1

引   言

隨著科技的進(jìn)步和計(jì)算機(jī)的發(fā)展，有限元分析（FEA）技術(shù)已廣泛應(yīng)用于工程的各個(gè)領(lǐng)域，成為工程部門(mén)進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)分析，研究結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的主要手段之一。然而，由于有限元本身存在著大量理論假設(shè)，并且在建模過(guò)程中存在著結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化、材料特性不確定以及結(jié)構(gòu)連接條件失真等一系列因素，使得有限元分析模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)之間存在著必然的誤差，分析結(jié)果與實(shí)際結(jié)構(gòu)之間往往具有一定的差距。而對(duì)于實(shí)際的工程復(fù)雜結(jié)構(gòu)，這個(gè)差距可能會(huì)非常大，使得有限元分析結(jié)果很難真實(shí)地反映結(jié)構(gòu)特性，致使不能充分利用有限元技術(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行準(zhǔn)確的預(yù)示。所以，對(duì)于如何保證有限元模型的正確性和可信度，以及怎樣有效提高有限元模型工程實(shí)際預(yù)示作用，引起了國(guó)內(nèi)外仿真界的高度重視并展開(kāi)學(xué)術(shù)研究，也導(dǎo)致了有限元模型驗(yàn)證與確認(rèn)（Verification & Validation，簡(jiǎn)稱V&V）以及模型修正（Finite Element Model Updating）技術(shù)的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用。

2

有限元模型驗(yàn)證與確認(rèn)

目前，國(guó)內(nèi)外的仿真界已經(jīng)達(dá)成共識(shí)：沒(méi)有經(jīng)過(guò)驗(yàn)證的仿真模型沒(méi)有任何價(jià)值，沒(méi)有經(jīng)過(guò)可信性評(píng)估的仿真系統(tǒng)也沒(méi)有任何價(jià)值。工程實(shí)踐也表明：要想讓仿真系統(tǒng)真正具有生命力，必須對(duì)系統(tǒng)的有限元建模與仿真（Modeling&Simulation，簡(jiǎn)稱M&S）進(jìn)行可信性研究，有限元模型的可信性研究又常稱為“驗(yàn)證與確認(rèn)（Verification&Validation.簡(jiǎn)稱V&V）”。

根據(jù)美國(guó)ASME制定的V&V標(biāo)準(zhǔn)，工程CAE仿真包括Conceptual Model概念模型（物理對(duì)象的力學(xué)行為的理想化表示）、Mathematical Model數(shù)學(xué)模型（概念模型代表的力學(xué)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述）和Computational Mode計(jì)算模型（數(shù)學(xué)模型的數(shù)值實(shí)現(xiàn)）三種。而V&V流程如圖1所示：

圖1 V&V工作流程圖

• Verification（驗(yàn)證）：決定模型從一種形式轉(zhuǎn)化到另一種形式時(shí)具有足夠精度的過(guò)程；

• Validation（確認(rèn)）：在某一個(gè)特定應(yīng)用場(chǎng)景下，決定一個(gè)模型有多大程度代表了真實(shí)世界的過(guò)程。

模型驗(yàn)證與確認(rèn)的目標(biāo)是量化有限元結(jié)果的置信度，其中，模型驗(yàn)證指的是模型在從一種形式轉(zhuǎn)換到另一種形式時(shí)，具有足夠的精度，其是評(píng)估數(shù)學(xué)模型與計(jì)算機(jī)程序之間的一致性(數(shù)學(xué)問(wèn)題)；模型確認(rèn)指的是在適用的范圍內(nèi)，針對(duì)建模與仿真對(duì)象，確保建模和仿真能充分支持預(yù)定用途，具有令人滿意的精度，其是評(píng)估數(shù)學(xué)模型與真實(shí)系統(tǒng)之間的一致性(物理問(wèn)題)，且前者是后者的基礎(chǔ)。

模型驗(yàn)證與確認(rèn)除含對(duì)軟件編程技術(shù)認(rèn)證外，重點(diǎn)是討論建模中各種不確定性對(duì)模型結(jié)果響應(yīng)不確定性的影響。本報(bào)告借鑒模型驗(yàn)證與確認(rèn)的基本思想，重點(diǎn)探討有限元模型確認(rèn)的流程、以及模型確認(rèn)與模型修正之間區(qū)別與聯(lián)系。

模型確認(rèn)是從模型應(yīng)用角度評(píng)估有限元模型近似描述真實(shí)物理模型程度的方法，其目的是量化有限元模型和試驗(yàn)結(jié)果的差異，客觀評(píng)價(jià)有限元模型的可信度，從而開(kāi)發(fā)出高精度的有限元模型，減少物理試驗(yàn)。

模型確認(rèn)通過(guò)計(jì)算與試驗(yàn)兩方面的分析，對(duì)有限元模型在設(shè)計(jì)空間的響應(yīng)預(yù)報(bào)精度進(jìn)行評(píng)價(jià)和確認(rèn)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行模型修正，為進(jìn)一步的應(yīng)用提供精確可信的有限元模型以及響應(yīng)計(jì)算方法。因此，有限元模型確認(rèn)的研究目標(biāo)有兩個(gè)：一是結(jié)合有限的試驗(yàn)及分析，獲得精度可信的確定性有限元模型；二是獲得進(jìn)行下一步響應(yīng)預(yù)報(bào)所需要的計(jì)算參數(shù)。在歐美等國(guó)家，有限元仿真的校核、驗(yàn)證及發(fā)布V&V流程已經(jīng)被廣泛采用。

