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切線換一半原則——由6種解法探究圓錐曲線的切點弦與應(yīng)用

 昵稱47813312 2018-08-12

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依舊用一道題來引出今天的主題切點弦



咋一看,這套題平淡無奇,事實上他確實也是平淡無奇,但是如此簡單的題,怎么可以輕易放過它,于是我們選擇了6種方法來全方位虐殺它。

























那么,上述6種方法,你最先想到的哪一種方法呢?插一句,學(xué)生經(jīng)常問多解有什么用?當(dāng)然有用,其實考試的時候你腦海里的解法就相當(dāng)器皇帝的三宮六院七十二妃,想起來那個就直接翻那個牌子。


莫慌,以為這道題結(jié)束?當(dāng)然是不會那么膚淺!


我們知道:切點弦所在直線就是二個切點的連線,而切點是直線與圓錐曲線相切得到的交點,因此我們先從圓錐曲線的切線入手來展開探究.






上述結(jié)論能推廣到圓心不在原點的情況嗎?

回答是肯定的!






那么對于圓的一般方程呢?

也會得到同樣的結(jié)論嗎?





運用類比推理,那么橢圓會有相似的結(jié)論嗎?回答是肯定的!

我們知道:橢圓方程可以通過變換得到圓的方程,于是得到






我們知道圓與橢圓均屬于封閉曲線,那對于非封閉曲線,如雙曲線是否也有同樣的性質(zhì)呢?回答也是肯定的!




我們知道圓、橢圓及雙曲線均屬于有心二次曲線,那對于無心二次曲線,如拋物線來說,上述性質(zhì)能繼續(xù)得到延伸嗎?回答還是肯定的!



劃重點:所以上面寫了這么一大堆的結(jié)論,能不能簡單點直接全部記憶下來?當(dāng)然可以,長得都差不多,直接用換一半原則就OK了 ,如何是二次如x^2  直線方程套成x。x即可。如若是一次如y,套套寫成(y。+y)/2 即可。


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