一． 角的概念：

1．角的概念的推廣

⑴“旋轉(zhuǎn)”形成角

一條射線由原來(lái)的位置OA，繞著它的端點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到另一位置OB，就形成角α．旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線OA叫做角α的始邊，旋轉(zhuǎn)終止的射線OB叫做角α的終邊，射線的端點(diǎn)O叫做角α的頂點(diǎn)．

⑵．“正角”與“負(fù)角”“0角”

我們把按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做正角，把按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角，如圖，以OA為始邊的角α=210°，β=-150°，γ=660°， 

特別地，當(dāng)一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也認(rèn)為這時(shí)形成了一個(gè)角，并把這個(gè)角叫做零角．記法：角或可以簡(jiǎn)記成。

⑶意義：用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地?cái)U(kuò)大了，角的概念推廣以后，它包括任意大小的正角、負(fù)角和零角．

2．“象限角”

角的頂點(diǎn)合于坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊合于軸的正半軸，這樣一來(lái)，角的終邊落在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角（角的終邊落在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個(gè)象限）

3．終邊相同的角  

結(jié)論：所有與a終邊相同的角連同a在內(nèi)可以構(gòu)成一個(gè)集合：

即：任何一個(gè)與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個(gè)周角的和.

注意：

(1) 

(2) a是任意角；

(3)與a之間是“+”號(hào)，

如：-30°，應(yīng)看成+(-30°)；

(4) 終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同，終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍．

二． 弧度制：

1． 定義：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角稱為1弧度的角它的單位是rad 讀作弧度，這種用“弧度”做單位來(lái)度量角的制度叫做弧度制．

如下圖，依次是1rad ， 2rad ， 3rad  ，αrad 

即弧長(zhǎng)等于弧所對(duì)的圓心角（的弧度數(shù)）的絕對(duì)值與半徑的積

三． 三角函數(shù)的定義：

1. 設(shè)是一個(gè)任意角，在的終邊上任?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y）

則P與原點(diǎn)的距離

3. 突出探究的幾個(gè)問(wèn)題：

①角是“任意角”，當(dāng)b=2kp+a(k?Z)時(shí)，b與a的同名三角函數(shù)值應(yīng)該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等

②實(shí)際上，如果終邊在坐標(biāo)軸上，上述定義同樣適用

③三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù)

④而x,y的正負(fù)是隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)的符號(hào)應(yīng)由象限確定.

⑤定義域： 

注意:(1)以后我們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)研究角的問(wèn)題，其頂點(diǎn)都在原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合.

(2)OP是角的終邊，至于是轉(zhuǎn)了幾圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)的不清楚，也只有這樣，才能說(shuō)明角是任意的.

(3)比值只與角的大小有關(guān).

4  三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)規(guī)律： 第一象限全為正,二正三切四余弦 

四． 誘導(dǎo)公式：

1  終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.

2. 誘導(dǎo)公式的變形規(guī)則：奇變偶不變，符號(hào)看象限.

公式三：

公式六：

sin(90° -a) = cosa,

cos(90° -a) = sina.  

tan(90° -a) = cota,

cot(90° -a) = tana.   

sec(90° -a) = csca,

csc(90° -a) = seca

公式七：

sin(90° +a) = cosa,

cos(90° +a) = -sina.  

tan(90° +a) = -cota,

cot(90° +a) = -tana.   

sec(90° +a) = -csca,  

csc(90° +a) = seca

公式八：

sin(270° -a) = -cosa,

cos(270° -a) = -sina.    

tan(270° -a) = cota,

cot(270° -a) = tana.   

sec(270° -a) = -csca,

csc(270° -a) = seca

公式九：

sin(270° +a) = -cosa,

cos(270° +a) = sina.  

tan(270° +a) = -cota,

cot(270° +a) = -tana.   

sec(270° +a) = csca,

csc(270° +a) = -seca

五．兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系式：

1．兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系式

2 推導(dǎo)公式：

六．二倍角公式：

1.二倍角公式:

注意：（１）二倍角公式的作用在于用單角的三角函數(shù)來(lái)表達(dá)二倍角的三角函數(shù)，它適用于二倍角與單角的三角函數(shù)之間的互化問(wèn)題．

