一、不同公式和問題中的r，含義不同

萬有引力定律公式中的r指的是兩個質(zhì)點間的距離，對于相距很遠因而可以看做質(zhì)點的物體，指的是兩個球心的距離。而向心力公式中的r，對于橢圓軌道指的是曲率半徑，對于圓軌道它等于圓半徑。開普勒第三定律中的r指的是橢圓軌道的半長軸。因此，同一個r在不同公式中所具有的含義不同。

例1、如圖1所示，兩個靠得很近的恒星稱為雙星，這兩顆星必須以相同的角速度繞某一中心轉(zhuǎn)動才不至于因萬有引力而吸引在一起，已知雙星的質(zhì)量分別為和，相距為L，萬有引力常量為G，求：

（1）雙星轉(zhuǎn)動的中心位置；

（2）轉(zhuǎn)動周期。

圖1

解析：設雙星轉(zhuǎn)動中心的位置O距離為r，與兩恒星中心的距離L不同，則：

解得：

在求第二問時更應注意距離和半徑的區(qū)別，對恒星有：

得轉(zhuǎn)動同期為：

例2、飛船沿半徑為R的圓周繞地球運動，其周期為T，如果飛船要返回地面，可在軌道上某一點A處將速率降低到適當數(shù)值，從而使飛船沿著以地心為焦點的橢圓軌道運行，橢圓與地球表面在B點相切，如圖2所示，求飛船由A點運動到B點所需要的時間。（已知地球半徑為）

圖2

解析：本題用開普勒第三定律求解比較簡單。對地球衛(wèi)星繞地運行時所有衛(wèi)星的軌道半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期平方的比值都相等，對于在圓周軌道上運行的衛(wèi)星其軌道的半長軸就是圓半徑，所以，當飛船在圓周上繞地球運動時，有，當飛船進入橢圓軌道運動時，有，由兩式聯(lián)立得飛船在橢圓軌道上運動的周期：

故解得飛船由A運動到B點所需的時間為

二、向心加速度與重力加速度

對于向心加速度與重力加速度兩個概念，既有區(qū)別又有聯(lián)系：（1）在地球表面的不同緯度處，重力加速度的數(shù)值不相等，各處的向心加速度也不同；（2）在距離地面一定高度處繞地心做勻速圓周運動的物體具有的向心加速度和該處的重力加速度相等。

設地球質(zhì)量為M，地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，物體m離開地心的距離為r，在該處的向心加速度為，重力加速度為，則由：

聯(lián)立得：

在距離地面一定高度處繞地心做勻速圓周運動的物體，重力完全提供向心力，所以物體處于完全失重狀態(tài)，視重為零，物體本身受的重力即萬有引力并不等于零。

例3、用m表示地球同步通信衛(wèi)星的質(zhì)量，h表示它離地面的高度，R表示地球的半徑，g表示地球表面處的重力加速度，ω表示地球自轉(zhuǎn)的角速度，則該通信衛(wèi)星所受地球?qū)λ娜f有引力的大小等于（ ）

A. 0

B. 

C. 

D. 

解析：在離地心為r處的這個表達式可以當做推論公式使用，這樣解答就顯得更加簡便。通信衛(wèi)星受到地球?qū)λ娜f有引力的大小

由得：，則，故正確選項是B、C。

三、人造地球衛(wèi)星的運行速度和發(fā)射速度

第一、第二、第三宇宙速度都是指衛(wèi)星相對于地球的發(fā)射速率。若地球表面的空氣阻力可以忽略，地球是個質(zhì)量均勻的理想球體，則當人造地球衛(wèi)星繞地球表面做勻速圓周運動時，由萬有引力提供向心力，即，得衛(wèi)星的運行速度（M為地球的質(zhì)量），從式中可以看出，衛(wèi)星離地面越高，其運行速度越??；衛(wèi)星離地面越近，其運行速度越大。當衛(wèi)星近地運行時，軌道半徑（地球半徑），這時其運行速度最大，即為，因此，人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的最大運行速度為，也就是說第一宇宙速度是衛(wèi)星的最大運行速度。那么是衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的最大還是最小的發(fā)射速度？

雖然距地面高的衛(wèi)星運行速度比靠近地面的衛(wèi)星運行速度小，但是向高軌道發(fā)射衛(wèi)星卻比低軌道發(fā)射衛(wèi)星要困難。因為向高軌道發(fā)射衛(wèi)星，火箭要克服引力做更多的功。

具體可以這樣來分析：

當一質(zhì)量為m的衛(wèi)星以速度v繞質(zhì)量為M的地球做半徑為r的圓周運動，如以無窮遠處作為零勢能點，則它的動能和勢能分別為：

又因

所以，衛(wèi)星的總能量

由以上推導可見，衛(wèi)星飛得越高，其速度越慢，但是它的總能量卻越大，這是發(fā)射高軌道衛(wèi)星比較困難的原因之一。故7.9 km/s是人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度。

例4、關于第一宇宙速度，下面說法中正確的是（ ）

A.它是人造衛(wèi)星繞地球飛行的最小速度

B.它是近地圓軌道上人造衛(wèi)星的運行速度

C.它是衛(wèi)星在橢圓軌道上運行時在近地點的速度

D.它又叫環(huán)繞速度，即繞地球做圓軌道運行的衛(wèi)星的速度都是第一宇宙速度

解析：所謂近地圓軌道是指地球為理想球體，地球沒有大氣層的情況下緊貼地面的圓軌道。第一宇宙速度即是一個特定的數(shù)值，是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運動的最大運行速度。由上面的概念可知，衛(wèi)星做圓周運動時，離地越高，其運行速度越小，并不是繞地球做圓軌道運行的衛(wèi)星速度都是第一宇宙速度。如果人造衛(wèi)星進入地面附近的軌道速度大于，而小于，它繞地球運動的軌道就不是圓，而是橢圓。因此，該題的正確選項是B。