1. 引言——福爾摩斯與懷表

相信很多人都讀過英國偵探小說家阿瑟·柯南·道爾的中篇小說《四簽名》。

故事中的主角大偵探福爾摩斯的名聲可謂如雷貫耳，甚至在日本漫畫家青山剛昌創(chuàng)作的偵探漫畫《名偵探柯南》中，主角柯南也將福爾摩斯視作偶像。

在《四簽名》中，福爾摩斯曾經(jīng)準(zhǔn)確地通過一塊懷表的特征推斷出了其舊主人的性格特點(diǎn)和生活習(xí)慣：“他是一個(gè)放蕩不羈的人……最后因?yàn)楹镁贫馈薄?/p>

下面是相關(guān)的證據(jù)：

• 證據(jù)一: 這是一塊價(jià)值五十多英鎊的表，本應(yīng)該很精心地保護(hù)和使用，但整個(gè)表的上面有無數(shù)的傷痕，這是因?yàn)閼T于把表放在有錢幣、鑰匙一類硬東西的衣袋里的緣故。故知其主人“放蕩不羈”。

• 證據(jù)二： 表的里蓋鑰匙孔附近有上千的傷痕，這是因被鑰匙摩擦而造成的。一般清醒的人插鑰匙，一插就能夠進(jìn)去，只有醉漢才會(huì)因手腕顫抖而留下這些痕跡。故知其主人“好酒”。

上面的推理充分展現(xiàn)了福爾摩斯敏銳的觀察力與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治瞿芰Α?/p>

然而，隱含在上述推理背后的邏輯是：

掌握一般情況下本應(yīng)怎樣，觀察實(shí)際情況下卻是怎樣，將二者作一比對，便可以發(fā)現(xiàn)隱藏在后面的真相。

比如：一般情況下，對如此貴重的懷表本應(yīng)精細(xì)呵護(hù)才是，
???然而，實(shí)際上卻在其表面發(fā)現(xiàn)許多傷痕，這些傷痕必然暗藏玄機(jī)……

智慧的真諦往往會(huì)得到跨領(lǐng)域的呼應(yīng)。福爾摩斯這一推理方法也被廣泛地運(yùn)用于社會(huì)科學(xué)的學(xué)術(shù)研究中。

2. 實(shí)證中的黑匣子——?dú)埐?/h2>

在基于大樣本的社會(huì)科學(xué)實(shí)證研究中，我們往往會(huì)構(gòu)建某種模型來描述事情在一般情況下本應(yīng)怎樣（回歸模型的擬合值），然后再看一看事情的實(shí)際情況卻是怎樣（被解釋變量的實(shí)際觀測值），而上述二者之間的差異（殘差）所隱藏的信息便成為了我們需要解釋的重點(diǎn)。

我們可以看到，在很多領(lǐng)域，常常采用回歸得到的殘差作為某些重要變量的衡量指標(biāo)，而這些指標(biāo)繼而會(huì)作為隨后分析中的被解釋變量。這便是上述的福爾摩斯推理思想的一種運(yùn)用。例如：

• 在會(huì)計(jì)和公司金融領(lǐng)域，研究盈余管理或盈余質(zhì)量時(shí)，便是基于“分行業(yè)-分年度”回歸得到的殘差作為異常盈余的指標(biāo)；

• 在事件研究法中，我們針對每家公司的日交易資料來估計(jì)市場模型(CAPM 的一個(gè)簡化版本)，并取其殘差用以衡量異常收益率 (Abnormal Return, AR)；

• 在公司投資行為的研究中，用實(shí)際投資支出與可能影響投資行為的變量進(jìn)行回歸，得到的殘差往往被視為非預(yù)期投資，殘差為負(fù)者視為投資不足，為正者則視為過度投資；

• 在個(gè)體消費(fèi)行為的研究中，也會(huì)采取相同的思路，估計(jì)消費(fèi)率方程后，用殘差來衡量異常消費(fèi)。

類似的例子和應(yīng)用還有很多。這里我們以公司投資行為的研究為例，介紹此類模型的基本思想，并應(yīng)用Stata范例來展現(xiàn)這一思想的實(shí)現(xiàn)過程。

