前言
Nobody can go back and start a new beginning,but anyone can start today and make a new ending.
Name:Willam
Time:2017/3/8

1、最短路徑問題介紹

問題解釋：
從圖中的某個頂點(diǎn)出發(fā)到達(dá)另外一個頂點(diǎn)的所經(jīng)過的邊的權(quán)重和最小的一條路徑，稱為最短路徑

解決問題的算法：

• 迪杰斯特拉算法（Dijkstra算法）
• 弗洛伊德算法（Floyd算法）
• SPFA算法

這篇博客，我們就對Dijkstra算法來做一個詳細(xì)的介紹

2、Dijkstra算法介紹

• 算法特點(diǎn)：

  迪科斯徹算法使用了廣度優(yōu)先搜索解決賦權(quán)有向圖或者無向圖的單源最短路徑問題，算法最終得到一個最短路徑樹。該算法常用于路由算法或者作為其他圖算法的一個子模塊。

• 算法的思路

  Dijkstra算法采用的是一種貪心的策略，聲明一個數(shù)組dis來保存源點(diǎn)到各個頂點(diǎn)的最短距離和一個保存已經(jīng)找到了最短路徑的頂點(diǎn)的集合：T，初始時，原點(diǎn) s 的路徑權(quán)重被賦為 0 （dis[s] = 0）。若對于頂點(diǎn) s 存在能直接到達(dá)的邊（s,m），則把dis[m]設(shè)為w（s, m）,同時把所有其他（s不能直接到達(dá)的）頂點(diǎn)的路徑長度設(shè)為無窮大。初始時，集合T只有頂點(diǎn)s。
  然后，從dis數(shù)組選擇最小值，則該值就是源點(diǎn)s到該值對應(yīng)的頂點(diǎn)的最短路徑，并且把該點(diǎn)加入到T中，OK，此時完成一個頂點(diǎn)，
  然后，我們需要看看新加入的頂點(diǎn)是否可以到達(dá)其他頂點(diǎn)并且看看通過該頂點(diǎn)到達(dá)其他點(diǎn)的路徑長度是否比源點(diǎn)直接到達(dá)短，如果是，那么就替換這些頂點(diǎn)在dis中的值。
  然后，又從dis中找出最小值，重復(fù)上述動作，直到T中包含了圖的所有頂點(diǎn)。

3、Dijkstra算法示例演示

下面我求下圖，從頂點(diǎn)v1到其他各個頂點(diǎn)的最短路徑

首先第一步，我們先聲明一個dis數(shù)組，該數(shù)組初始化的值為：

我們的頂點(diǎn)集T的初始化為：T={v1}

既然是求 v1頂點(diǎn)到其余各個頂點(diǎn)的最短路程，那就先找一個離 1 號頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)。通過數(shù)組 dis 可知當(dāng)前離v1頂點(diǎn)最近是 v3頂點(diǎn)。當(dāng)選擇了 2 號頂點(diǎn)后，dis[2]（下標(biāo)從0開始）的值就已經(jīng)從“估計值”變?yōu)榱恕按_定值”，即 v1頂點(diǎn)到 v3頂點(diǎn)的最短路程就是當(dāng)前 dis[2]值。將V3加入到T中。
為什么呢？因為目前離 v1頂點(diǎn)最近的是 v3頂點(diǎn)，并且這個圖所有的邊都是正數(shù)，那么肯定不可能通過第三個頂點(diǎn)中轉(zhuǎn)，使得 v1頂點(diǎn)到 v3頂點(diǎn)的路程進(jìn)一步縮短了。因為 v1頂點(diǎn)到其它頂點(diǎn)的路程肯定沒有 v1到 v3頂點(diǎn)短.

OK，既然確定了一個頂點(diǎn)的最短路徑，下面我們就要根據(jù)這個新入的頂點(diǎn)V3會有出度，發(fā)現(xiàn)以v3 為弧尾的有： < v3,v4 >,那么我們看看路徑：v1–v3–v4的長度是否比v1–v4短，其實(shí)這個已經(jīng)是很明顯的了，因為dis[3]代表的就是v1–v4的長度為無窮大，而v1–v3–v4的長度為：10+50=60，所以更新dis[3]的值,得到如下結(jié)果：

因此 dis[3]要更新為 60。這個過程有個專業(yè)術(shù)語叫做“松弛”。即 v1頂點(diǎn)到 v4頂點(diǎn)的路程即 dis[3]，通過 < v3,v4> 這條邊松弛成功。這便是 Dijkstra 算法的主要思想：通過“邊”來松弛v1頂點(diǎn)到其余各個頂點(diǎn)的路程。

