小學數(shù)學中的4條“基本”性質

2018年8月7日星期二

擬定這樣的題目，多少有些博人眼球。4條性質倒是有的，但“基本”不是。這4條性質分別是：

①除法的商不變性質：

②小數(shù)的性質：

③分數(shù)的基本性質：

④比的基本性質：

可見，學習最早的是“除法的商不變性質”，然后是“小數(shù)的性質”，接下來是“分數(shù)的基本性質”，最后是“比的基本性質”。亦可見，冠以“基本”的有“分數(shù)的基本性質”和“比的基本性質”?！俺ǖ纳滩蛔冃再|”有時也被稱為“除法的商不變規(guī)律”。

對于“性質”與“規(guī)律”的差別，或許您和我一樣充滿好奇，但相信我，您不會對此感興趣的，它們二者的差別涉及到了哲學上的概念范疇，看了會更加糊涂，不如不看，“揣著糊涂裝明白”！比如：

“馬哲中的規(guī)律：亦稱法則?？陀^事物發(fā)展過程中的本質聯(lián)系，具有普遍性的形式。規(guī)律和本質是同等程度的概念。客觀性規(guī)律：它是客觀的，既不能創(chuàng)造，也不能消滅；不管人們承認不承認，規(guī)律總是以其鐵的必然性起著作用。規(guī)律等同于真理：這個世界任何物質都受規(guī)律約束，彼此對立又互相聯(lián)系統(tǒng)一。”

“性質是從客觀角度認知事物的形式，是人或事物的本質?！?/p>

……

怎么樣？我是成功地“糊涂”了……只是約略發(fā)現(xiàn)痕跡：“規(guī)律”、“法則”、“本質”、“真理”、“性質”……這些詞語在某些情況下是同義的、通用的，所謂“同義相訓”是也。

至于“基本”，倒是可以說道說道?；局富A的、主要的、根本的。想來除此之外，還有其他的性質。我頗費周章，搜到的有：

這些性質在初中才會學習，如果注意其假設條件就會發(fā)現(xiàn)：它們的出發(fā)點是“分數(shù)或比的基本性質”。由此可見，所謂“基本”性質大抵是可以推導得出其他性質的，所以稱呼為“基本性質”，是由其本源、基礎的地位所決定的。

今天以此為話題，除了可以幫助小朋友們串聯(lián)、鞏固已學的知識外，也是基于對這些內(nèi)容產(chǎn)生的新的思考和認識。

（一）4條性質在本質上是一致地，都源于“除法的商不變性質”。

我們經(jīng)常做這樣的類比：分子、比的前項相當于被除數(shù)，分母、比的后項相當于除數(shù)，分數(shù)值、比值相當于商。三條性質可以統(tǒng)一為：

除法（分數(shù)、比）的被除數(shù)（分子、前項）和除數(shù)（分母、后項）同時乘以或除以相同的數(shù)（0除外），商（分數(shù)的大小、比值）不變。

（重要程度★★★★）

小數(shù)的性質似乎采用了完全不同的表述：小數(shù)的末尾添上“0”或去掉“0”，小數(shù)的大小不變。舉例就是：

0.1＝0.10＝0.100＝0.1000＝……

如此而已。

但如果依據(jù)小學數(shù)學教材中給出的“分母是10、100、1000……的分數(shù)可以用小數(shù)表示”，我們可以將其還原成分數(shù)形式——這句話的本意是根據(jù)十分之一、百分之一、千分之一……引入小數(shù)的計數(shù)單位和小數(shù)的表示形式，現(xiàn)在，我們將其反其道行之。小數(shù)的性質展現(xiàn)的內(nèi)容變?yōu)椋?/p>

此時，您會發(fā)現(xiàn)：它的本來面目就是分數(shù)的基本性質。

（二）每條性質的出現(xiàn)都有其特殊的地位和作用。

（1）除法的性質出現(xiàn)于整數(shù)除法（除數(shù)是兩位數(shù)的除法）學習完成之后，目的是為即將學習的小數(shù)除法提供算理上的依據(jù)和支撐。我們都知道，要計算一道除數(shù)是小數(shù)的除法，首先要將除數(shù)轉化為整數(shù)，然后按照整數(shù)除法的計算法則進行計算。這個“轉化”的過程的依據(jù)就是“除法的商不變性質”，例如：

223.72÷3.4＝（223.72×10）÷（3.4×10）＝2237.2÷34

上式中的等號不是隨手寫上的，顯然是由“除法的商不變性質”作保證的，使得針對小數(shù)除法算式所做的變化是有理有據(jù)的。

除了這個主要的應用，還演生了許多“副產(chǎn)品”，往往都是為了更好地理解“除法的商不變性質”，比如：

120÷15

＝（120×4）÷（15×4）

＝480÷60

＝8

這是一種湊巧的簡便計算。再如：

0.86÷0.4＝2.1……（ ）

這道題算是夠“坑”的一道題，如果依據(jù)豎式除法進行正向計算，多半會得出錯誤的結果0.2，甚至是2。出現(xiàn)這個錯誤的原因是：應用“除法的商不變性質”時，性質本身并沒有明確告訴我們“余數(shù)也不變”。事實上，余數(shù)作為被除數(shù)的一部分，是隨著被除數(shù)的擴大而擴大，縮小而縮小的。在將0.86÷0.4轉化為8.6÷4的過程中得到的新的余數(shù)0.2，比原來的余數(shù)擴大了10倍，所以原來的余數(shù)是0.2÷10＝0.02。這樣的題，對于深入理解“除法的商不變性質”的應用特點極為有益。出題者估計也是沖著這一點來的。但反過來想，小數(shù)的除法本來就是為了“消滅余數(shù)”的，在小數(shù)除法計算的過程中戛然而止，探問余數(shù)，也真是讓人驚訝于出題者的腦洞，因為本題的結果本就是有限小數(shù)，可以除盡的：