---

3. 研究實(shí)例：過度投資與投資不足

Richardson（2006，“Over-Investment of Free Cash Flow”） 對公司的投資行為進(jìn)行了研究，文中構(gòu)建了如下形式的投資模型：

 Inv[i,t] = α βX[i,t-1] u[i,t]

模型中的被解釋變量 Inv[i,t] 是第 i 家公司在第 t 年的新增投資支出，解釋變量 X 主要包括：公司的增長機(jī)會(huì)、杠桿率、公司規(guī)模、公司年齡、現(xiàn)金存量、股票回報(bào)率、新增投資支出，以及年度和行業(yè)虛擬變量等。干擾項(xiàng) u 里則包含了各種無法觀測，同時(shí)有可能影響公司投資支出的因素。比如，管理者的個(gè)人風(fēng)格、公司文化、行業(yè)層面或宏觀層面受到的各種沖擊等等。

這些解釋變量決定了公司新增投資支出的正常水平，因此上述回歸模型的擬合值便是對公司“預(yù)期投資支出”的衡量。

若用 Inv_fit 表示擬合值，即 Inv_fit = α^ β^*x[i,t] (這里，α^ 和 β^ 分別表示參數(shù) α 和 β 的估計(jì)值)，則模型殘差定義為： e = Inv - Inv_fit。它反映了公司的非預(yù)期投資支出。 如果 e 為正值，表示公司傾向于過度投資；反之，則意味著存在投資不足傾向 。

4. Stata 應(yīng)用

4.1 殘差和擬合值的估計(jì)

若假設(shè)參數(shù) α 和 β 在全樣本中為常數(shù) （以 Leverage 變量為例，這意味著 A 公司的負(fù)債率增加一個(gè)單位對投資的邊際影響與 B 公司完全相同；或者，2009 年 Leverage 增加一個(gè)單位對投資的邊際影響與 2008 年和 2010 年也米有差別，這顯然是一個(gè)很嚴(yán)格的假設(shè)條件），則估計(jì)殘差和擬合值是非常簡單的事情：只需在完成回歸后執(zhí)行 predict 命令即可。

為便于各位讀者演練，這里使用 Stata 手冊中的一份范例數(shù)據(jù)來說明。該數(shù)據(jù)源于 Grunfeld & Griliches (1960，“Is aggregation necessarily bad？”)。他們用公司前期市場價(jià)值和固定資產(chǎn)價(jià)值兩個(gè)因素解釋了公司的總投資支出。樣本包括了 10 家公司 1935-1954 年 20 年間的數(shù)據(jù)。

雖然他們的模型與 Richardson (2006) 在設(shè)定上存在差異，但求取模型殘差的思路是相通的。

webuse grunfeld, clear      // 調(diào)入數(shù)據(jù)
reg invest mvalue kstock
predict inv_fit  // invest 的擬合值
predict E0, res   // 殘差，需要附加 residual 選項(xiàng)，可以簡寫為 res
label var E0 'E0'
list comp year inv* E0 if mod(year,5)==0, sep(4)
*-Note: invest-總投資支出； 
*       mvalue-前期市場價(jià)值； 
*       kstock-前期固定資產(chǎn)價(jià)值

部分結(jié)果呈現(xiàn)如下：

使用 xtline 命令可以很方便地實(shí)現(xiàn)上述結(jié)果的可視化：

xtline E0 if comp<=6, yline(0, lc(green) lp(dash))

輸出圖形為：

4.2 分組回歸的殘差

然而，假設(shè)參數(shù) α 和 β 為常數(shù)其實(shí)是一個(gè)非常嚴(yán)格的設(shè)定，也缺乏合理性。

我們以 Leverage 變量為例來說明。上述假設(shè)意味著 A 公司的負(fù)債率增加一個(gè)單位對投資的邊際影響與 B 公司完全相同；或者，2009 年 Leverage 增加一個(gè)單位對投資的邊際影響與 2008 年和 2010 年也沒有差別；制造業(yè)公司的 Leverage 對投資的邊際影響與零售業(yè)或金融業(yè)也完全相同。

