長久以來，“隨機”的問題就令人著迷。從史前時代起，原始人就觀察到了一系列不能夠解釋、不符合常理的現象，這些現象沒有什么明顯的原因，純粹是來自大自然的“饋贈”。在最初，人們找不到什么更好的解釋，于是他們歸咎于神靈。日食、彩虹、地震、瘟疫、洪水或者彗星都被視為來自上天的神圣消息，只有那些能夠與上天“對話”的“專業(yè)人士”才能解讀。于是，這個任務往往被交給巫師、神使、祭司或者其他的薩滿，這些人會在大眾面前做一場全套的儀式（這就是他們謀生的手段），用來質問神靈，因為他們不再想等待讓這些隨機事件自己出現。換句話說，古代的人們已經開始想方設法地自己創(chuàng)造出“隨機”效果。

“孛羅芒西”（La bélomancie），或者稱之為“箭卜術”，就是非常古老的例子之一。對于想要問神的問題，將可能的各種答案寫在箭身之上，然后把這些箭放在箭筒之中，搖晃箭筒并且隨機抽取出一根：這就是神的回答。舉例來說，公元前6世紀，古巴比倫國王尼布甲尼撒二世就是用這種方法選擇他的敵人，進而發(fā)動戰(zhàn)爭。除了箭之外，人們用來抽簽的物品簡直多種多樣：小石頭、黏土片、小木棍或者彩色球。古羅馬人給這些物品起了個名字叫“離者”（sors），法語中“抽簽”（tirer au sort）一詞的字面意思就是“抽出離者”。類似的還有“ 巫術”（sortilège）一詞，這個詞的原意有兩個?質問神靈或者來自神靈的審判。

慢慢地，“抽簽隨機”的機制流傳開來，在很多的應用中都能發(fā)現它們的身影。一些政治系統(tǒng)曾經使用過它們，比如在古代的雅典，人們用這種方法選出參加眾議院五百人會議的市民，又比如，在幾個世紀之后的威尼斯，人們把這種方法用在了總督任命的程序之中?！半S機”同樣也是游戲創(chuàng)作者們的重要靈感來源。人們利用它發(fā)明了猜硬幣正反面游戲、帶編號的色子（當然還借助了柏拉圖立體的外形），甚至卡牌游戲。

正是這種能夠“傳遞神的旨意”的隨機游戲，最終吸引了一些數學家的注意力。這些數學家開始有了“玩兒轉命運測量器”的奇怪想法，通過邏輯和運算，他們研究了未來將會發(fā)生的事情的概率。

所有這一切都始于17 世紀中葉巴黎科學會?博向所有與會者提出了一個他自己構思的問題。他說，試想一下，有兩個玩家在玩兒隨機游戲并且押了錢，先贏得3局者勝出，當玩兒到2∶1的時候，游戲被中斷了，試問這兩位玩家該如何分割賭桌上的賭注？

在當日與會的所有科學家中，有兩個法國學者對這個問題產生了特別的興趣，他們是皮埃爾·德·費馬和布萊茲·帕斯卡。在幾封書信往來之后，這兩位學者最終得出的結論是，第一位玩家應該獲得四分之三的賭注，第二位玩家應該獲得四分之一的賭注。

為了得出這一結論，兩位學者演繹了假設游戲沒有被中斷的、各種可能發(fā)生的場景，然后估算了玩家1和玩家2各自的獲勝概率。于是，在假想的“下一輪”游戲中，玩家1有50%的概率獲勝，而玩家2也有50%的概率獲勝。在這種情況下，兩位玩家就需要再來一輪，而這一輪當中，兩位玩家的獲勝概率依然是相等的，也就是說，兩位玩家分別獲勝的場景都有25%的概率會發(fā)生。所有關于這個游戲“未來”的可能走向，可以用下頁的圖表來表示。

總之，我們可以看到，在未來，玩家1有75%的概率獲勝，而玩家2只有25%的概率獲勝。于是，帕斯卡和費馬一致認為，兩者應該按照同樣的比例分割賭注：玩家1拿75%，玩家2拿25%。

兩位法國學者的推論過程可以說非常富有成效， 大部分博弈游戲（ 概率游戲） 都能夠用這種方法來檢驗。瑞士數學家雅各布· 伯努利是第一批緊跟帕斯卡和費馬腳步的學者之一， 他在17 世紀尾聲的時候撰寫了《猜度術》（Ars Conjectandi ）一書，這本書在1713 年伯努利死后出版。在這本書中，伯努利分析了經典博弈游戲，并且首度提出了概率論中的基本原則之一：大數定律。

這條定律確認了，在隨機試驗中，我們重復的次數越多，結果的平均值就越明顯，并且趨近于一個極限值。換句話說，從長期來看，即使是最復雜的隨機，最終都會產生一個平均行為，因此，所謂的“隨機”也就不再存在了。

為了理解這個現象，我們倒是不必離題太遠，只需要一個簡單的“猜硬幣正反面”游戲就能感受到大數定律的存在。假設我們投擲一枚硬幣，正反面均勻，每一面都有50% 的概率朝上，可以用以下直方圖來表示。

