其實(shí)，在師范院校中開設(shè)中學(xué)幾何研究這門課程，一方面是使將要走上中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)崗位的畢業(yè)生具有一定的幾何基礎(chǔ)，即承擔(dān)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、研究任務(wù)及繼續(xù)學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)，并提高自身數(shù)學(xué)修養(yǎng)。另一方面是使畢業(yè)生能利用在高師院校學(xué)到的高等幾何知識(shí)，指導(dǎo)其中學(xué)幾何的教學(xué)和研究工作，也即使他能“居高等幾何之高”去臨“中學(xué)幾何之下”。

經(jīng)驗(yàn)證明，大多大學(xué)畢業(yè)生，他們有這樣的體會(huì)：在自己的教學(xué)過程中，大學(xué)所學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)知識(shí)幾乎沒有發(fā)揮作用；還有的甚至說：在中學(xué)任教多年，將在大學(xué)學(xué)過的高等數(shù)學(xué)知識(shí)幾乎都“還給”了大學(xué)老師；只有少數(shù)人體會(huì)到，在中學(xué)教學(xué)中，雖然高等數(shù)學(xué)知識(shí)直接涉及到的并不多，但其原理、思想、觀點(diǎn)和方法卻時(shí)常發(fā)揮著作用，那些從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究和初等數(shù)學(xué)研究的（這只是極少的一部分人）中學(xué)教師認(rèn)為，在他們的教學(xué)和科研方面，高等數(shù)學(xué)所發(fā)揮的作用是十分明顯的。

數(shù)學(xué)教育的核心，時(shí)呈現(xiàn)數(shù)學(xué)的教育形態(tài)，高效率的讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，開展中學(xué)幾何研究，必須用高觀點(diǎn)來考查中學(xué)幾何內(nèi)容，并適當(dāng)?shù)募右匝a(bǔ)充。

用高等幾何的理論和方法，去解決中學(xué)幾何問題，為中學(xué)幾何提供新的解題思路，從以下幾個(gè)方面可以體現(xiàn)高觀點(diǎn)下的中學(xué)幾何研究，究竟意義何在?

仿射變換提供的解題途徑：利用平行射影證明幾何題，平行射影是最簡(jiǎn)單的仿射變換，利用條直線之間的平行射影，將圖形中不共線的點(diǎn)和線段投射成共線的點(diǎn)和線段，可以使一些命題得證明得到簡(jiǎn)化。利用圖形的特殊仿射現(xiàn)象證明幾何題：特殊圖形，包括有正三角形，圓，菱形，等腰梯形，經(jīng)過仿射變換得到任意三角形，橢圓，平行四邊形，梯形。反之，存在仿射變換將這些一般圖形對(duì)應(yīng)的變成特殊圖形，因此證明一般圖形時(shí)可以利用仿射變換將特殊圖形的性質(zhì)應(yīng)用到證明或計(jì)算一般圖形的某些問題。

射影變換提供的解題途徑：利用透視變換保持交比進(jìn)行計(jì)算和證明，交比時(shí)射影幾何的基本不變量，利用透視變換保持交比不變，常常可以證明初等幾何中涉及線段比例的題；利用調(diào)和比證明線段的相等和角的相等，常用兩個(gè)命題，一個(gè)是若A,B,C的第四調(diào)和點(diǎn)是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則線段AB被C點(diǎn)平分，另一個(gè)是若調(diào)和線束中的第三第四兩條直線相互垂直，則它們必是第一第二兩條直線所成角的內(nèi)外平分線。

關(guān)于點(diǎn)線結(jié)合的命題的證明，具體有以下一些：利用中心射影將一條直線投射到無窮遠(yuǎn)進(jìn)行證明利用完全四點(diǎn)形的調(diào)和性質(zhì)證明用配極變換證明選擇合適的仿射坐標(biāo)系或射影坐標(biāo)系，用解析法證明

關(guān)于中學(xué)幾何作圖問題的解決途徑，利用射影幾何的方法處理中學(xué)幾何的作圖問題，有兩個(gè)特點(diǎn)：一是工具簡(jiǎn)單，二是可以解決初等幾何中很困難的一些問題用完全四點(diǎn)形的調(diào)和性質(zhì)作圖有關(guān)不可到達(dá)點(diǎn)和直線的作圖，可用笛沙格定理巴布什定理，完全四點(diǎn)形的調(diào)和性質(zhì)來完成關(guān)于二次曲線的切線作圖，可利用巴布什定理或極點(diǎn)極限理論來完成。

中學(xué)幾何研究主要針對(duì)平面解析幾何和立體幾何來開展，幾何學(xué)研究的是空間圖形。其次就是研究幾何的方法，研究方法大的來說主要有綜合幾何的方法和代數(shù)的方法兩類。綜合幾何的方法主要就是立體幾何即歐式幾何的研究范疇的公理體系，主要是關(guān)系的判定和證明。代數(shù)的方法就是解析幾何的研究范圍，主要是用代數(shù)的方法研究幾何問題，用到了解析幾何里的一些代數(shù)方法以及向量的方法。在立體幾何初步里面，主要是任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生對(duì)空間圖形的把握能力，所以新課標(biāo)適當(dāng)削弱了綜合幾何證明問題，而是提倡使用向量的方法，向量方法不但是簡(jiǎn)單，是一個(gè)通性通法，也是作用非常大的一個(gè)方法，而綜合幾何雖然配邏輯思維能力有一定的作用，但是在后面的發(fā)展是有限的，能夠?qū)@個(gè)東西有一個(gè)比較整體的認(rèn)識(shí)，就知道我們立體幾何里面不要把證明放在非常高的地位，而把認(rèn)識(shí)圖形放在主要的問題的地位來看。在某種意義上沒有解析幾何就沒有微積分，也就沒有現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