然后，我們又從除dis[2]和dis[0]外的其他值中尋找最小值，發(fā)現(xiàn)dis[4]的值最小，通過之前是解釋的原理，可以知道v1到v5的最短距離就是dis[4]的值，然后，我們把v5加入到集合T中，然后，考慮v5的出度是否會影響我們的數(shù)組dis的值，v5有兩條出度：< v5,v4>和 < v5,v6>,然后我們發(fā)現(xiàn)：v1–v5–v4的長度為：50，而dis[3]的值為60，所以我們要更新dis[3]的值.另外，v1-v5-v6的長度為：90，而dis[5]為100，所以我們需要更新dis[5]的值。更新后的dis數(shù)組如下圖：

然后，繼續(xù)從dis中選擇未確定的頂點(diǎn)的值中選擇一個最小的值，發(fā)現(xiàn)dis[3]的值是最小的，所以把v4加入到集合T中，此時集合T={v1,v3,v5,v4},然后，考慮v4的出度是否會影響我們的數(shù)組dis的值，v4有一條出度：< v4,v6>,然后我們發(fā)現(xiàn)：v1–v5–v4–v6的長度為：60，而dis[5]的值為90，所以我們要更新dis[5]的值，更新后的dis數(shù)組如下圖：

然后，我們使用同樣原理，分別確定了v6和v2的最短路徑，最后dis的數(shù)組的值如下：

因此，從圖中，我們可以發(fā)現(xiàn)v1-v2的值為：∞，代表沒有路徑從v1到達(dá)v2。所以我們得到的最后的結(jié)果為：

起點(diǎn)  終點(diǎn)    最短路徑    長度
v1    v2     無          ∞    
      v3     {v1,v3}    10
      v4     {v1,v5,v4}  50
      v5     {v1,v5}    30
      v6     {v1，v5,v4,v6} 60
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4、Dijkstra算法的代碼實(shí)現(xiàn)（c++）

• Dijkstra.h文件的代碼

/************************************************************/
/*                程序作者：Willam                          */
/*                程序完成時間：2017/3/8                    */
/*                有任何問題請聯(lián)系：2930526477@qq.com       */
/************************************************************/
//@盡量寫出完美的程序

#pragma once
//#pragma once是一個比較常用的C/C++雜注，
//只要在頭文件的最開始加入這條雜注，
//就能夠保證頭文件只被編譯一次。

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

/*
本程序是使用Dijkstra算法實(shí)現(xiàn)求解最短路徑的問題
采用的鄰接矩陣來存儲圖
*/
//記錄起點(diǎn)到每個頂點(diǎn)的最短路徑的信息
struct Dis {
    string path;
    int value;
    bool visit;
    Dis() {
        visit = false;
        value = 0;
        path = "";
    }
};

class Graph_DG {
private:
    int vexnum;   //圖的頂點(diǎn)個數(shù)
    int edge;     //圖的邊數(shù)
    int **arc;   //鄰接矩陣
    Dis * dis;   //記錄各個頂點(diǎn)最短路徑的信息
public:
    //構(gòu)造函數(shù)
    Graph_DG(int vexnum, int edge);
    //析構(gòu)函數(shù)
    ~Graph_DG();
    // 判斷我們每次輸入的的邊的信息是否合法
    //頂點(diǎn)從1開始編號
    bool check_edge_value(int start, int end, int weight);
    //創(chuàng)建圖
    void createGraph();
    //打印鄰接矩陣
    void print();
    //求最短路徑
    void Dijkstra(int begin);
    //打印最短路徑
    void print_path(int);
};
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• Dijkstra.cpp文件的代碼

#include"Dijkstra.h"

//構(gòu)造函數(shù)
Graph_DG::Graph_DG(int vexnum, int edge) {
    //初始化頂點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)
    this->vexnum = vexnum;
    this->edge = edge;
    //為鄰接矩陣開辟空間和賦初值
    arc = new int*[this->vexnum];
    dis = new Dis[this->vexnum];
    for (int i = 0; i < this->vexnum; i++) {
        arc[i] = new int[this->vexnum];
        for (int k = 0; k < this->vexnum; k++) {
            //鄰接矩陣初始化為無窮大
                arc[i][k] = INT_MAX;
        }
    }
}
//析構(gòu)函數(shù)
Graph_DG::~Graph_DG() {
    delete[] dis;
    for (int i = 0; i < this->vexnum; i++) {
        delete this->arc[i];
    }
    delete arc;
}