因此，無論是在公司金融領(lǐng)域還是消費(fèi)領(lǐng)域，學(xué)者們通常會(huì)放松上述假設(shè)，比如允許不同行業(yè)的 α 和 β 可以有所差異，甚至同一個(gè)行業(yè)不同年度上的 α 和 β 也可以變化。這就需要“分行業(yè)-分年度” 進(jìn)行回歸，并分別計(jì)算對應(yīng)的殘差。

以分年度計(jì)算殘差為例，我們可以用循環(huán)語句來完成上述任務(wù)：

最后一行中，仍然使用 xtline 命令同時(shí)繪制兩個(gè)時(shí)序圖，以作對比：

5. 便捷的 asreg 命令

上例中，我們只在年度層面上進(jìn)行了分組回歸，但實(shí)際應(yīng)用過程中，可能還有更復(fù)雜的需求，例如：

• 有時(shí)需要在二維 (分年度-分行業(yè))，甚至多維層面上進(jìn)行分組回歸；這就需要編寫二維嵌套循環(huán)語句。

• 部分細(xì)分組中的觀察值個(gè)數(shù)可能很少，以至于無法執(zhí)行回歸；此時(shí)，Stata 可能會(huì)報(bào)錯(cuò)，我們需要預(yù)先刪除這些細(xì)分組。

• 有些研究中為了充分保證參數(shù)的時(shí)變性，還會(huì)進(jìn)行滾動(dòng)窗口回歸；此時(shí)，程序會(huì)變得很復(fù)雜。

值得慶幸的是，借助 Stata 外部命令 asreg，我們可以很方便地實(shí)現(xiàn)上述需求。

asreg命令可以通過三種方式對樣本進(jìn)行分組并分別執(zhí)行線性回歸，最后以生成新變量的形式存儲各組回歸的對應(yīng)統(tǒng)計(jì)量。

其中，三種分組方式分別為：

• 滾動(dòng)窗口分組（rolling window）

• 遞歸窗口分組（recursive window）

• 一般分組

前兩種分組方式的含義可參見 Stata 命令rolling的幫助文件（help rolling）,我們在此處主要運(yùn)用的是第三種分組方式，即一般分組。

5.1 安裝 asreg 命令

可以在 Stata 的命令窗口輸入如下語句：

net install asreg, replace

5.2 asreg 命令的基本語法

• window 選項(xiàng):設(shè)定滾動(dòng)窗口或遞歸窗口分組中的窗口長度。

• recursive 選項(xiàng)：指定采用遞歸窗口分組進(jìn)行回歸（否則，在設(shè)定了window選項(xiàng)的情況下，默認(rèn)進(jìn)行滾動(dòng)窗口分組的回歸）。

• by 選項(xiàng)：指定進(jìn)行一般分組的組別變量。

• minimum(#) 選項(xiàng)：指定在分組回歸中，執(zhí)行每組回歸所需的最小觀察值數(shù)量。當(dāng)設(shè)定了 min(#) 選項(xiàng)時(shí)，回歸中使用的觀察值個(gè)數(shù)將是模型中解釋變量個(gè)數(shù)（包括常數(shù)項(xiàng)）與 # 中的較大者。如果某一組中包含的觀察值數(shù)小于這里指定的數(shù)量，則與其對應(yīng)的新生成變量數(shù)值為缺失值。

5.3 asreg 生成的新變量

asreg 命令會(huì)自動(dòng)生成一系列 _ 開頭的新變量，用于存儲分組回歸得到的統(tǒng)計(jì)量，相關(guān)統(tǒng)計(jì)量內(nèi)容及其對應(yīng)變量的命名規(guī)則如下：

注：如果不進(jìn)行額外設(shè)定，asreg命令默認(rèn)存儲的統(tǒng)計(jì)量包括：觀察值數(shù)、回歸系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)、R2 和調(diào)整 R2 。因此，若要獲得系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤、殘差和擬合值，則需要分別添加se和fit選項(xiàng)(fit選項(xiàng)同時(shí)獲取殘差和擬合值)。

