG．

證法2：如圖3，仍延長(zhǎng)FG到H，使GH=DE，連結(jié)CH．

（關(guān)鍵證BC=FH）．

由DE∥BC∥FG ∠1=∠2=∠3．

又AD=FB，所以AE=GC．

所以△ADE≌△CHG，（SAS）

所以∠A=∠GCH AB∥CH．

所以四邊形FBCH是平行四邊形，所以，BC=FH，

所以BC=DE＋FG．

證法3：如圖4，延長(zhǎng)DE到H，使DH=BC，連結(jié)CH．

（關(guān)鍵證FG=EH）．

由 DBCH及DH=BC．

再△AFG≌△CHE，得FG=EH．

二、恰當(dāng)?shù)貙⒕€段平移

證法4：如圖5

找EG的中點(diǎn)K，連接DK并延長(zhǎng)DK交FG的延長(zhǎng)線于H，可證得

△DEK≌△HGK DE=GH．

再證得 △ADE≌△CHG，（或證△ADK≌△CHK）

∴∠A=∠GCH

∴AB∥CH,FG∥BC

∴四邊形FBCH是平行四邊形

∴FH=BC,

所以BC=GH＋FG=DE＋FG．

證法5：如圖6．

過(guò)D作DH∥AC交BC于H，則DE=HC．不難證得△AFG≌△DBH，可得FG=BH，

所以BC＝BH＋HC＝DE＋FG．

證法6：如圖7

過(guò)F作FH∥AC交BC于H（或在BC上截取CH=FG）．

則得到平行四邊形FHCG,平行四邊形AFHE

所以，F(xiàn)G=HC,DE=BH

三、在較長(zhǎng)的線段上截取較短的線段

證法7：如圖8

在BC上截取BH=DE．不難得出△ADE≌△FBH．則∠1=∠2=∠3 FH∥AC FG=HC．

（同理可在BC上截取BH =FG．再證HC=DE）

四、利用梯形或三角形的中位線定理

題中要證的 結(jié)論系三角形的底邊BC等于梯形DFGE兩底之和，可猜想通過(guò)梯形DFGE的中位線溝通兩者之間的關(guān)系．

證法8：如圖9．

作梯形DFGE的中位線MN,則MN=(DE+FG)/2①

又AD=FB，由平行截割 定理得MN也是△ABC的中位線，

所以MN=BC/2,②

由①②知，BC=DE+FG

五、利用相似三角形的性質(zhì)和比例的性質(zhì)

題中要證的邊實(shí)質(zhì)是相似三角形的對(duì)應(yīng)邊，因此，可從相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例和比例的基本性質(zhì)入手證明．

證法9:如圖1．

①+②得

又AD=BF，所以，AD＋AF=AD＋DB=AB．

所以

即 BC=D F＋FG．

六、其它線段變換

證法10：如圖10．

作AH⊥DE于H，作FP⊥BC于P，作GQ⊥BC于Q．易證△ADH≌△FBP，△AHE≌△GQC．

DH＋HE=BP＋QC，又FG=PQ．則 BC=PQ＋BP＋QC＝FG＋DH＋HE，即BC=DE＋FG．