// 判斷我們每次輸入的的邊的信息是否合法
//頂點(diǎn)從1開始編號
bool Graph_DG::check_edge_value(int start, int end, int weight) {
    if (start<1 || end<1 || start>vexnum || end>vexnum || weight < 0) {
        return false;
    }
    return true;
}

void Graph_DG::createGraph() {
    cout << "請輸入每條邊的起點(diǎn)和終點(diǎn)（頂點(diǎn)編號從1開始）以及其權(quán)重" << endl;
    int start;
    int end;
    int weight;
    int count = 0;
    while (count != this->edge) {
        cin >> start >> end >> weight;
        //首先判斷邊的信息是否合法
        while (!this->check_edge_value(start, end, weight)) {
            cout << "輸入的邊的信息不合法，請重新輸入" << endl;
            cin >> start >> end >> weight;
        }
        //對鄰接矩陣對應(yīng)上的點(diǎn)賦值
        arc[start - 1][end - 1] = weight;
        //無向圖添加上這行代碼
        //arc[end - 1][start - 1] = weight;
        ++count;
    }
}

void Graph_DG::print() {
    cout << "圖的鄰接矩陣為：" << endl;
    int count_row = 0; //打印行的標(biāo)簽
    int count_col = 0; //打印列的標(biāo)簽
    //開始打印
    while (count_row != this->vexnum) {
        count_col = 0;
        while (count_col != this->vexnum) {
            if (arc[count_row][count_col] == INT_MAX)
                cout << "∞" << " ";
            else
            cout << arc[count_row][count_col] << " ";
            ++count_col;
        }
        cout << endl;
        ++count_row;
    }
}
void Graph_DG::Dijkstra(int begin){
    //首先初始化我們的dis數(shù)組
    int i;
    for (i = 0; i < this->vexnum; i++) {
        //設(shè)置當(dāng)前的路徑
        dis[i].path = "v" + to_string(begin) + "-->v" + to_string(i + 1);
        dis[i].value = arc[begin - 1][i];
    }
    //設(shè)置起點(diǎn)的到起點(diǎn)的路徑為0
    dis[begin - 1].value = 0;
    dis[begin - 1].visit = true;

    int count = 1;
    //計算剩余的頂點(diǎn)的最短路徑（剩余this->vexnum-1個頂點(diǎn)）
    while (count != this->vexnum) {
        //temp用于保存當(dāng)前dis數(shù)組中最小的那個下標(biāo)
        //min記錄的當(dāng)前的最小值
        int temp=0;
        int min = INT_MAX;
        for (i = 0; i < this->vexnum; i++) {
            if (!dis[i].visit && dis[i].value<min) {
                min = dis[i].value;
                temp = i;
            }
        }
        //cout << temp + 1 << "  "<<min << endl;
        //把temp對應(yīng)的頂點(diǎn)加入到已經(jīng)找到的最短路徑的集合中
        dis[temp].visit = true;
        ++count;
        for (i = 0; i < this->vexnum; i++) {
            //注意這里的條件arc[temp][i]!=INT_MAX必須加，不然會出現(xiàn)溢出，從而造成程序異常
            if (!dis[i].visit && arc[temp][i]!=INT_MAX && (dis[temp].value + arc[temp][i]) < dis[i].value) {
                //如果新得到的邊可以影響其他為訪問的頂點(diǎn)，那就就更新它的最短路徑和長度
                dis[i].value = dis[temp].value + arc[temp][i];
                dis[i].path = dis[temp].path + "-->v" + to_string(i + 1);
            }
        }
    }

}
void Graph_DG::print_path(int begin) {
    string str;
    str = "v" + to_string(begin);
    cout << "以"<<str<<"為起點(diǎn)的圖的最短路徑為：" << endl;
    for (int i = 0; i != this->vexnum; i++) {
        if(dis[i].value!=INT_MAX)
        cout << dis[i].path << "=" << dis[i].value << endl;
        else {
            cout << dis[i].path << "是無最短路徑的" << endl;
        }
    }
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• main.cpp文件的代碼

#include"Dijkstra.h"


//檢驗輸入邊數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)的值是否有效，可以自己推算為啥：
//頂點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)的關(guān)系是：((Vexnum*(Vexnum - 1)) / 2) < edge
bool check(int Vexnum, int edge) {
    if (Vexnum <= 0 || edge <= 0 || ((Vexnum*(Vexnum - 1)) / 2) < edge)
        return false;
    return true;
}
int main() {
    int vexnum; int edge;

    cout << "輸入圖的頂點(diǎn)個數(shù)和邊的條數(shù)：" << endl;
    cin >> vexnum >> edge;
    while (!check(vexnum, edge)) {
        cout << "輸入的數(shù)值不合法，請重新輸入" << endl;
        cin >> vexnum >> edge;
    }
    Graph_DG graph(vexnum, edge);
    graph.createGraph();
    graph.print();
    graph.Dijkstra(1);
    graph.print_path(1);
    system("pause");
    return 0;
}
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輸入：

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1 5 30
1 6 100
2 3 5
3 4 50
4 6 10
5 6 60
5 4 20
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輸出：

從輸出可以看出，程序的結(jié)果和我們之前手動計算的結(jié)果是一樣的。