CATPILLAR，GE等制造企業(yè)中，CAE模型的V&V被作為部門(mén)的標(biāo)準(zhǔn)流程，任何一個(gè)CAE模型和仿真過(guò)程，必須經(jīng)過(guò)驗(yàn)證和發(fā)布后，才能進(jìn)入企業(yè)的研發(fā)流程當(dāng)中去。仿真部門(mén)用于V&V驗(yàn)證的工作量約占總工作時(shí)間的60%，而進(jìn)行CAE仿真工作的時(shí)間只占20-30%。

TOYOTA、GM、VOLVO等汽車(chē)企業(yè)，利用V&V技術(shù)驗(yàn)證CAE模型后，形成系列企業(yè)仿真標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范及模板，在車(chē)身鈑金成型、車(chē)身碰撞等昂貴的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目上，用虛擬實(shí)驗(yàn)取代了80%以上的真實(shí)實(shí)驗(yàn)，有的項(xiàng)目甚至100%取代了真實(shí)實(shí)驗(yàn)，節(jié)省了大量的成本，也大大縮短了車(chē)輛上市時(shí)間。

“戰(zhàn)神-IX”火箭是為了代替航天飛機(jī)而開(kāi)發(fā)的新一代載人火箭“戰(zhàn)神1(Ares1)”的實(shí)驗(yàn)火箭，是美國(guó)重返月球航天器之一。 NASA給與Ares-IX開(kāi)發(fā)的資金和周期都非常短暫，因此利用原有火箭型號(hào)的部分艙段進(jìn)行組裝，全箭只有Stock1和5兩個(gè)艙段是全新設(shè)計(jì)的。 因?yàn)橘Y金和周期原因，NASA大大縮減了昂貴的全箭試驗(yàn)的投入和時(shí)間周期。研究單位完全利用V&V流程進(jìn)行Ares-IX火箭的研制，在充分進(jìn)行艙段級(jí)仿真驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，直到發(fā)射前都未進(jìn)行全箭試驗(yàn)； 只在肯尼迪中心的發(fā)射臺(tái)上，最終進(jìn)行了一次全箭模態(tài)測(cè)試，結(jié)果證明與仿真結(jié)果完全吻合，確認(rèn)具備了發(fā)射條件。最終結(jié)果是，研究單位只用了過(guò)去型號(hào)1/3-1/2的資金投入以及研發(fā)周期，就成功完成了Ares-IX的研究發(fā)射工作；本次成功發(fā)射確認(rèn)了V&V流程在火箭研究上的核心地位，未來(lái)的火箭研發(fā)將完全遵循新的V&V研發(fā)流程 ?！皯?zhàn)神1(Ares1)”結(jié)構(gòu)及相關(guān)分析如圖2示意。

圖2 戰(zhàn)神火箭及相關(guān)分析示意圖

歐洲最權(quán)威的CAE組織NAFEMS每年專門(mén)組織對(duì)CAE模型V&V的培訓(xùn)，美國(guó)機(jī)械工程師協(xié)會(huì)ASME每年舉行CAE V&V座談會(huì)，并且成立了專門(mén)的V&V委員會(huì)以舉辦相關(guān)的會(huì)議并發(fā)表論文。

而我國(guó)，直到20世紀(jì)80年代才開(kāi)始建模與仿真可信性方面的討論，研究工作也比較分散，且缺乏規(guī)模。近些年來(lái)，隨著仿真技術(shù)的發(fā)展，許多單位也逐漸開(kāi)始開(kāi)展建模與仿真VV&A研究工作。例如，在“JSQM．II型飛行仿真系統(tǒng)”和“直升機(jī)旋翼自轉(zhuǎn)著陸飛行仿真系統(tǒng)”的置信度評(píng)估過(guò)程中，除對(duì)殲擊機(jī)的螺旋、復(fù)雜特技飛行狀態(tài)下仿真模型和直升機(jī)旋翼自轉(zhuǎn)下滑飛行狀態(tài)仿真摸型進(jìn)行了置信度評(píng)估，還應(yīng)用V&V過(guò)程模型對(duì)各子系統(tǒng)特性進(jìn)行了評(píng)估，為評(píng)價(jià)飛行仿真系統(tǒng)的功能和性能提供了科學(xué)的評(píng)價(jià)依據(jù)，減少了飛行仿真系統(tǒng)調(diào)試時(shí)間近20％，保證了飛行仿真系統(tǒng)的高逼真度的要求。

2.1  有限元模型修正

有限元模型修正的工程概念是：利用靜動(dòng)載荷試驗(yàn)結(jié)果（頻率、振型、應(yīng)變、位移等）修改理論有限元模型的剛度、質(zhì)量、邊界約束、幾何尺寸等參數(shù)，在保證模態(tài)參數(shù)自身精度的前提下，使修正后的有限元模型結(jié)果趨于試驗(yàn)值。