5.4 asreg 命令應(yīng)用之 Stata 范例

掌握了這一“武器”的用法后，我們通過兩個(gè)例子來實(shí)戰(zhàn)操作一下 asreg 的用法。

范例 1：過度投資與投資不足

承接上例，我們先用 asreg 來實(shí)現(xiàn)分年度計(jì)算殘差。上例中繁雜的循環(huán)語句此時(shí)簡化為一條命令：

*- 驗(yàn)證 asreg 命令 -- 按年度分組回歸取殘差
asreg invest mvalue kstock,  by(year) fit

我們將命令自動(dòng)生成的殘差變量另存一份為 Et_as，并與此前手動(dòng)編寫代碼得到的 Et 進(jìn)行對比 —— 完全一樣! 所以，日后可以放心地使用 asreg 了。

前面已經(jīng)提到，asreg 可以自動(dòng)生成多個(gè)統(tǒng)計(jì)量，我們來查看一下：

format _*    %4.3f
format _Nobs %2.0f
list comp year _Nobs  _adjR2  ///  // 樣本數(shù)，R2-adj
     _b_mvalue _b_kstock      ///  // 變量的系數(shù)估計(jì)值
     _fitted _residuals       ///  //擬合值和殘差
     if mod(year,5)==0, sep(4) noobs

結(jié)果如下：

• minimum(#) 選項(xiàng)的使用

上例中的數(shù)據(jù)是平行面板，每家公司均有 20 年的觀察值，對于一個(gè)只有三個(gè)未知參數(shù)的回歸模型而言，每各細(xì)分組都有足夠的樣本數(shù)。但有些情況下，個(gè)別細(xì)分組中的樣本數(shù)很少，此時(shí)可以用 min() 選項(xiàng)預(yù)先刪除這些細(xì)分組。

我們首先隨機(jī)刪除一些觀察值，虛構(gòu)一份非平行面板，進(jìn)而以公司為單位進(jìn)行分組回歸，并要求每家公司至少要有 10 年的數(shù)據(jù)。

. webuse grunfeld, clear 
. set seed 13579 //設(shè)定種子值，保證結(jié)果可重現(xiàn)
. sample 50      //隨機(jī)抽取 50% 的觀察值
. xtdes
. bysort comp: gen Ni = _N  //每家公司的年數(shù)
. tab comp, sort   

    company |      Freq.     Percent        Cum.
------------ -----------------------------------
          4 |         14       14.00       14.00
          9 |         12       12.00       26.00
         10 |         12       12.00       38.00
          5 |         11       11.00       49.00
          6 |         10       10.00       59.00
          7 |          9        9.00       68.00
          8 |          9        9.00       77.00
          1 |          8        8.00       85.00
          3 |          8        8.00       93.00
          2 |          7        7.00      100.00
------------ -----------------------------------
      Total |        100      100.00

可以看出，有 5 家公司的樣本數(shù)都不足 10 年，它們在后續(xù)分組回歸中將被忽略——通過設(shè)定 min(10) 選項(xiàng)來實(shí)現(xiàn)：

得到了各公司的回歸殘差之后，殘差為正的公司可以視為存在過度投資，殘差為負(fù)的公司可以視為存在投資不足。我們將各公司的殘差狀況分年度繪制出來。

webuse grunfeld, clear 
asreg invest mvalue kstock, fit by(company)  
xtline _residuals, yline(0,lpattern(dot))

上圖中，殘差位于虛線上方的為過度投資部分，下方的為投資不足部分。

可以發(fā)現(xiàn)，大部分公司的回歸殘差是很接近 0 的，說明這些公司的投資水平是符合預(yù)期的。

只有前 3 家公司的回歸殘差出現(xiàn)了明顯偏離 0 的現(xiàn)象，表明這些公司存在過度投資或投資不足。為了揭示哪些因素導(dǎo)致了這些公司的投資偏差，接下來要做的就是把這些回歸殘差作為被解釋變量，去探尋其他因素對其產(chǎn)生的影響。

范例 2 ：超額工資

在上面的例子中，我們是在一個(gè)層面上（即，公司層面）進(jìn)行分組并計(jì)算殘差的。下面看一個(gè)在兩個(gè)層面上分組計(jì)算殘差的例子。

