數(shù)學(xué)不是真理！

數(shù)學(xué)不是真理！

數(shù)學(xué)不是真理！

推薦一本書：克萊因著的《數(shù)學(xué)，確定性的喪失》

早在1928年，哈代就用他一貫的坦率語氣說過：嚴(yán)格說起來，根本沒有所謂的數(shù)學(xué)證明……歸根到底，我們只是指出一些要點(diǎn)；……李特伍德（Littlewood）和我都把證明稱之為廢話，它是為打動(dòng)某些人而編造的一堆華麗詞藻，是講演時(shí)用來演示的圖片，是激發(fā)小學(xué)生想象力的工具。

1944年，杰出的美國數(shù)學(xué)家懷爾德（Raymond L．Wilder）再次貶低了證明的地位。他說，證明只不過是：

對(duì)于我們直覺產(chǎn)物的檢驗(yàn)……。很明顯，我們不會(huì)擁有而且極可能永遠(yuǎn)不會(huì)有任何一個(gè)這樣的證明標(biāo)準(zhǔn)，其獨(dú)立于時(shí)代，獨(dú)立于所要證明的東西，并且獨(dú)立于使用它的個(gè)人或某個(gè)思想學(xué)派。在這種情況下，明智的做法似乎就是承認(rèn)，一般地來說，數(shù)學(xué)中根本就沒有絕對(duì)的真實(shí)證明這個(gè)東西，而無須考慮公眾會(huì)怎么想。

證明的價(jià)值又被懷特海在一次題為《不朽》的講演中再次攻擊：

邏輯被認(rèn)為是思想發(fā)展的充分分析，事實(shí)上并非如此。它是一種絕妙的工具，但它還需要有一些常識(shí)作背景……。我的觀點(diǎn)是：哲學(xué)思想的最終形式不能建立在構(gòu)成特殊學(xué)科基礎(chǔ)形式的精確闡述之上。所謂精確性本身就是虛假的。

絕對(duì)嚴(yán)格的證明以及與它類似的東西都是捉摸不定的，理想化的概念，“在數(shù)學(xué)的世界中沒有它們天然的棲身之地”。什么叫嚴(yán)格？對(duì)此本來就沒有嚴(yán)格的定義。一個(gè)證明，如果被當(dāng)時(shí)的權(quán)威所認(rèn)可，或者是用了當(dāng)時(shí)流行的原理，那么這個(gè)證明就可為大家所接受。但現(xiàn)在，并沒有一個(gè)普遍接受的標(biāo)準(zhǔn)，現(xiàn)在不是數(shù)學(xué)嚴(yán)密性最輝煌的時(shí)代?？梢钥隙ǎ^去人們認(rèn)為數(shù)學(xué)的特征——從明確的公理經(jīng)過無可辯駁的證明——如今已不復(fù)存在了。一切限制人們思維的易謬性和不確定性，邏輯都具備。肯定有人感到驚訝，在數(shù)學(xué)中，我們習(xí)慣性地做了那么多基本假設(shè)卻從來沒有意識(shí)到。

什么是可接受的數(shù)學(xué)公理？

一個(gè)典型的例子是我們是否使用選擇公理，在這個(gè)問題上，數(shù)學(xué)家進(jìn)退維谷，不用它或者否定它就意味著放棄數(shù)學(xué)中的大部分，而用它呢，則不僅導(dǎo)致自相矛盾，而且還會(huì)導(dǎo)致直覺上不合理的結(jié)論。

數(shù)學(xué)史中充滿了光輝的成就，但它同時(shí)也是一部災(zāi)難的記錄——克萊因

數(shù)學(xué)證明曾被認(rèn)為應(yīng)該總是一個(gè)清晰明確，無法辯駁的過程，確實(shí)這一點(diǎn)已被忽略了幾個(gè)世紀(jì)。