感謝笛卡爾，發(fā)明了坐標(biāo)系，從此幾何圖形有了全新的研究工具，從而解析幾何成為了一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支。解析幾何這個(gè)學(xué)科主要是研究圓錐曲線和圓錐曲面為研究對(duì)象的，當(dāng)然包括用代數(shù)方法去處理圓錐曲線和圓錐曲面的學(xué)科。但是解析幾何的思想是用代數(shù)的辦法，依托于坐標(biāo)系處理幾何問題的一個(gè)東西，比如現(xiàn)在我們所謂代數(shù)幾何，都是我們通常所說的解析幾何思想去解決的一個(gè)問題。

解析幾何的基本思想，就是把幾何問題，把一個(gè)曲線、曲面如何代數(shù)化，如何用一個(gè)代數(shù)的方程來描述。然后我們轉(zhuǎn)過頭來處理代數(shù)方程、處理代數(shù)問題。得到代數(shù)的結(jié)果或者得到代數(shù)方程我們還要看這個(gè)結(jié)果、或者這個(gè)方程的幾何含義。比如這個(gè)方程的系數(shù)在幾何上什么表示、方程的意義?；剡^頭來再來解決幾何問題，就這樣一個(gè)思想過程，從幾何到代數(shù)再?gòu)拇鷶?shù)回到幾何這樣一個(gè)完整的過程是解析幾何思想最主要的步驟。雖然可以處理不同的幾何對(duì)象，但是這個(gè)思想都是一樣的。

幾何是一個(gè)很直觀視覺的藝術(shù)，也是一個(gè)培養(yǎng)邏輯思維的載體。幾何學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位是非常重要的，可以說它占據(jù)了數(shù)學(xué)的半壁江山！幾何學(xué)培養(yǎng)學(xué)生空間想象的能力，認(rèn)識(shí)圖形，把握?qǐng)D形的能力，邏輯思維能力。但是幾何學(xué)主要是培養(yǎng)學(xué)生把握?qǐng)D形，認(rèn)識(shí)圖形的能力，而這種能力不僅是學(xué)習(xí)幾何的一個(gè)基本能力，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本能力。這里我們要特別強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的方法和能力。

而直線和平面這些內(nèi)容，是立體幾何的基礎(chǔ)，學(xué)好這部分的一個(gè)捷徑就是認(rèn)真學(xué)習(xí)定理的證明，尤其是一些很關(guān)鍵的定理的證明。例如：三垂線定理。（這個(gè)定理對(duì)今后學(xué)習(xí)線面垂直以及二面角的平面角的作法非常重要）定理的內(nèi)容都很簡(jiǎn)單，就是線與線，線與面，面與面之間的關(guān)系的闡述。但定理的證明在出學(xué)的時(shí)候一般都很復(fù)雜，甚至很抽象。掌握好定理有以下三點(diǎn)好處： 　?。?）深刻掌握定理的內(nèi)容，明確定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。 　?。?）培養(yǎng)空間想象力。 　　（3）得出一些解題方面的啟示。 　　在學(xué)習(xí)這些內(nèi)容的時(shí)候，可以用筆、直尺、書之類的東西搭出一個(gè)圖形的框架，（我們要求學(xué)生用手里的書本當(dāng)平面，筆作直線）這樣親自實(shí)踐可以幫助提高空間想象力。

從認(rèn)識(shí)平面圖形到認(rèn)識(shí)立體圖形是一次飛躍，要有一個(gè)過程。有的同學(xué)自制一些空間幾何模型并反復(fù)觀察，這有益于建立空間觀念，是個(gè)好辦法。有的同學(xué)有空就對(duì)一些立體圖形進(jìn)行觀察、揣摩，并且判斷其中的線線、線面、面面位置關(guān)系，探索各種角、各種垂線作法，這對(duì)于建立空間觀念也是好方法。

建立空間觀念要做到：重視看圖能力的培養(yǎng)：對(duì)于一個(gè)幾何體，可從不同的角度去觀察，可以是俯視、仰視、側(cè)視、斜視，體會(huì)不同的感覺，以開拓空間視野，培養(yǎng)空間感。加強(qiáng)畫圖能力的培養(yǎng)：掌握基本圖形的畫法；如異面直線的幾種畫法、二面角的幾種畫法等等；對(duì)線面的位置關(guān)系，所成的角，所有的定理、公理都要畫出其圖形，而且要畫出具有較強(qiáng)的立體感，除此之外，還要體會(huì)到用語言敘述的圖形，畫哪一個(gè)面在水平面上，產(chǎn)生的視覺完全不同，往往從一個(gè)方向上看不清的圖形，從另方向上可能一目了然。加強(qiáng)認(rèn)圖能力的培養(yǎng)：對(duì)立體幾何題，既要由復(fù)雜的幾何圖形體看出基本圖形，如點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；又要從點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系想到復(fù)雜的幾何圖形，既要看到所畫出的圖形，又要想到未畫出的部分。能實(shí)現(xiàn)這一些，可使有些問題一眼看穿。