錢德春（江蘇省泰州市教育局教研室）

摘要：試題命制通過對教材例、習(xí)題問題的合理組合，條件與結(jié)論的交換（強(qiáng)化或弱化），以及問題的適當(dāng)延伸，方法的遷移等形式，考查學(xué)生信息提取與分解能力、問題探究與方法遷移能力、素養(yǎng)提升與后續(xù)發(fā)展能力，從而引導(dǎo)教師教學(xué)，凸顯教材地位，挖掘教材內(nèi)涵，關(guān)注教材所蘊(yùn)涵的思想方法，并形成學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力．

關(guān)鍵詞：信息提?。煌卣寡由?；思維品質(zhì)；數(shù)學(xué)本質(zhì)

大多數(shù)初中數(shù)學(xué)試題都源于教材，通過對教材例、習(xí)題的問題組合、交換（或強(qiáng)化）條件和結(jié)論、問題延伸等手段，以考查學(xué)生對信息提取與分解能力，問題探究與方法遷移能力，素養(yǎng)提升與后續(xù)發(fā)展能力．其明顯而深遠(yuǎn)的指向意義就是，教學(xué)要凸顯教材地位，關(guān)注教材所蘊(yùn)涵的思想方法，并挖掘教材要表達(dá)又無法言說的意義，并形成學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動力．文章以2014年江蘇省泰州市卷的幾道中考試題追本溯源，談試題命制對教學(xué)的啟示．

一、組合問題，指向信息提取與問題分解

1.試題再現(xiàn)

件進(jìn)行適當(dāng)變式：一是將條件“∠APB=120°”改為“過點(diǎn)A，D，E作⊙O，使∠AOD=120°”，使顯性條件隱性化；二是將結(jié)論中的“判斷三角形是否相似”生成為“求y與x的函數(shù)關(guān)系式”，使問題得以延伸．

3.教學(xué)啟示

（1）培養(yǎng)信息提取與分解能力．

大多數(shù)學(xué)生可以單獨(dú)解決問題1或問題2. 為什么在將兩個問題組合后，不少學(xué)生就束手無策呢？原因在于學(xué)生從復(fù)雜問題中提取與分解信息的能力不夠．教材中有許多看似基礎(chǔ)的問題，通過適當(dāng)組合就可能變?yōu)橐坏谰C合問題. 事實上，不少綜合題就是由教材基礎(chǔ)問題組合而成的．教學(xué)中要有意識地通過對教材問題的組合與分解，培養(yǎng)學(xué)生從復(fù)雜問題中分解、提取基本信息的能力，并引導(dǎo)學(xué)生在問題的變式與拓展中，學(xué)會把握問題的本質(zhì)．如上述的問題2，可以做如下變式.

（2）強(qiáng)化策略篩選與優(yōu)化能力．

圖形是數(shù)學(xué)信息的載體，更是催生數(shù)學(xué)解題智慧的搖籃．例1的結(jié)論中“求y與x的函數(shù)關(guān)系式”的實質(zhì)就是求線段間的關(guān)系，而這類問題常用策略有三角形全等或相似、勾股定理、三角函數(shù)、等積變形等．此題的條件中角的關(guān)系較多，可以嘗試從三角形相似入手，尋找含有相關(guān)線段的一對三角形，如果沒有三角形，則想辦法法連接某些線段構(gòu)成三角形，通過角的關(guān)系證明相似，從而得到線段的比例關(guān)系．要引導(dǎo)學(xué)生分析由條件能得到哪些結(jié)論？所求的結(jié)論需要什么條件？結(jié)論與條件之間需要架設(shè)什么橋梁？還有沒有其他方法？你認(rèn)為什么方法最易理解？……教學(xué)中要有意識地滲透這些策略，并及時幫助學(xué)生梳理知識與思想，歸納方法與策略，學(xué)會篩選與優(yōu)化，在問題解決中積累活動經(jīng)驗．

二、交換條件和結(jié)論，直擊數(shù)學(xué)思想與思維品質(zhì)

垂足為點(diǎn)M，那么GE，HF相等嗎？證明你的結(jié)論．

教材原題是通過構(gòu)造全等三角形來解決，問題的呈現(xiàn)體現(xiàn)了從特殊到一般的思想，問題的解決滲透了化歸的思想．此題通過交換教材原題的條件、結(jié)論，并對部分條件適當(dāng)強(qiáng)化（∠DAE =30°，M為AE的中點(diǎn)），改編為一道填空題，旨在考查學(xué)生操作探究與逆向思維能力．不少學(xué)生由條件“PQ=AE”聯(lián)想教材中的問題得到“PQ⊥AE”，進(jìn)而直接得出AP=2，結(jié)果失去一解，這是由于對教材問題過度機(jī)械強(qiáng)化使學(xué)生形成了思維定勢．

3.教學(xué)啟示

（1）靜態(tài)問題動態(tài)化探究．

改編后的試題看似為靜態(tài)問題，實為動態(tài)探究問題．例2中求AP長的實質(zhì)是確定點(diǎn)P的位置，而點(diǎn)P確定之前可以理解為動態(tài)的.不妨將過點(diǎn)M的直線繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，這時會發(fā)現(xiàn)滿足“PQ=AE”的點(diǎn)有兩種情形，再通過計算得AP=2或AP=1．可見，問題解決的過程是一個動態(tài)操作、嘗試猜想、聯(lián)想決策、運(yùn)算驗證的過程，也是將靜態(tài)問題動態(tài)化探究的過程．教材中這樣的素材較多，應(yīng)該引起教師在教學(xué)中給予足夠的重視．