有限元模型修正是從動(dòng)力學(xué)問(wèn)題發(fā)起的，這方面的研究可以追溯到20世紀(jì)60年代，經(jīng)過(guò)五十多年的發(fā)展，有限元模型修正技術(shù)已廣泛應(yīng)用于航空、航天、土木、機(jī)械、鐵路、汽車(chē)等工程領(lǐng)域，并形成了一系列有限元模型修正技術(shù)并發(fā)展了多種模型修正方式。而從不同的模型修正角度出發(fā)，大致可以進(jìn)行以下劃分：

（1）按照模型修正對(duì)象分類，可分為矩陣型和設(shè)計(jì)參數(shù)型兩大類。

（2）根據(jù)結(jié)構(gòu)修正的范圍，可分為整體修正法和局部修正法。整體修正法是修正整個(gè)結(jié)構(gòu)的參數(shù)或整個(gè)系統(tǒng)矩陣，局部修正法只是對(duì)局部參數(shù)進(jìn)行修正。

（3）按照計(jì)算方法分類，可分為直接法、迭代法和組合法。直接法就是根據(jù)一定的數(shù)學(xué)關(guān)系，一次計(jì)算得到修正模型；迭代法指要通過(guò)多次迭代計(jì)算才能獲得修正；組合法是上述兩種方法組合使用。

（4）按照參考基內(nèi)模態(tài)空間的完備性分類，可分為非完備空間法和實(shí)用完備空間法。非完備空間法僅含測(cè)量模態(tài)，實(shí)用完備空間法指測(cè)量模態(tài)加等效高階理論模態(tài)。

（5）按照模型修正利用的測(cè)試信息分類，可分為兩類，一類是利用動(dòng)力測(cè)試數(shù)據(jù)的動(dòng)力識(shí)別法，可稱為基于動(dòng)力的有限元模型修正；另一類是利用靜力測(cè)試數(shù)據(jù)的靜力識(shí)別法，還可以是聯(lián)合靜動(dòng)力測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行有限元模型修正。

本報(bào)告主要對(duì)按照測(cè)試信息分類的動(dòng)力學(xué)模型修正和靜力學(xué)模型修正技術(shù)進(jìn)行了詳細(xì)介紹。

2.1.1  基于動(dòng)力有限元模型修正

基于動(dòng)力的有限元模型修正方法根據(jù)修正基的不同，可以分為基于模態(tài)參數(shù)的模型修正和基于頻響函數(shù)（Frequency Response Function，F(xiàn)RF）的模型修正兩大類，而根據(jù)修正對(duì)象的不同又分為矩陣修正方法和設(shè)計(jì)參數(shù)修正方法。

（1）    矩陣型修正方法

矩陣型有限元模型修正法是對(duì)有限元模型的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣進(jìn)行直接修正，使修正后的有限元模型的分析結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果保持一致。矩陣型修正方法的基本思想是：假定原始的動(dòng)力模型與“真實(shí)”結(jié)構(gòu)模型間存在差異，然后，在滿足特征方程的條件下利用最小二乘法直接對(duì)有限元模型的質(zhì)量、剛度矩陣等進(jìn)行修正。其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單，可用于修改量較大的情況，另外還可以發(fā)現(xiàn)和修正某些錯(cuò)誤，如單元網(wǎng)格劃分、邊界條件確定以及某些建模錯(cuò)誤；而其缺點(diǎn)是修正后的系統(tǒng)矩陣沒(méi)有明確的物理意義，由此還破壞了原系統(tǒng)矩陣的對(duì)稱、帶狀特征，給后續(xù)計(jì)算帶來(lái)巨大的困難。

（2）    設(shè)計(jì)參數(shù)型修正方法

設(shè)計(jì)參數(shù)型模型修正是對(duì)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)，如材料的彈性模量，質(zhì)量密度，截面積，彎曲、扭轉(zhuǎn)慣量等參數(shù)進(jìn)行修正。

參數(shù)型修正方法的基本思路與結(jié)構(gòu)優(yōu)化理論相似，即把理論和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)之間的誤差作為目標(biāo)函數(shù)，改變事先選定的有限元模型的物理參數(shù)使得目標(biāo)函數(shù)最小化，通過(guò)基于靈敏度分析的優(yōu)化方法得到優(yōu)化解，達(dá)到有限元模型修正的目的。參數(shù)型模型修正的優(yōu)點(diǎn)是能保持原模型系統(tǒng)矩陣的對(duì)稱帶狀特征，修正結(jié)果具有明確的物理意義，便于實(shí)際結(jié)構(gòu)分析計(jì)算，并與其它結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程兼容，因而實(shí)用性較強(qiáng)，其主要缺點(diǎn)是計(jì)算過(guò)程復(fù)雜。

2.1.2  基于靜力有限元模型修正

靜力有限元模型修正是用在彈性范圍內(nèi)的結(jié)構(gòu)試驗(yàn)所測(cè)得的較精確的靜力試驗(yàn)數(shù)據(jù)(如位移和應(yīng)變)對(duì)結(jié)構(gòu)的有限元模型加以修正使之成為正確可靠的數(shù)學(xué)模型，以達(dá)到進(jìn)行靜力分析的目的。靜力模型修正的關(guān)鍵是：待修正參數(shù)的選擇、優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造、優(yōu)化算法選取以及參數(shù)靈敏度分析等。

