思維能力培養(yǎng)非一朝一夕之功，需老師于每一堂課每一道題每一個知識點之中滲透、引導(dǎo)、點化。人的理性雖然與生俱來，但往往是潛藏不露的，仍需老師引導(dǎo)、發(fā)掘、訓(xùn)練。未經(jīng)訓(xùn)練的人多依賴直覺和感性，憑記憶和習(xí)慣做決定，缺乏批判精神和理性思維。學(xué)生的思維方式和思考習(xí)慣要及早培養(yǎng)，一旦形成不良思維定勢要想改變將事倍功半。如解題時第一反應(yīng)應(yīng)該是分析與推理，而不是回憶與模仿?；貞浥c模仿是活在過去，屬于固定型思維，分析與推理是活在當(dāng)下，屬于成長型思維。

問題是培養(yǎng)思維的基本工具，本文以一道經(jīng)典題為例帶你探討如何用好一道題，充分發(fā)掘它在知識理解和思維方法諸方面的多種作用，達(dá)到以一敵百一通百通之效。

【原題】

已知：CN平分正方形ABCD的外角∠DCE，M是BC邊上的一點，MN⊥AM.

求證：AM＝MN

【一、題中有法】

解題總策略：加減、進(jìn)退、分合、動靜。

策略口訣：少則加之，多則減之，能進(jìn)則進(jìn)，難進(jìn)則退，分析解構(gòu)，整合組塊，以動破靜，以靜制動。

1.加法：少則加之，圖中有部分全等條件，將之添加補(bǔ)全即可得證。

法（1）：如下圖，添加AC'=CM，得ΔMCN?ΔAC'M。

法（2）：作NF⊥CE，由∠FCN=45°得CF = NF，由∠B=∠NFM=90°得ΔABM∽ΔMFN，再由之繼續(xù)推導(dǎo)，如下圖。

2.動法：以動破靜。

法（3）：由條件MN⊥AM，結(jié)論MN=AM，知其所在全等三角形是旋轉(zhuǎn)90度。如下圖所示：

我們可以換個旋轉(zhuǎn)中心，將ΔMCN繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90度，如下圖，作MC'⊥AC即可證ΔMCN?ΔMC'A。

法（4）：再換個旋轉(zhuǎn)中心，將ΔMCN繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90度，如下圖，可證由ΔMCN?M'CN'再證四邊形AMM'N'是平行四邊形（兩組對邊平行）。

法（5）：再換個旋轉(zhuǎn)方向，將ΔMCN繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90度，如下圖，可證由ΔMCN?M'CN'再證四邊形AMN'M'是平行四邊形（兩組對邊平行）。

法（6）：再用翻變換，如下圖，考慮到延長AC后，CE平分∠NCN'，把△MCN沿ME翻折，可證等腰△AMN'（AM=MN'）。

法（7）：與上圖相對應(yīng)，考慮到延長NC，CB平分∠ACA'，把△ABM沿BC翻折，可證等腰△MA'N（MN=MA'），如下圖。

法（8）：把ΔABM逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再作M'N∥BC、M'A'∥MN、M'C'∥CN，由∠A'=∠CMN=∠BAM得∠ΔABM∽ΔA'BM'，且有平行四邊形MNM'A'，CNM'C'，CM=A'C'，推導(dǎo)如下。

法（9）：若把ΔABM旋轉(zhuǎn)如下圖（注意因為沒有等線，不可以直接旋轉(zhuǎn)，應(yīng)作平行線B'M、B'N），請讀者自行推導(dǎo)。

3.進(jìn)法：能進(jìn)則進(jìn)。

法（10）：從∠AMN=90°前進(jìn)，構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理。

4.合法：整合組塊。

法（11）：連接AC、AN，出現(xiàn)四點共圓基本模型，由∠AMN=∠ACN=90°，知A、M、C、N四點共圓，易得∠ANM=∠ACB=45°，得AM=MN。

【二、題中有題】

原題還能延伸出其它相關(guān)問題嗎？

1.條件置換：把條件作對等變換，如線段上的點運(yùn)動到其延長線上，正方形變?yōu)檎切蔚取?/span>

（1）圖形中點M是BC邊上的動點，把M點的運(yùn)動位置變換到BC的延長線上（如下圖），結(jié)論還成立嗎？上面的方法還能應(yīng)用嗎？

（2）繼續(xù)把M點的位置變換到B點的左側(cè)時（如下圖），還成立嗎？

嘗試發(fā)現(xiàn)，不管是結(jié)論還是作輔助線的方法都完全一樣，證明過程也基本相同。

（3）把正方形變成正三角形。

已知：CN平分正三角形ABC的外角∠ACE，M是BC邊上的一點，∠AMN=60°.

