定理：如下圖，若銳二面角的大小為，點(diǎn)A為平面內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)A到二面角棱CD的距離為，點(diǎn)A到平面的距離AH=d，則有。

說(shuō)明：中含有3個(gè)參數(shù)，已知其中任意2個(gè)可求第3個(gè)值。其中是指二面角的大小，d表示點(diǎn)A到平面的距離，m表示點(diǎn)A到二面角棱CD的距離。

值得指出的是：可用來(lái)求解點(diǎn)到平面的距離，也可用于求解相關(guān)的二面角大小問(wèn)題。其優(yōu)點(diǎn)在于應(yīng)用它并不強(qiáng)求作出經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的二面角的平面角∠ABH，而只需已知點(diǎn)A到二面角棱的距離，與二面角大小，即可求解點(diǎn)A到平面的距離，或已知兩種“距離”即可求二面角的大小。這樣便省去了許多作圖過(guò)程與幾何邏輯論證，簡(jiǎn)縮了解題過(guò)程。

還要注意，當(dāng)已知點(diǎn)A到平面的距離d與點(diǎn)A到二面角棱CD的距離m求解二面角的大小時(shí)，若所求二面角為銳二面角，則有；若所求二面角為鈍二面角，則

例1、如下圖，已知四棱錐P-ABCD，PB⊥AD，側(cè)面PAD為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°。

（1）求點(diǎn)P到平面ABCD的距離；

（2）求面APB與面CPB所成二面角的大小。

分析：如上圖，作PO⊥平面ABCD，垂足為O，即PO為點(diǎn)P到平面ABCD距離。第（1）問(wèn)要求解距離PO，只需求出點(diǎn)P到二面角P-AD-O的棱AD的距離，及二面角P-AD-O的大小即可。第（2）問(wèn)要求解二面角A-PB-C的大小，只需求出點(diǎn)C到二面角A-PB-C棱PB的距離及點(diǎn)C到半平面APB的距離即可。

解：（1）如上圖，取AD的中點(diǎn)E，連結(jié)PE。由題意，PE⊥AD，即。

又二面角P-AD-O與二面角P-AD-B互補(bǔ)，所以二面角P-AD-O的大小為60°，即。于是由公式知：點(diǎn)P到平面ABCD的距離為

。

（2）設(shè)所求二面角A-PB-C的大小為，點(diǎn)C到平面PAB的距離為d。

連接BE，則BE⊥AD（三垂線(xiàn)定理），AD⊥平面PEB，因?yàn)?/span>AD∥BC，所以BC⊥平面PEB，BC⊥PB，即點(diǎn)C到二面角棱PB的距離為2，即m=2。

又因?yàn)?/span>PE=BE=，∠PEB=120°，所以在ΔPEB中，由余弦定理可求得PB=3。

取PB的中點(diǎn)F，連結(jié)AF，因?yàn)?/span>PA=AB=2，則AF⊥PB，，所以，即。又易求得，點(diǎn)P到平面ABC的距離：。

根據(jù)等體積法，有

，

即，所以，代入公式

。

又由于面PBC⊥面PEB，所以所求二面角A-PB-C為鈍二面角，所以

例2、已知ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離。

分析：欲求點(diǎn)B到平面GEF的距離，直接求解較困難。為此我們令平面GEF作為某二面角的一個(gè)半平面，當(dāng)然二面角的另一個(gè)半平面即為平面BEF，為此我們只需找到該二面角的平面角及點(diǎn)B到二面角棱EF的距離即可。

解：如下圖，過(guò)B作BP⊥EF，交EF的延長(zhǎng)線(xiàn)于P，連結(jié)AC交EF于H，連結(jié)GH，易證∠GHC就是二面角G-EF-C的平面角。

又，這就是點(diǎn)B到二面角C-EF-G棱EF的距離

因?yàn)?/span>GC=2，，所以，GH=，在RtΔGCH中，，于是由得所求點(diǎn)B到平面GEF的距離：

。

例3、已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面A₁ACC₁與底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C。求頂點(diǎn)C與側(cè)面A₁ABB₁的距離。

分析：如下圖所示，解答好本題的關(guān)鍵是找到底面ABC的垂線(xiàn)A₁D，找到了底面的垂線(xiàn)A₁D，就可根據(jù)三垂線(xiàn)定理，作出側(cè)面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角的平面角A₁DE，求出二面角A₁-AB-C的平面角大小，就可依據(jù)公式找到點(diǎn)D到平面A₁ABB₁的距離d，進(jìn)而根據(jù)D為AC中點(diǎn)，也就不難求出點(diǎn)C到側(cè)面A₁ABB₁的距離。

解：如上圖，在側(cè)面A₁ACC₁內(nèi)，作A₁D⊥AC，垂足為D，因?yàn)?/span>AA₁=A₁C，所以D為AC的中點(diǎn)。又因?yàn)?/span>AA₁⊥A₁C，，A₁D=AD=。

因?yàn)閭?cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC，其交線(xiàn)為AC，所以A₁D⊥面ABC。

過(guò)D作DE⊥AB，垂足為E，連接A₁E，則由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB（三垂線(xiàn)定理），所以∠A₁ED為側(cè)面A₁ABB₁與面ABC所成二面角的平面角。

由已知，AB⊥BC，得ED∥BC，又D是AC的中點(diǎn)，BC=2，所以DE=1，，故∠A₁ED=60°。

于是由公式知，點(diǎn)D到側(cè)面A₁ABB₁的距離

。

又點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，故而點(diǎn)C到側(cè)面A₁ABB₁的距離為點(diǎn)D到側(cè)面A₁ABB₁距離的2倍，于是知點(diǎn)C到側(cè)面A₁ABB₁的距離為。