基于靜力的有限元模型修正方法主要可以分為?；陟`敏度分析的方法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法和遺傳算法等。于靜力的模型修正方法涉及的主要問(wèn)題有多工況測(cè)試響應(yīng)、測(cè)試數(shù)據(jù)與修正參數(shù)之間的相關(guān)性分析、修正誤差分析等。

與基于動(dòng)力的有限元模型修正的發(fā)展與運(yùn)用對(duì)比，基于靜力的有限元模型修正方法的研究和應(yīng)用相對(duì)少一些，在實(shí)際結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用就更少。而由于本項(xiàng)目主要分析類型為靜力分析，本報(bào)告后面將結(jié)合現(xiàn)有的一些文獻(xiàn)資料對(duì)靜力學(xué)模型修正的方法進(jìn)行闡述。

結(jié)合模型確認(rèn)的定義和目標(biāo)來(lái)分析模型修正和模型確認(rèn)之間的區(qū)別和聯(lián)系。模型修正是用來(lái)是使模型計(jì)算結(jié)果與已有試驗(yàn)數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)一致的，換句話說(shuō)，是對(duì)原有有限元模型的參數(shù)進(jìn)行修正，使之能正確重現(xiàn)試驗(yàn)結(jié)果，而非確定模型預(yù)示結(jié)果的精度。模型確認(rèn)與模型修正不同，其基本思想是：在進(jìn)行部分試驗(yàn)并考慮不確定性的基礎(chǔ)上，對(duì)模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)。若不考慮結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中計(jì)算與試驗(yàn)的隨機(jī)誤差和參數(shù)誤差，不考慮對(duì)試驗(yàn)驗(yàn)證范圍以外進(jìn)行預(yù)報(bào)，只對(duì)模型主要參數(shù)進(jìn)行校準(zhǔn)，結(jié)構(gòu)的模型確認(rèn)就是模型修正。因此，模型修正是模型確認(rèn)的一個(gè)實(shí)例，模型確認(rèn)是模型修正的發(fā)展。

由此可以看出，模型修正是模型確認(rèn)中的關(guān)鍵步驟，模型修正結(jié)果的精度直接影響模型確認(rèn)結(jié)果的好壞，因此本報(bào)告下文將對(duì)基于靜力有限元模型修正的方法做詳細(xì)介紹。

3

基于靜力有限元模型修正理論和方法

3.1  基于靜力有限元模型修正原理

基于靜力的有限元模型修正方法的基本原理是：在建立結(jié)構(gòu)的有限元模型之后，基于結(jié)構(gòu)靜力載荷試驗(yàn)的實(shí)測(cè)結(jié)果數(shù)值，通過(guò)迭代優(yōu)化計(jì)算，不斷調(diào)整結(jié)構(gòu)有限元模型的參數(shù)，如幾何特征、材料屬性、網(wǎng)格尺寸等參數(shù)，使得結(jié)構(gòu)有限元模型計(jì)算的靜力響應(yīng)與結(jié)構(gòu)實(shí)測(cè)靜力響應(yīng)之間的差異最小，也就是使得修正后的結(jié)構(gòu)有限元模型在靜力受力-變形關(guān)系上接近于結(jié)構(gòu)靜力載荷測(cè)試結(jié)果，從而實(shí)現(xiàn)基于靜力的有限元模型參數(shù)修正?；陟o力試驗(yàn)數(shù)據(jù)的有限元模型修正的技術(shù)流程如圖3所示。

圖3 有限元模型修正流程

模型修正研究的關(guān)鍵問(wèn)題有：

（1）    計(jì)算/試驗(yàn)相關(guān)性分析；

（2）    模型與試驗(yàn)不確定性量化與傳遞分析；

（3）    參數(shù)靈敏度分析；

（4）    基于快速運(yùn)算模型的模型修正。

基于靜力的有限元模型修正理論可轉(zhuǎn)化為對(duì)公式優(yōu)化問(wèn)題的求解：

式中：X 為待修正的結(jié)構(gòu)有限元模型關(guān)鍵力學(xué)性能參數(shù)集；Xu 、Xl 為結(jié)構(gòu)有限元模型參數(shù)集X上下限（合理的結(jié)構(gòu)參數(shù)取值范圍），是優(yōu)化問(wèn)題的約束條件。F（X）為反映根據(jù)結(jié)構(gòu)有限元模型計(jì)算得到的靜力響應(yīng)與結(jié)構(gòu)實(shí)測(cè)響應(yīng)差異的指標(biāo)函數(shù)向量，是優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)。

根據(jù)結(jié)構(gòu)形式、測(cè)試荷載工況及測(cè)試響應(yīng)信息類型的不同，目標(biāo)函數(shù)F（X）有多種構(gòu)造形式，一般可表示為公式式：

式中：TEST 是結(jié)構(gòu)靜力荷載試驗(yàn)的實(shí)測(cè)響應(yīng)，F(xiàn)EM（P，X）是與TEST 對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)有限元模型計(jì)算靜力響應(yīng)、可通過(guò)結(jié)構(gòu)有限元計(jì)算分析獲得，P 為結(jié)構(gòu)靜力試驗(yàn)的荷載。 F（X）為單個(gè)函數(shù)時(shí)，為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。F（X）為函數(shù)向量集時(shí)，為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。

