人機(jī)之間的映射與數(shù)學(xué)映射不同。在數(shù)學(xué)里，映射是個(gè)術(shù)語，指兩個(gè)元素的集之間元素相互“對應(yīng)”的關(guān)系，為名詞。映射，或者射影，在數(shù)學(xué)及相關(guān)的領(lǐng)域經(jīng)常等同于函數(shù)。 基于此，部分映射就相當(dāng)于部分函數(shù)，而完全映射相當(dāng)于完全函數(shù)。而人機(jī)之間的映射不僅包含數(shù)學(xué)，還包含數(shù)學(xué)之外的各種學(xué)科，是數(shù)與非數(shù)間的復(fù)雜多維關(guān)系表征！

數(shù)學(xué)上的定義

    兩個(gè)非空集合A與B間存在著對應(yīng)關(guān)系f，而且對于A中的每一個(gè)元素x，B中總有有唯一的一個(gè)元素y與它對應(yīng)，就這種對應(yīng)為從A到B的映射，記作f：A→B。其中，b稱為元素a在映射f下的象，記作：b=f(a)。a稱為b關(guān)于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合稱為映射f的值域，記作f(A)。

    或者說，設(shè)A,B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射。

    映射，或者射影，在數(shù)學(xué)及相關(guān)的領(lǐng)域還用于定義函數(shù)。函數(shù)是從非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射，而且只能是一對一映射或多對一映射。

    映射在不同的領(lǐng)域有很多的名稱，它們的本質(zhì)是相同的。如函數(shù)，算子等等。這里要說明，函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集之間的映射，其他的映射并非函數(shù)。一一映射(雙射)是映射中特殊的一種，即兩集合元素間的唯一對應(yīng)，通俗來講就是一個(gè)對一個(gè)（一對一）。

    注意：(1)對于A中不同的元素，在B中不一定有不同的象；（2）B中每個(gè)元素都有原象（即滿射），且集合A中不同的元素在集合B中都有不同的象（即單射），則稱映射f建立了集合A和集合B之間的一個(gè)一一對應(yīng)關(guān)系，也稱f是A到B上的一一映射。

成立條件

    映射的成立條件簡單的表述就是：

1．定義域的遍歷性：X中的每個(gè)元素x在映射的值域中都有對應(yīng)對象

2．對應(yīng)的唯一性：定義域中的一個(gè)元素只能與映射值域中的一個(gè)元素對應(yīng)

個(gè)數(shù)關(guān)系

    集合AB的元素個(gè)數(shù)為m,n,那么，從集合A到集合B的映射的個(gè)數(shù)為。

函數(shù)和映射，滿映射和單映射的區(qū)別：

    函數(shù)是數(shù)集到數(shù)集映射，并且這個(gè)映射是“滿”的。

    即滿映射f: A→B是一個(gè)函數(shù)，其中原像集A稱做函數(shù)的定義域，像集B稱做函數(shù)的值域。

    “數(shù)集”就是數(shù)字的集合，可以是整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)或是它們的一部分等等。

    “映射”是比函數(shù)更廣泛一些的數(shù)學(xué)概念，它就是一個(gè)集合到另一個(gè)集合的一種確定的對應(yīng)關(guān)系。即，若f是集合A到集合B的一個(gè)映射，那么對A中的任何一個(gè)元素a，集合B中都存在唯一的元素b與a對應(yīng)。我們稱a是原像，b是像。寫作f: A→B，元素關(guān)系就是b = f(a).