求證：AM＝MN

若把正方形變成其它正多邊形同樣成立。

2.條件疊加：附加其它條件和問題，使問題信息容量加大，綜合性更強(qiáng)。

（4）如下圖，連結(jié)AN交CD于F，連結(jié)MF，還可以得到哪些新的結(jié)論？

容易想到∠MAN＝∠MNA＝45°，再看有沒有包含已做過的圖形？MF與BM、DF有什么關(guān)系？

請解答：添加條件“正方形邊長為4，DF=1，求BM的長?！?/span>

3.條件弱化：把條件的特殊性去掉，使之更一般化。

（5）猜想：AM=MN是因為正方形的條件使圖中存在全等關(guān)系，那么正方形改為矩形，AM與MN還能保持相等嗎？CN平分∠DCE需要改變嗎？

題目原圖實質(zhì)是等腰直角ΔABC進(jìn)行相似變換得ΔAMN，由一轉(zhuǎn)成雙相似模型可推得ΔACN∽ΔABM，因此∠ACN=∠ABM=Rt∠，這是圖形的根本特征，正方形條件只是提供了等腰直角ΔABC，D點擦去也無關(guān)緊要。

自然得出：如“正方形”變成“矩形”，“等腰直角ΔABC”中“等腰”的特殊性就沒有了，就會變成把“直角ΔABC”進(jìn)行相似變換，如下圖，題目變?yōu)椋?/span>

已知：矩形ABCD中，BC=2AB，M是BC邊上的一點，AM⊥MN，AC⊥CN.

求證：MN＝2AM

再看證明方法，前面的方法可以再一次使用：作MF∥AC，構(gòu)造相似三角形。

還有更簡單的方法：作以AN為直徑的輔助圓。如下圖：

（6）把M點的位置擴(kuò)展到直線BC上，仍然成立。

題目中D點是多余的，可以把題目精簡為：

已知：ΔABC中，∠B=90°，BC=2AB，M是直線BC邊上的一點，AM⊥MN，AC⊥CN.

求證：MN＝2AM

（7）繼續(xù)一般化：

已知：ΔABC中，BC=nAB，M是直線BC邊上的一點，∠B=∠AMN=∠ACN.

求證：MN＝nAM

【三、題中有理】

哲學(xué)思考是對世界的深度認(rèn)識，解決問題的過程中可以體驗并感悟事物變化規(guī)律及其蘊(yùn)含的哲理，培育理性精神和處事智慧。

上圖體現(xiàn)了事物的普遍聯(lián)系，由MN⊥AM可知全等三角形的三組對應(yīng)邊都是垂直關(guān)系，整個三角形是旋轉(zhuǎn)90度的關(guān)系。

下圖是ΔMCN繞M點旋轉(zhuǎn)90度。

下圖是ΔMCN繞C點旋轉(zhuǎn)90度。

下圖是ΔMCN沿ME翻折。

以上可以體現(xiàn)事物是在運(yùn)動變化過程中產(chǎn)生聯(lián)系的，并且運(yùn)動方式是多種多樣的。

下圖可以看成是ΔMCN繞CM的中點旋轉(zhuǎn)180度，也可以看成是ΔABM繞B點旋轉(zhuǎn)90度，體現(xiàn)了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中發(fā)展變化的和諧統(tǒng)一。

下圖是構(gòu)造輔助圓，把相關(guān)元素集中到同一圓中，證法簡潔漂亮。圓具有最完美的對稱性，圓中的元素能產(chǎn)生豐富而緊密的聯(lián)系，因此使問題清晰明了易解。

下圖把M點運(yùn)動到BC的延長線上，結(jié)論與方法不變。

下圖把正方形換成正三角形，結(jié)論與方法不變。

以上可以體現(xiàn)同類事物的一致性和相容性。

下圖把正方形變成矩形甚至變成一般三角形，條件變化導(dǎo)致結(jié)論進(jìn)行了相應(yīng)變化，但換個角度看所變各題與原題的內(nèi)在邏輯仍有共性：比值相等，保持AM：MN=AB：BC（正方形鄰邊比是1：1，矩形鄰邊比是1：n）。