3.1  基于靜力有限元模型修正流程

有限元模型修正的參數(shù)型修正方法的實(shí)現(xiàn)是一個(gè)迭代的過(guò)程，主要包括以下步驟：初始有限元建模、有限元分析、試驗(yàn)建模及分析、參數(shù)選擇、靈敏度分析、相關(guān)性分析、誤差判斷、收斂判斷等。

由圖的有限元模型修正的一般流程可知，有限元模型修正流程可表述為以下五個(gè)步驟：

(1)按照設(shè)計(jì)圖紙和相關(guān)規(guī)范建立結(jié)構(gòu)的初始有限元模型，其中的某些參數(shù)(如載荷大小、結(jié)構(gòu)尺寸、彈性模量等)的初始值也可以采用現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)量測(cè)值。

(2)對(duì)初始有限元模型進(jìn)行計(jì)算分析。

(3)對(duì)主要設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，確定那些對(duì)結(jié)構(gòu)行為影響比較大的，選擇其作為待修正參數(shù)，并且將其初始化。

(4)進(jìn)行有限元分析后處理，得到修正后的有限元模型的計(jì)算位移/應(yīng)力，并與靜載試驗(yàn)的實(shí)測(cè)值進(jìn)行比較，代入目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

(5)判斷目標(biāo)函數(shù)和結(jié)構(gòu)的反應(yīng)是否滿足要求，若滿足要求則所采用的計(jì)算參數(shù)就是最優(yōu)的參數(shù)值并結(jié)束修正過(guò)程，若不滿足要求則改變參數(shù)值返回第二步進(jìn)行循環(huán)迭代分析，直到滿足要求為止。

4

有限元模型修正幾個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題

4.1  有限元模型誤差來(lái)源分析

結(jié)構(gòu)有限元分析模型通常根據(jù)設(shè)計(jì)圖紙和標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范構(gòu)造，隱含理想化假定或簡(jiǎn)化，與結(jié)構(gòu)實(shí)際的狀況存在差異，結(jié)構(gòu)有限元分析模型計(jì)算的結(jié)構(gòu)響應(yīng)與實(shí)測(cè)響應(yīng)之間不可避免地存在一定偏差引。國(guó)內(nèi)外專家總結(jié)了在有限分析過(guò)程中，可能有各種各樣的誤差存在，而這些誤差是影響仿真精度的直接原因。在整個(gè)有限元分析過(guò)程及誤差存在形式如圖5所示：

圖5 有限元結(jié)構(gòu)分析流程及誤差因素

（1）誤差A(yù)-理想化誤差

理想化誤差是工作模型反映真實(shí)系統(tǒng)必要特征好壞的度量。該類誤差是可控制的。理想化誤差出現(xiàn)的主要原因有：

1)   拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，如忽略圓角，小孔等 ；

2)   材料屬性簡(jiǎn)化；

3)   載荷和約束條件簡(jiǎn)化；

4)   忽略平衡變形的影響，小應(yīng)變和彈性小變形理論；

5)   模型維數(shù)縮減，使用梁、板或殼模型模擬三維實(shí)體等 。

（2）誤差B-離散誤差

離散誤差是度量數(shù)值解和工作模型精確解之間差異的尺度。離散誤差屬于良性誤差，是可控制的。

1)   細(xì)化網(wǎng)格：h-型有限元法（h-FEM）；

2)   增加單元多項(xiàng)式次數(shù)：p-型有限元法 （p-FEM）；

3)   細(xì)化網(wǎng)格同時(shí)增加單元多項(xiàng)式次數(shù)：hp-型有限元法 （ph-FEM）。

（3）誤差C-概念誤差

概念誤差是指由于錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)輸入引起的誤差。包括：

1)   使用點(diǎn)力或點(diǎn)約束，該點(diǎn)的應(yīng)變能趨于無(wú)窮。由此超出容許函數(shù)范圍；

2)   關(guān)心的數(shù)據(jù)為無(wú)窮或等于0，當(dāng)目標(biāo)是計(jì)算最大應(yīng)力時(shí)，忽略了圓角。

（4）誤差D-判斷誤差

判讀誤差是指由于缺少必要的專業(yè)知識(shí)或軟件工具。缺少質(zhì)量控制信息，導(dǎo)致對(duì)結(jié)果的解釋性錯(cuò)誤。判讀誤差包括：

1)   在網(wǎng)格中忽略了圓角而計(jì)算最大應(yīng)力；

2)   沒(méi)有判斷誤差容限是否被超過(guò)的可靠指標(biāo)而接受了計(jì)算信息；

3)   將總體誤差估計(jì)應(yīng)用于所有感興趣的數(shù)據(jù)。

（5）誤差E-試驗(yàn)誤差

試驗(yàn)誤差指因非處理因素的偶然干擾和影響而造成的試驗(yàn)結(jié)果與真值的偏差。試驗(yàn)設(shè)計(jì)與統(tǒng)計(jì)分析關(guān)系密切?？蛇\(yùn)用統(tǒng)計(jì)原理指導(dǎo)試驗(yàn)設(shè)計(jì)以降低試驗(yàn)誤差。又用統(tǒng)計(jì)方法處理試驗(yàn)結(jié)果．以合理地估計(jì)試驗(yàn)誤差，從而提高試驗(yàn)的精確性。試驗(yàn)誤差分析方式見(jiàn)下文。