我們考察工資決定因素模型，并在種族-職業(yè)兩個(gè)層面上分組計(jì)算超額工資（可正可負(fù)）。

得到超額工資的數(shù)據(jù)后，我們看一下超額工資在各分組層面上所表現(xiàn)出的特征。

graph hbox _residuals,  over(occupation,) nooutsides //按職業(yè)繪制箱形圖

從上圖可見，在各種職業(yè)中，工資水平較為穩(wěn)定的是交通運(yùn)輸（Transport）和服務(wù)業(yè)（Service）的從業(yè)人員，其回歸殘差均值很接近 0 ，且方差也很小。

工資水平內(nèi)部差距較大的是專業(yè)技術(shù)人員（Professional/technical）、高管（ Managers/admin），以及辦公人員或?qū)I(yè)技不作要求的職業(yè)人員（Clerical/unskilled）。在這些職業(yè)中，工資的方差很大，說明其中一部分人獲得了明顯的超額工資。

（注：在某些職業(yè)組別中沒有數(shù)據(jù)，是由于在對應(yīng)組中觀察值數(shù)小于解釋變量數(shù)，因而無法進(jìn)行回歸估計(jì)造成的。）

從上圖可見，在白種人和黑種人中，有部分人獲得了明顯的超額工資，而其他人種的工資水平整體比較正常，殘差集中在 0 附近。

此外，在獲得了超額工資的人中，獲得超高工資（殘差為正）的金額明顯大于獲得超低工資（殘差為負(fù)）的金額，這可能是受到了“最低工資法”的影響，使得工資水平存在一個(gè)法定下限。

最后，再來看一下加入工會(huì)和未加入工會(huì)人員的工資差異。

twoway (histogram _residuals if union==0, legend(label(1 'nonunion'))) ///
       (kdensity _residuals if union==1, legend(label(2 'union')))

從上圖可見，加入工會(huì)人員（union）整體上獲得了明顯更多的超高工資和更少的超低工資，這是工會(huì)組織議價(jià)能力的一個(gè)體現(xiàn)。

6. 結(jié)語

正如本文引言部分所述，在大樣本的實(shí)證研究中，對模型殘差的考察已經(jīng)被應(yīng)用在越來越多的領(lǐng)域。

這其中蘊(yùn)含的邏輯就是，通過對比正常情況與事實(shí)情況的差異而發(fā)現(xiàn)其中的異常情況。

這種方法無疑為判斷某些因素對研究對象的影響提供了極大的幫助。但是，這種方法的運(yùn)用也是需要一定前提的，那就是首先需要對正常情況具有充足的認(rèn)識。

比如，在引言的例子中，福爾摩斯正確地認(rèn)識到，一般清醒的人插鑰匙，一插就能夠進(jìn)去這一事實(shí)，繼而才能夠準(zhǔn)確判斷懷表的主人是一個(gè)好酒之人。而如果福爾摩斯認(rèn)為大多數(shù)人插鑰匙均存在插不準(zhǔn)的可能，則其不可能推斷出懷表的主人與旁人有何不同。

甚至，如果福爾摩斯認(rèn)為一般人插鑰匙均不會(huì)用眼睛注視鑰匙孔，因而鑰匙孔附近應(yīng)有更多劃痕，那么他可能錯(cuò)誤地推斷該懷表的主人是一個(gè)習(xí)慣于注視鑰匙孔的謹(jǐn)慎之人。

因此，在應(yīng)用上述方法進(jìn)行實(shí)證研究時(shí)，一定要對模型進(jìn)行合理、完整的設(shè)定，使得模型能夠充分地對研究對象作出解釋，從而如實(shí)地反映正常情況。這需要我們對前期的研究成果具有充分的掌握，并在借鑒前期研究的基礎(chǔ)上，加入自己的深思熟慮，這樣才能使得模型殘差確實(shí)反映了異常情況，進(jìn)而保證我們從中得出準(zhǔn)確的推斷。

正如福爾摩斯所言：“在你得到所有證據(jù)之前就進(jìn)行推理是個(gè)致命的錯(cuò)誤，這會(huì)使結(jié)果帶有偏見。”引述于此，與君共勉！

閱讀資料

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