（2）常態(tài)問題逆向性思考．

此題的思路是怎樣的呢？不妨這樣思考，求AP的長,就是確定點(diǎn)P在AD上的位置，教材上的題目是由“PQ⊥AE”得“PQ=AE”；反之，滿足“PQ=AE”時一定有PQ⊥AE嗎？除了垂直外，還有一種位置與垂直的情形成軸對稱，這就是逆向思維問題．教學(xué)中，強(qiáng)調(diào)對教材題的變式、拓展和引伸，就是培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣與品質(zhì).波利亞曾說過，假如你想要從解題中得到最大的收獲，你就應(yīng)當(dāng)在所做的題目中去找出它的特征，那些特征在你以后去求解其他問題時，能起到指引的作用．教學(xué)不能止于解決當(dāng)前問題，要啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行深入的探究，發(fā)揮問題應(yīng)有的教學(xué)價值．例如，說出原問題的逆命題，對條件強(qiáng)化（弱化），提出更一般或開放的結(jié)論等，并討論其正確性，以培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)與反思的習(xí)慣．

三、拓展延伸，凸顯活動經(jīng)驗與數(shù)學(xué)本質(zhì)

此題改編自蘇科版《教科書》九年級上冊第一章“圖形與證明（二）”第3節(jié)的習(xí)題第1題，命題時將圖形位置做了調(diào)整；第（2）小題是添加條件變成幾何計算題．

問題：略.

為相關(guān)基本圖形（如圖14）；30°角轉(zhuǎn)化為含30°角的直角三角形、等邊三角形，平行四邊形面積轉(zhuǎn)化為等積三角形面積等．這些方法與策略的獲得不是靠給予，不依賴記憶，而是學(xué)生活動經(jīng)驗的逐步積累．

（2）滲透數(shù)學(xué)思想，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)．

題目載體的改變和條件的弱化都不是目的，在變化中抓住不變的核心特征才是問題解決的關(guān)鍵．此題中∠ABC的大小、BD的長度都睡不好確定的，隨著點(diǎn)C位置的變化，□ADEF的形狀也在變化，但□ADEF的面積保持不變．可以從特殊情形入手，變中求不變，動中求靜，以靜制動，把動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題解決，從而找到問題解決的突破口．在變化的圖形中求不變的量，凸顯了數(shù)學(xué)的內(nèi)在本質(zhì)．變中不變的數(shù)學(xué)思想正是該題的價值所在．?dāng)?shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高境界．教師在對教材的例、習(xí)題教學(xué)時不能只停留在問題本身，要引導(dǎo)學(xué)生在問題探究中感受其蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)本質(zhì)與思想，體會問題的意境與內(nèi)涵．

四、方法遷移，關(guān)注數(shù)學(xué)素養(yǎng)與持續(xù)發(fā)展

1.試題再現(xiàn)

2.追本溯源

此題第（2）小題的命制思路源于蘇科版《教科書》九年級上冊，一是第119頁的例1“證明圓外角大于圓內(nèi)角”，二是第128頁“直線與圓位置關(guān)系的判定方法”．

3.教學(xué)啟示

此題給我們的啟示在于：教學(xué)中如何將教材核心知識融入到學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升和可持續(xù)發(fā)展能力的培養(yǎng)中．

（1）數(shù)學(xué)的核心知識是教學(xué)的重點(diǎn)．

從知識上說，例4突出考查了教材核心知識．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》降低了與圓有關(guān)的證明要求，對圓與圓的位置關(guān)系知識做了刪減，但圓周角定理、垂徑定理、直線與圓位置關(guān)系的判斷、性質(zhì)仍然是核心知識與必考內(nèi)容．從方法上來說，線段的平方問題應(yīng)該在三角形相似或者勾股定理上尋求突破，聯(lián)系到FG是圓的弦，嘗試考慮作弦心距構(gòu)造直角三角形用勾股定理解決，這是極其常見的思路．命題者以本為本，圍繞基本方法進(jìn)行了試題的編制．無論是在新授教學(xué)還是復(fù)習(xí)教學(xué)中，切不能眼高手低、急功近利，要重視基礎(chǔ)與核心知識、通解與通法的教學(xué)，注重暴露與展示知識的發(fā)生與發(fā)展過程．

（2）數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升是教師的責(zé)任．

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出，教師要為學(xué)生提供探索復(fù)雜問題，多角度理解數(shù)學(xué)的機(jī)會，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．?dāng)?shù)感即關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)

五、結(jié)束語

教材的簡明性、嚴(yán)謹(jǐn)性等特點(diǎn)導(dǎo)致不可能窮盡其所要承載的價值，教材的目的在于把我們引向更為廣闊的世界．許多數(shù)學(xué)問題是題在書外，根在書內(nèi)，是教材內(nèi)容的延伸．而這些所謂“遠(yuǎn)離教材”的問題卻充分體現(xiàn)了教材的旨趣．作為教師，要體會到教材的編寫意圖和指向意義，對教學(xué)資源進(jìn)行深入研究俞拓展，通過對教材內(nèi)容適當(dāng)?shù)难由炫c整合，豐富教學(xué)資源的內(nèi)涵，實現(xiàn)其應(yīng)有的教學(xué)價值．

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012．

[2]楊裕前，董林偉．義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)[M]．南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2013．

[3]凌云志，周維欽．圖解智慧的再感悟[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2013（2）：47-49．

[4]波利亞．?dāng)?shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)[M].劉景麟,曹之江，鄒清蓮，譯.呼和浩特：內(nèi)蒙古人民出版社，1979．

[5]苑建廣．信息轉(zhuǎn)化：問題解決的核心策略[M]．中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2012（3）：8-11．

[6]唐芬．半角模型的縱橫遷移[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2014（5）：42-44．