（6）誤差F-程序誤差

因有限元應(yīng)用程序錯(cuò)誤而導(dǎo)致數(shù)值結(jié)果產(chǎn)生偏離。應(yīng)用程序錯(cuò)誤屬于軟件工程 VV&A（驗(yàn)證、確認(rèn)&發(fā)布）范疇，而對(duì)于廣大工程應(yīng)用，在進(jìn)行有限元仿真時(shí)認(rèn)為應(yīng)用程序是正確的。

有限元模型的修正過(guò)程，實(shí)際上也就是利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)作為分析依據(jù)，分析有限元模型分析及縮減誤差的過(guò)程。

4.2  基于靜力試驗(yàn)誤差分析

試驗(yàn)數(shù)據(jù)一般地反映了結(jié)構(gòu)真實(shí)受力狀態(tài)，所以在模型修正工作中，將其作為真理的標(biāo)準(zhǔn)。但是，由于種種原因，數(shù)據(jù)也會(huì)存在失真現(xiàn)象或在某個(gè)區(qū)段的數(shù)據(jù)失真現(xiàn)象。既然要作為比較的標(biāo)準(zhǔn)，首先應(yīng)該對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行必要的篩選和確認(rèn)，這是十分必要的，否則，錯(cuò)誤的實(shí)測(cè)值會(huì)誤導(dǎo)模型修正的工作。

本文以某燃料儲(chǔ)箱在內(nèi)壓載荷作用下的徑向變形為例，如表1所示，介紹位移從測(cè)試值的篩選和可用數(shù)據(jù)的生成。首先，對(duì)于儲(chǔ)箱的每個(gè)位移測(cè)量點(diǎn)在各級(jí)載荷下的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性度檢查，剔除線性度較差和上下跳動(dòng)的單點(diǎn)位移數(shù)據(jù)，其次，對(duì)那些線性度不太好的點(diǎn)進(jìn)行如圖6所示的數(shù)據(jù)擬合修正，確定修正后的可用試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

表1 燃料儲(chǔ)箱在內(nèi)壓載荷作用下的修正前后徑向變形梁

圖6 測(cè)點(diǎn)位移修正

4.3  仿真試驗(yàn)數(shù)據(jù)相關(guān)性分析

有限元模型修正就是根據(jù)某種判斷準(zhǔn)則來(lái)比較修正后的有限元模型分析結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果是否接近。因此，有限元模型修正首先要考慮的就是有限元模型和試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷南嚓P(guān)性分析。

相關(guān)性判斷準(zhǔn)則通過(guò)定義某個(gè)數(shù)值來(lái)比較和檢驗(yàn)有限元模型和試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭g的差別程度。通常把試驗(yàn)?zāi)Ｐ彤?dāng)作參考基準(zhǔn)，如果獲得的有限元模型和試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷撵o力特性差異小于所規(guī)定的界限，則認(rèn)為有限元模型正確。相反，如果兩者差異較大，但整體相關(guān)性較好，就有必要對(duì)有限元模型進(jìn)行修正，使兩種模型的誤差達(dá)到可以接受的范圍。

靜力特性仿真與試驗(yàn)之間的相關(guān)性，主要是實(shí)測(cè)位移和應(yīng)變之間的相關(guān)性，一般通過(guò)他們之間的誤差百分比來(lái)定義。位移的相關(guān)性微粒，如果假設(shè) Uti和Uai分別表示為結(jié)構(gòu)的第i個(gè)位移的試驗(yàn)測(cè)試值和有限元模型計(jì)算值，那么它們之間的相關(guān)程度常用以下的百分比Eui來(lái)表示：

根據(jù)以上的分析，如在某工況下，選取模型的計(jì)算值為Uai，試驗(yàn)測(cè)試值即修正目標(biāo)為Uti，可以定義靜力修正約束為：

其中ε為測(cè)點(diǎn)位置處位移允許誤差。應(yīng)變位差計(jì)算方式，同位移誤差分析方式一致，不再贅述。

4.4  模型修正參數(shù)選取

目前，修正參數(shù)的選取通常有兩種方法：根據(jù)工程師的經(jīng)驗(yàn)選??；根據(jù)參數(shù)的靈敏度分析選取，或者綜合考慮兩種方法。

選取合適的修正參數(shù)有兩個(gè)基本原則：一是修正參數(shù)不易太多，由于結(jié)構(gòu)的實(shí)測(cè)信息有限，參數(shù)太多會(huì)造成求解困難；二是選擇靈敏度高并且能夠反映結(jié)構(gòu)損傷位置的參數(shù)，因?yàn)樾拚慕Y(jié)構(gòu)很大程度上是由靈敏度高的參數(shù)決定的，若是選擇靈敏度低的參數(shù)，會(huì)導(dǎo)致有限元模型修正的誤差。