0.86÷0.4＝2.15

最好的方法莫過于用“靠譜”的方法進行驗算：

0.86－2.1×0.4＝0.86－0.84＝0.02

因為：余數(shù)＝被除數(shù)－商×除數(shù)。此誠所謂“你有你的張良計，我有我的過墻梯”！

（2）小數(shù)的性質的作用顯見的是：化簡小數(shù)、統(tǒng)一精度。比如：

105.0900＝105.09 （去0）

32.8元＝32.80元 （添0）

但更深層次的是：為小數(shù)的大小比較做鋪墊。我們在整數(shù)的大小比較中學到了兩條比較大小的方法：

①數(shù)位數(shù)，比如：1000＞999；

②從高位到低位一位一位地往下進行同位相比，比如：998＜999。

自然會想將其繼承、延續(xù)下來。但小數(shù)部分的數(shù)位與整數(shù)部分的數(shù)位情況有所不同：整數(shù)部分沒有最高位，有最低位（個位）；小數(shù)部分有最高位（十分位），沒有最低位。生搬硬套方法①的話就會出錯：

0.3＜0.23

這恐怕是由于“比位數(shù)”帶來的負遷移：3＜23。

我們來看一組數(shù)字的“華麗”變化：

103＝……000000103

0.05＝0.05000000……

1.2＝……0001.2000……

這或許會刷新您對“數(shù)位”的理解，一個三位數(shù)103，也可以看成是無窮多位數(shù)，只不過百位以上的數(shù)位上的數(shù)字都是0。而一個兩位小數(shù)0.05，也可以任意地寫成三位小數(shù)0.050，四位小數(shù)0.0500……或許，數(shù)位就是一個“不確定”的東西。在以前的教材中，曾引入過“有效數(shù)字”、“無效數(shù)字”的概念，現(xiàn)在沒有了，不過，現(xiàn)在看來，還是有點意義。我們不會把103寫成000103，是為了追求簡潔，也是因為高位添加的0都是“無效數(shù)字”，去掉了也不會影響數(shù)的大小。但有時候，人們還就是需要將數(shù)字的位數(shù)統(tǒng)一，比如考號1～300，將1號強制寫成001，這如同統(tǒng)一小數(shù)位數(shù)的精度一樣。需要注意的是：不要將0和無效數(shù)字劃等號，比如0.05的個位、十分位上的數(shù)字0就是有效數(shù)字，不能去掉。

當數(shù)位不再確定、不再重要時，比較大小變化為：

1000＞0999

0.30＞0.23

即用“0”占齊無效數(shù)位，在“等位數(shù)長度”的情況下，只用方法②從高位到低位一位一位地往下進行同位相比。

或許，小數(shù)的性質就是要婉轉地告訴我們：數(shù)位數(shù)并不是比較數(shù)的大小的本質方法，它只是一種同樣湊巧（指碰到了整數(shù)）的簡便方法；從高位一位一位地往下進行同位相比才是最重要的。

（重要程度★★★★）

（3）分數(shù)的基本性質既揭示了分數(shù)的特點，又為通分、約分提供依據(jù)。

如同小數(shù)一樣，分數(shù)也擁有無窮多的等價變形：

就像0.5是最簡形式一樣，分數(shù)也有一個最簡形式，就是分子、分母是互質數(shù)的時候，也就是公因數(shù)只有1的時候，這時的分數(shù)叫做“最簡分數(shù)”，比如上面的二分之一。一個分數(shù)由“最簡形式”到“不簡形式”，或由“不簡形式”到“最簡形式”，是可以自由切換的，它們遵循的規(guī)則就是：分數(shù)的基本性質。

約分的過程，其實就是不斷地對分子、分母除以它們的公因數(shù)，使其分子、分母不斷變小，直到“最簡分數(shù)”：

通分的過程恰好相反，就是不斷地擴大分子、分母，在無窮無盡的分母中，總會傻傻地找到相同的分母的（此時分數(shù)的計數(shù)單位相同，可以直接進行加減法計算）。當然大家知道，有了“最小公倍數(shù)”之后，我們完全不用這么傻，此處只是盡力還原問題最開始的情況：

（4）比的基本性質可以用來化簡比，尋找比例。比如：

10：25＝（10÷5）：（25÷5）＝2：5

6：10和9：15

6：10＝6÷10＝0.6

9：15＝9÷15＝0.6

所以：6：10＝9：15（表示兩個比相等的式子叫做比例）

比可以寫成分數(shù)形式，比如：

自上而下讀為：10比25；而不是自下而上讀為：25分之10。這種形式似乎說明“比的基本性質”和“分數(shù)的基本性質”完全等價。我找不出十分突出的差別，因為它們在本質上確實一致。我只找出了一些細枝末節(jié)的東西，比如“最簡整數(shù)比”不再像“最簡分數(shù)”那樣成為比的表現(xiàn)形式的唯一追求。有時，人們對比的前項是1或后項是1的比更為青睞，比如：

10：25＝1：2.5＝0.4：1

1所代表的數(shù)量，往往是作為參考的“基準”的。仔細閱讀您的數(shù)學書，或者仔細留意生活，您會發(fā)現(xiàn)這一點的。比如：地圖中的比例尺就會使用這種習慣。

本次的復習就至此打住吧。

再會。