（２）二倍角公式為僅限于2是的二倍的形式，尤其是“倍角”的意義是相對(duì)的

（３）二倍角公式是從兩角和的三角函數(shù)公式中，取兩角相等時(shí)推導(dǎo)出，記憶時(shí)可聯(lián)想相應(yīng)角的公式．

七．萬(wàn)能公式：

1．萬(wàn)能公式

證明：1°

2°

3°

八． 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)：

1．正弦線、余弦線：設(shè)任意角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為M，則有

，

注：有向線段MP叫做角α的正弦線，有向線段OM叫做角α的余弦線．

2．用單位圓中的正弦線、余弦線作正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]、余弦函數(shù)y=cosx，x∈[0，2π]的圖象（幾何法）：

把y=sinx，x∈[0，2π]和y=cosx，x∈[0，2π]的圖象，沿著x軸向右和向左連續(xù)地平行移動(dòng)，每次移動(dòng)的距離為2π，就得到y(tǒng)=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的圖象，分別叫做正弦曲線和余弦曲線．

6．周期性

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期

對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期

注意：1° 周期函數(shù)x?定義域M，則必有x+T?M, 且若T>0則定義域無(wú)上界；T<>則定義域無(wú)下界；

2° “每一個(gè)值”只要有一個(gè)反例，則f (x)就不為周期函數(shù)（如f (x₀+t)1f (x₀)）

3°  T往往是多值的（如y=sinx   2p,4p,…,-2p,-4p,…都是周期）周期T中最小的正數(shù)叫做f (x)的最小正周期（有些周期函數(shù)沒(méi)有最小正周期）

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π

7．奇偶性

y＝sinx為奇函數(shù)，y＝cosx為偶函數(shù)

正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,余弦曲線關(guān)于y軸對(duì)稱

八．函數(shù)的圖象與性質(zhì)：

1．振幅變換:y=Asinx，x?R(A>0且A11)的圖象可以看作把正數(shù)曲線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(A>1)或縮短(0<><>到原來(lái)的A倍得到的它的值域[-A, A]   最大值是A, 最小值是-A．若A<0>可先作y=-Asinx的圖象 ，再以x軸為對(duì)稱軸翻折A稱為振幅

2．周期變換:函數(shù)y=sinωx, x?R (ω>0且ω11)的圖象，可看作把正弦曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(ω>1)或伸長(zhǎng)(0<><>到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）．若ω<>ω決定了函數(shù)的周期

3 相位變換: 函數(shù)y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點(diǎn)向左(當(dāng)＞0時(shí))或向右(當(dāng)＜0時(shí)＝平行移動(dòng)｜｜個(gè)單位長(zhǎng)度而得到 (用平移法注意講清方向：“加左”“減右”)

九． 正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：

1. 正切線：

正切函數(shù)，且的圖象，稱“正切曲線”

余切函數(shù)y＝cotx，x∈(kπ，kπ+π)，k∈Z的圖象（余切曲線）

十． 反三角函數(shù)：

1．反正弦，反余弦函數(shù)的意義：

由

3．已知三角函數(shù)求角：

求角的多值性法則：1、先決定角的象限2、如果函數(shù)值是正值，則先求出對(duì)應(yīng)的銳角x； 如果函數(shù)值是負(fù)值，則先求出與其絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的銳角x，3、由誘導(dǎo)公式，求出符合條件的其它象限的角

十一． 正、余弦定理：

1 正弦定理：在任一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，

即

=2R（R為△ABC外接圓半徑）

2 正弦定理的應(yīng)用 從理論上正弦定理可解決兩類問(wèn)題：

（1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

（2）兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角（見(jiàn)圖示）已知a, b和A, 用正弦定理求B時(shí)的各種情況:

①若A為銳角時(shí):

②若A為直角或鈍角時(shí):

4．余弦定理可以解決的問(wèn)題

（1）已知三邊，求三個(gè)角；

（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角

5．三角形的知識(shí)在測(cè)量、航海、幾何、物理學(xué)等方面都有非常廣泛的應(yīng)用，如果我們抽去每個(gè)應(yīng)用題中與生產(chǎn)生活實(shí)際所聯(lián)系的外殼，就暴露出解三角形問(wèn)題的本質(zhì)，這就要提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力及化實(shí)際問(wèn)題為抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，要求大家掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明確解斜三角形知識(shí)在實(shí)際中的廣泛應(yīng)用，熟練掌握由實(shí)際問(wèn)題向解斜三角形類型問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，逐步提高數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力