（1）   經(jīng)驗(yàn)法

工程中的有限元模型通常是有限元工程師根據(jù)設(shè)計(jì)圖紙和標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范建立的，在建模的過(guò)程中一些簡(jiǎn)化參數(shù)或不確定因素，都可以被選為修正參數(shù)。這些在經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的參數(shù)選擇被認(rèn)為是正確的，能夠準(zhǔn)確地反映初始模型的誤差原因。但實(shí)際的情況是，引起誤差的因素是的很多的，并且并不是每個(gè)建模細(xì)節(jié)都可以考慮到，況且每個(gè)工程師擁有的經(jīng)驗(yàn)又不盡相同，所以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)法選取的參數(shù)不一定是有限元模型修正的主要參數(shù)，故大多數(shù)使用的還是靈敏度法。

（2）   基于靈敏度的方法

在實(shí)際工程中，靈敏度分析多采用數(shù)值或統(tǒng)計(jì)方法。靈敏度分析通常采用直接求導(dǎo)法，該方法通過(guò)將特征值和特征向量看成多元目標(biāo)函數(shù)，然后求導(dǎo)而得出某一參數(shù)目標(biāo)函數(shù)的靈敏度函數(shù)。靈敏度的數(shù)學(xué)意義可理解為：如果多元函數(shù)對(duì)自變量的偏導(dǎo)數(shù)存在，則一階靈敏度為多元函數(shù)對(duì)自變量的一階偏導(dǎo)或差分；若特征值為λ，參數(shù)為p，則一階偏導(dǎo)或差分可表示為：

前者為一階微分靈敏度，后者為一階差分靈敏度。靈敏度法的優(yōu)點(diǎn)是：物理意義清晰、計(jì)算方便并推導(dǎo)簡(jiǎn)單，可以從一階擴(kuò)展到高階靈敏度，用于結(jié)構(gòu)參數(shù)變化范圍較大的情況，所以被廣泛的應(yīng)用。

基于靈敏度分析的參數(shù)選取方法，是在靈敏度分析的基礎(chǔ)上，選擇靈敏度較高的參數(shù)作為有限元模型修正的參數(shù)。但是，有些靈敏度高的參數(shù)并不一定是實(shí)際發(fā)生變化的參數(shù)，這樣就會(huì)造成模型修正的不合理。所以，在靈敏度分析的基礎(chǔ)上，應(yīng)該結(jié)合經(jīng)驗(yàn)法，根據(jù)工程師的經(jīng)驗(yàn)合理正確的選擇靈敏度高的修正參數(shù)才能得到較為滿意的分析結(jié)果。

4.5  模型修正目標(biāo)函數(shù)選取

目標(biāo)函數(shù)的選取，關(guān)系到有限元模型修正成功與否。目前，按照目標(biāo)函數(shù)的數(shù)目，有限元模型修正的方法可分為兩種：一是單目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化修正，二是對(duì)目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化修正。

比較常用的是單目標(biāo)優(yōu)化的函數(shù)的有限元模型修正。在有限元模型修正應(yīng)用和研究的過(guò)程中，提出了各種目標(biāo)函數(shù)，而可用于靜力有限元模型修正的參數(shù)是位移和應(yīng)變。

通常，靜力有限元模型修正是以有限元模型的位移結(jié)果作為修正目標(biāo)，而為了全面反映結(jié)構(gòu)承載后的變形情況，往往給結(jié)構(gòu)施加多種荷載，測(cè)量不同載荷作用下的結(jié)構(gòu)變形，每種載荷作用下可以取多個(gè)特征點(diǎn)，以保證有限元模型修正的準(zhǔn)確性。

假定某一級(jí)荷載作用下的某個(gè)特征點(diǎn)的計(jì)算位移為fai，測(cè)試值為fti，如果以位移作為目標(biāo)函數(shù)，則可以構(gòu)造如下目標(biāo)函數(shù)：

4.6  模型修正優(yōu)化算法選取

當(dāng)選取了修正參數(shù)和修正目標(biāo)以后，有限元模型修正問(wèn)題就變?yōu)榻Y(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化的問(wèn)題。有限元模型修正就是根據(jù)結(jié)構(gòu)的靜力試驗(yàn)特性作為目標(biāo)函數(shù)，然后經(jīng)過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)程序，以最簡(jiǎn)捷的搜索方法得到變量的取值，使理論值和實(shí)測(cè)值的差異趨于最小。其中零階優(yōu)化方法和一階優(yōu)化方法是兩種處理大多數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的常用方法。

（1）   零階方法(Zero．order method)

零階算法是在一定次數(shù)的抽樣基礎(chǔ)上，擬合設(shè)計(jì)變量、狀態(tài)變量和目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)函數(shù)，從而尋求最優(yōu)解,顧又可稱其為子問(wèn)題方法。函數(shù)曲線(或曲面)的形式可采用線性擬合、平方擬合或平方加交叉項(xiàng)擬合。若采用平方擬合,則目標(biāo)函數(shù)的擬合公式為:

對(duì)于設(shè)計(jì)變量和狀態(tài)變量的約束條件，可采用罰函數(shù)將其轉(zhuǎn)化為無(wú)約束方程，從而將帶有約束的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成無(wú)約束的最小值求解問(wèn)題，方程如下式：

