家庭主婦數(shù)學(xué)0基礎(chǔ)，卻用地磚破解世紀(jì)難題

昵稱41082923 2018-05-26

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我們時常會在科學(xué)史中看到一些“掃地僧”式的人物，他們名不見經(jīng)傳，甚至沒受過正經(jīng)的科學(xué)訓(xùn)練，卻能無心插柳神乎其技地鼓搗出一個大發(fā)現(xiàn)，成為江湖上不朽的傳說。1975年，美國一位只學(xué)過一年數(shù)學(xué)的家庭主婦也成為了這樣一個人物，憑借在圖形鑲嵌的突破性發(fā)現(xiàn)，一舉成為數(shù)學(xué)界的新星。

美國業(yè)余數(shù)學(xué)家馬喬里·賴斯。圖片來源：Quanta Magazine

這個主婦叫馬喬里·賴斯（Marjorie Rice），在了解她的故事之前，我們需要熟悉一下她的研究領(lǐng)域——圖形鑲嵌。

什么是圖形鑲嵌呢？

圖形鑲嵌，就是一門鋪磚的學(xué)問。圖片來源：Quanta Magazine

在數(shù)學(xué)上，如果用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙，不重疊地鋪成一片，這樣的拼接情況就被稱作平面圖形的鑲嵌，也叫密鋪法。

數(shù)學(xué)家在討論圖形鑲嵌時，有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆诸惡投x，如周期性鑲嵌（出現(xiàn)的圖案是重復(fù)的），非周期鑲嵌等等，本文討論的是周期性鑲嵌。

這個概念你也許并不熟悉，但鋪地磚你一定不陌生，這是圖形鑲嵌應(yīng)用的最廣泛的場景。你有沒有想過，為什么地磚大多都是正方形的呢？那是因為正方形可以說是最完美的四邊形了，四邊相等，四個角都是直角，兩條對角線長度相等，互相垂直平分，有這么多幾何性質(zhì)，我們很容易按照網(wǎng)格將一塊地鋪滿。生活中的房間中地面基本也是矩形為主，所以只需要在最邊上那塊對地磚進(jìn)行切割就可以完美地將房間鋪滿。

你家的地磚是什么形狀的？圖片來源：B&Q.com

可見，只有具備一定性質(zhì)的圖形，才能成為一塊合格的磚啊。

別看鋪地磚這個事情沒什么技術(shù)含量，從古希臘時人們就開始琢磨其中的門道了，人們時不時地就會思考這么一個問題：什么樣的凸多邊形才可以鑲嵌平面呢？

我們首先會想到的是正多邊形。正六邊形可以把平面鋪滿，因為它的每個內(nèi)角都是120°，在每個拼接點處，三個內(nèi)角恰好能組成360°；同理，正三角形、正四邊形也可以實現(xiàn)這個要求，而其他種類的正多邊形卻無法把平面鋪滿（你知道這是為什么嗎？）。

除正三角形、正四邊形和正六邊形外，其它正多邊形都不可以把平面鋪滿。圖片來源：guokr.com

那除了正多邊形以外，不規(guī)則多邊形可以進(jìn)行平面鑲嵌嗎？

任意的三角形無疑是可以的，兩個全等的三角形可以拼成平行四邊形，平行四邊形可以鑲嵌；凸四邊形顯然也是可以的。那五邊形可以嗎？

破解世紀(jì)難題

當(dāng)我們考慮到五邊形，事情就變得有趣起來。我們知道正五邊形是無法鑲嵌平面的，但一些特殊的不規(guī)則五邊形卻可以。德國數(shù)學(xué)家卡爾·萊因哈特（Karl Reinhardt）于1918年發(fā)現(xiàn)了五種可以鑲嵌平面的五邊形，從那時起，尋找可以鑲嵌平面的五邊形并將它們分類就成為了一個世紀(jì)難題。

最早發(fā)現(xiàn)的五種五邊形。圖片來源：wikipedia.com

在當(dāng)時，很多人都認(rèn)為所有可以鑲嵌平面的五邊形都已經(jīng)找出來了，但事實并非如此：1968年，R·B·克什納（R. B.Kershner）又發(fā)現(xiàn)了三種；1975年，理查德·詹姆斯（Richard James）也發(fā)現(xiàn)了一種新的五邊形。

也就在這一年，本故事的女主角，圣地亞哥的50歲家庭主婦馬喬里·賴斯從雜志上看到了這個“尋找五邊形”的研究。馬喬里只在高中學(xué)過一年數(shù)學(xué)，是照顧五個孩子的全職媽媽，但她始終對數(shù)學(xué)充滿濃厚的興趣，經(jīng)常趁孩子不在家的時候閱讀與數(shù)學(xué)有關(guān)的文章，并嘗試做一些研究?？吹竭@個問題，她覺得沒準(zhǔn)自己也能試試，隨后的日子里，賴斯開始在廚房的地板上涂涂畫畫，試圖找到新的五邊形。她不怎么會使用數(shù)學(xué)符號，就發(fā)明了一套自己的符號系統(tǒng)，這種土法研究看上去十分簡陋，但是沒想到真的被她找到了一個！

賴斯找到的五邊形。圖片來源：wikipedia.com

到了1977年，狀態(tài)神勇的馬喬里又發(fā)現(xiàn)了三種新的五邊形，還發(fā)現(xiàn)了五十多種其他類型的鑲嵌圖形，她的一位數(shù)學(xué)家朋友專門為其撰寫了論文并獲得發(fā)表。

截止到今天，人類發(fā)現(xiàn)的、能夠?qū)崿F(xiàn)平面鑲嵌的凸五邊形也只有15個而已，馬喬里獨占四席，可以說是數(shù)學(xué)史上最剽悍的主婦大媽了。2017年的時候，有數(shù)學(xué)家證明，“五邊形鑲嵌”問題只存在這15種情況,如果這種說法得到證實，那這個世紀(jì)難題就要正式落下帷幕了。

這15種五邊形，可能就是問題的全部答案了。圖片來源：wikipedia.com

為什么這么多數(shù)學(xué)家對平面鑲嵌理論如此著迷呢？除了其自身所具有的幾何學(xué)美感之外，它背后的應(yīng)用價值也值得我們一探究竟。我們利用它設(shè)計建筑的各種圖案，計算如何最大利用空間節(jié)省成本。在如何優(yōu)化晶體結(jié)構(gòu)等問題中，它也發(fā)揮著巨大的作用?，F(xiàn)在再看你腳下的地磚，是不是覺得它不再那么平凡了呢？

一個AI：你見過哪些奇怪的地磚/瓷磚呢？歡迎上傳照片到“果殼少年”后臺留言，我會把大家的回復(fù)整理成“地磚合集”，敬請期待！