    一個(gè)映射f: A→B稱作“滿”的，就是說對B中所有的元素，都存在A中的原象。

    在函數(shù)的定義中不要求是滿射，就是說值域應(yīng)該是B的子集。（這個(gè)定義來源于一般中學(xué)中的講法，實(shí)際上許多數(shù)學(xué)書上并不一定定義函數(shù)是滿射。）

    象集中每個(gè)元素都有原象的映射稱為滿射 ：即B中的任意一元素y都是A中的像，則稱f為A到B上的滿射，強(qiáng)調(diào)f(A)=B（B的原象可以多個(gè)）。

    原象集中不同元素的象不同的映射稱為單射 ：若A中任意兩個(gè)不同元素x1≠x2,它們的像f(x1)≠f(x2)，則稱f為A到B的單射，強(qiáng)調(diào)f(A)是B的子集。

    單射和滿射可共同決定為一一雙射。

分類

映射的不同分類是根據(jù)映射的結(jié)果進(jìn)行的，從下面的三個(gè)角度進(jìn)行：

1．根據(jù)結(jié)果的幾何性質(zhì)分類：滿射（到上）與非滿射（內(nèi)的）；

2．根據(jù)結(jié)果的分析性質(zhì)分類：單射（一一的）與非單射；

3．同時(shí)考慮幾何與分析性質(zhì)：滿的單射（一一對應(yīng)）。

應(yīng)用

    在很多特定的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，這個(gè)術(shù)語用來描述具有與該領(lǐng)域相關(guān)聯(lián)的特定性質(zhì)的函數(shù)，例如，在拓?fù)鋵W(xué)中的連續(xù)函數(shù)，線性代數(shù)中的線性變換等等。在形式邏輯中，這個(gè)術(shù)語有時(shí)用來表示函數(shù)謂詞（Functional predicate），在那里函數(shù)是集合論中謂詞的模型。

    如果將函數(shù)定義中兩個(gè)集合從非空集合擴(kuò)展到任意元素的集合（不限于數(shù)），我們可以得到映射的概念：映射是數(shù)學(xué)中描述了兩個(gè)集合元素之間一種特殊的對應(yīng)關(guān)系的一個(gè)術(shù)語。

    按照映射的定義，下面的對應(yīng)都是映射。

（1）設(shè)A={1,2,3,4}，B={3,5,7,9}，集合A中的元素x按照對應(yīng)關(guān)系“乘2加1”和集合B中的元素對應(yīng)，這個(gè)對應(yīng)是集合A到集合B的映射。

（2）設(shè)A=N*，B={0,1}，集合A中的元素按照對應(yīng)關(guān)系“x除以2得的余數(shù)”和集合B中的元素對應(yīng)，這個(gè)對應(yīng)是集合A到集合B的映射。

（3）設(shè)A={x|x是三角形}，B={y|y>0}，集合A中的元素x按照對應(yīng)關(guān)系“計(jì)算面積”和集合B中的元素對應(yīng)，這個(gè)對應(yīng)是集合A到集合B的映射。

（4）設(shè)A=R，B={直線上的點(diǎn)}，按照建立數(shù)軸的方法，是A中的數(shù)x與B中的點(diǎn)P對應(yīng)，這個(gè)對應(yīng)是集合A到集合B的映射。

（5）設(shè)A={P|P是直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)}，B={(x,y)|x∈R,y∈R}，按照建立平面直角坐標(biāo)系的方法，是A中的點(diǎn)P與B中的有序?qū)崝?shù)對(x,y)對應(yīng)，這個(gè)對應(yīng)是集合A到集合B的映射。

    “映射”或者“投影”，需要預(yù)先定義投影法則部分的函數(shù)后進(jìn)行運(yùn)算。因此“映射”計(jì)算可以實(shí)現(xiàn)跨維度對應(yīng)。相應(yīng)的微積分屬于純數(shù)字計(jì)算無法實(shí)現(xiàn)跨維度對應(yīng)，運(yùn)用微分模擬可以實(shí)現(xiàn)本維度內(nèi)的復(fù)雜模擬。 映射可以對非相關(guān)的多個(gè)集合進(jìn)行對應(yīng)的近似運(yùn)算，而微積分只能在一個(gè)連續(xù)相關(guān)的大集合內(nèi)進(jìn)行精確運(yùn)算。