上式中，xi為設(shè)計(jì)變量，為狀態(tài)變量，X、G、H、W為對(duì)應(yīng)的罰函數(shù)。f0為目標(biāo)函數(shù)的參考值，pk為響應(yīng)面參數(shù)。

（1）   一階方法(First．order method)

一階方法在優(yōu)化過(guò)程中需要使用狀態(tài)變量和目標(biāo)函數(shù)對(duì)于設(shè)計(jì)變量的偏導(dǎo)數(shù),因此被稱為一階方法。采用與零階算法類似的方式,可將約束條件轉(zhuǎn)化為罰函數(shù),并將無(wú)約束目標(biāo)函數(shù)分作目標(biāo)函數(shù)和懲罰函數(shù)兩部分,如下式所示。

5

有限元模型修正軟件介紹

近三十年來(lái)，雖然有限元模型修正技術(shù)得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，但大多數(shù)有限元模型修正算法依然停留在理論推導(dǎo)的層面，少數(shù)算法對(duì)特定的實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行了應(yīng)用，但是還沒(méi)能生成非常通用的有限元模型修正軟件。

目前，市場(chǎng)已比較成熟有的有限元模型修正工具是AMEND和Femtools，以及北京安懷信公司正在開(kāi)發(fā)的SimV&Ver軟件。其中，AMEND和FemTools都是動(dòng)力學(xué)模型修正軟件，主要對(duì)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)修正，包括復(fù)模態(tài)分析、頻率響應(yīng)函數(shù)FRF分析、諧響應(yīng)分析和結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)修正等。而北京安懷信公司正在開(kāi)發(fā)的SimV&Ver軟件，是基于V&V標(biāo)準(zhǔn)要求開(kāi)發(fā)的一款有限元模型驗(yàn)證與確認(rèn)軟件，其包含有限元模型修正模塊，可對(duì)有限元?jiǎng)恿W(xué)模型、有限元靜力學(xué)模型、有限元流體分析模型以及溫度場(chǎng)模型進(jìn)行有限元模型修正。

綜之，有限元模型修正技術(shù)在工程中進(jìn)行了一定的應(yīng)用，并開(kāi)發(fā)出了相應(yīng)的軟件，但這些應(yīng)用和軟件還存在很大的局限性，大多數(shù)軟件功能單一，而開(kāi)發(fā)出通用的、準(zhǔn)確方便的有限元模型修正軟件是未來(lái)發(fā)展的方向之一。

6

結(jié) 束 語(yǔ)

本報(bào)告前半部分介紹了有限元模型驗(yàn)證與確認(rèn)及有限元模型修正的定義、理論、方法和發(fā)展，以及有限元模型修正和模型確認(rèn)之間的區(qū)別和聯(lián)系。模型修正是用來(lái)是使模型計(jì)算結(jié)果與已有試驗(yàn)數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)一致的，是對(duì)原有有限元模型的參數(shù)進(jìn)行修正，使之能正確重現(xiàn)試驗(yàn)結(jié)果，而非確定模型預(yù)示結(jié)果的精度。有限元模型修正根據(jù)試驗(yàn)測(cè)試信息分類可分為動(dòng)力學(xué)模型修正和靜力學(xué)模型修正。而模型確認(rèn)在進(jìn)行部分試驗(yàn)并考慮不確定性的基礎(chǔ)上，對(duì)模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)。若不考慮結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中計(jì)算與試驗(yàn)的隨機(jī)誤差和參數(shù)誤差，不考慮對(duì)試驗(yàn)驗(yàn)證范圍以外進(jìn)行預(yù)報(bào)，只對(duì)模型主要參數(shù)進(jìn)行校準(zhǔn)，結(jié)構(gòu)的模型確認(rèn)就是模型修正。因此，模型修正是模型確認(rèn)的一個(gè)實(shí)例，模型確認(rèn)是模型修正的發(fā)展。

本報(bào)告后半部分則重點(diǎn)介紹了有限元靜力模型修正的原理和一般流程，以及有限元模型分析過(guò)程中的幾個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，包含有限元模型的誤差來(lái)源分析、基于靜力試驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差分析、仿真試驗(yàn)相關(guān)性分析、模型修正參數(shù)選取、模型修正目標(biāo)函數(shù)選取、以及模型修正優(yōu)化算法選取等，報(bào)告的最后對(duì)有限元模型修正軟件現(xiàn)狀和未來(lái)發(fā)展方向做了概述。

同時(shí)需要指出的是，有限元模型修正，最終是希望修正構(gòu)成模型的參數(shù)（包括幾何、物理參數(shù)）。試驗(yàn)測(cè)試值提示你可能哪些元素參數(shù)取得不當(dāng)，我們的任務(wù)是進(jìn)一步去確認(rèn)和修改那些在建模過(guò)程中所選取的不合理的參數(shù)，但必須強(qiáng)調(diào)指出要忠實(shí)于實(shí)際結(jié)構(gòu)，特別要防止脫離實(shí)際結(jié)構(gòu)隨便更改參數(shù)去湊“答案”的做法，所有的修正都要做到“有理、有椐、反映客觀實(shí)際”，這是模型修正工作中的最基本原則。

#The End #