現在，假設你連續(xù)投擲硬幣兩次，并且記錄正面和背面朝上的次數。有三種可能：兩次都是反面，或者兩次都是正面，或者一次正面一次反面。人們很容易認為這三種情況發(fā)生的概率是相同的，但事實卻并非如此。實際上，出現一正一反的可能性為50%，而出現兩次正面或者兩次反面的概率都只有25%。

這種“不平衡”的結果，實際上是由于“兩次不同的隨機過程可能產生同樣的最終結果”所導致的。當我們連續(xù)投擲兩次硬幣的時候，實際上會產生以下四種情況：反―反，反―正，正―反和正―正。反―正和正―反兩種情況產生的是同一種結果，即一正一反，這就解釋了為什么一正一反出現的概率是其他情況的兩倍。類似地，玩家們都會知道，如果我們同時投擲兩枚色子，它們的點數和等于7 的概率要遠遠高于等于12 的概率，因為等于7 的情況有很多種（1 + 6，2 + 5，3 + 4，4 + 3，5 + 2 和6 + 1），而等于12 的情況只有一種（6 + 6）。

我們投擲的次數越多，這個現象就越明顯。最初出現機會均等的那些場景逐漸地產生區(qū)隔，一些成了極少數，一些成了普遍情況。如果你連續(xù)投擲10 次硬幣， 會有大約66%的概率得到4 ～ 6 次反面；如果你連續(xù)投擲100 次硬幣，有96% 的概率會得到40 ～ 60 次反面； 如果你連續(xù)投擲1000次硬幣， 有99.999 999 98% 的概率會得到400 ～ 600 次反面。

如果我們分別畫出投擲10 次、100 次和1000 次的直方圖， 就可以看到，逐漸地，絕大多數“未來的可能”圍繞著中心軸收緊，以至于那些對應著極端情況的矩形，我們的肉眼已經看不見了。

我們投擲的次數越多，這個現象就越明顯。最初出現機會均等的那些場景逐漸地產生區(qū)隔，一些成了極少數，一些成了普遍情況。如果你連續(xù)投擲10 次硬幣， 會有大約66%的概率得到4 ～ 6 次反面；如果你連續(xù)投擲100 次硬幣，有96% 的概率會得到40 ～ 60 次反面； 如果你連續(xù)投擲1000次硬幣， 有99.999 999 98% 的概率會得到400 ～ 600 次反面。

如果我們分別畫出投擲10 次、100 次和1000 次的直方圖， 就可以看到，逐漸地，絕大多數“未來的可能”圍繞著中心軸收緊，以至于那些對應著極端情況的矩形，我們的肉眼已經看不見了。

我們投擲的次數越多，這個現象就越明顯。最初出現機會均等的那些場景逐漸地產生區(qū)隔，一些成了極少數，一些成了普遍情況。如果你連續(xù)投擲10 次硬幣， 會有大約66%的概率得到4 ～ 6 次反面；如果你連續(xù)投擲100 次硬幣，有96% 的概率會得到40 ～ 60 次反面； 如果你連續(xù)投擲1000次硬幣， 有99.999 999 98% 的概率會得到400 ～ 600 次反面。

如果我們分別畫出投擲10 次、100 次和1000 次的直方圖， 就可以看到，逐漸地，絕大多數“未來的可能”圍繞著中心軸收緊，以至于那些對應著極端情況的矩形，我們的肉眼已經看不見了。

總之，正如大數定律所斷言的那樣：無限次地重復某個隨機試驗，最終的平均結果必然不再是隨機的，而是無限接近一個極限值。

這一原則是測驗調查和其他數據統(tǒng)計的操作基礎。在某一人群中，選擇1000 人，問他們更喜歡黑巧克力還是牛奶巧克力。如果600 人回答黑巧克力，400 人回答牛奶巧克力，則很有可能在整個群體中?哪怕這個群體總數有幾百萬人?比例仍然是一樣的，60% 的人喜歡黑巧克力，40% 的人喜歡牛奶巧克力。調查某個隨機抽取的人的口味可以被認為是一個和扔硬幣猜正反面游戲相同的隨機實驗，只是我們的選項從正面和反面換成了黑巧克力和牛奶巧克力。

當然了，我們可能運氣不好，正好抽到了1000 個人全都更喜歡黑巧克力，或者1000 個人全都更喜歡牛奶巧克力。但是這種極端情況發(fā)生的概率也是極端小的，因為大數定律向我們保證了，只要隨機抽取的樣本足夠大，所獲得的結果就有非常大的可能會接近整個人口的平均值。

進一步考察多種場景和它們在未來可能發(fā)生的概率，我們還可以建立一個置信區(qū)間，并且評估錯誤的風險。比如，我們可以說，有95%的可能會出現如下情況，即這個人群中喜歡黑巧克力的人數比例在57%～63%之間。實際上，任何縝密的調查研究都應該總是能獲得這些可以顯示其精確度和可靠性的數字。