我們知道，演繹數(shù)學(xué)起源于古希臘，其第一個(gè)似乎十分合理的結(jié)構(gòu)是歐幾里得的《原本》。歐幾里得是以定義公理和演繹得到的定理開始的，歐氏幾何中有一條公理一直在困惑著數(shù)學(xué)家們，不是由于他們對(duì)其正確性有任何懷疑之處，而是由于它的表達(dá)方式。這就是平行公理，或者通常稱為歐幾里得的第五假設(shè)，歐幾里得的表述是這樣的：

如果一條直線與兩條直線相交，使得一側(cè)的內(nèi)角不都是直角，則如果將這兩條直線延長，它們?cè)趦?nèi)角不都是直角的直線一側(cè)相交。

即若＜1＋＜2＜180°，將a、b充分延長，則它們必定相交。

歐幾里得有很好的理由以這種方式表述他的公理。他本可以用另一種方式來敘述：若＜1+＜2＝180°則直線a與直線b永不相交，即直線a平行于直線b，但歐幾里得顯然是害怕假設(shè)有永不相交的無限直線。當(dāng)然經(jīng)驗(yàn)并沒有提供無限直線的性質(zhì)，而公理是被認(rèn)為是關(guān)于物理世界的自明的真理。然而他確實(shí)以他的平行公理和其他公理證明了平行直線的存在。

歐幾里得對(duì)平行公理的敘述被認(rèn)為有點(diǎn)過于復(fù)雜了，它缺少其他公理的簡潔性，顯然連歐幾里得本人也不喜歡他對(duì)平行公理的敘述，因?yàn)橹钡剿锌梢圆挥盟亩ɡ矶急蛔C明出來以后，他才提到它。一個(gè)并沒有使許多人不安然而最終卻至關(guān)重要的問題是能否肯定在客觀世界中存在無限直線。歐幾里得的措詞頗為謹(jǐn)慎，你可以按需要任意延長一條（有限）直線，且延長后的直線仍然是有限的。歐幾里得確實(shí)暗示了無限直線是存在的：否則在任何情況下也不能按需要任意延長。

早在希臘時(shí)代，數(shù)學(xué)家們就開始致力于解決歐幾里得的平行公理所帶來的問題了。他們做了兩種不同類型的嘗試，一種是用看來更加自明的命題來代替平行公理。另一種是試圖從歐幾里得的其他九條公理中推導(dǎo)出平行公理。如果這一辦法可行則平行公理就成為定理，也就無可懷疑的了。在兩千多年的時(shí)間里，許多著名的數(shù)學(xué)家曾從事于這兩方面的研究。至于那些無名之輩，我們就不去多說了。這段歷史相當(dāng)長而過于專業(yè)化，它們中的大部分不在這里重述，因?yàn)樗鼈兒苋菀撞榈蕉也⒉淮笄蓄}。

在眾多的替代公理中有一條是我們今天通常在中學(xué)里學(xué)習(xí)的，因而值得一提：這是普萊費(fèi)爾(John Playfair) 1795年提出的平行公理的另一種說法：過不在直線l上一給定點(diǎn)P（圖4.2），有且僅有一條由l和P確定的平面上的直線，不與l相交。

所有的替代公理似乎都比歐幾里得的要簡單，但進(jìn)一步考察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它們并不比歐幾里得的敘述更令人滿意。其中許多，包括普萊費(fèi)爾的敘述涉及到空間的無窮遠(yuǎn)處。另一方面，那些不直接提及“無限”的替代公理，例如，“存在兩個(gè)相似但不全等的三角形”，看起來比歐幾里得本人的平行公理更為復(fù)雜，更不可取。

在試圖用第二種方法，即從其他九條公理中推出平行公理以解決平行公理問題的努力中，最有意義的是薩謝利(GerolamoSaccheri)的工作。他是一個(gè)耶穌會(huì)教士，帕維爾大學(xué)的教授。他的思想是，如果你使用了一個(gè)本質(zhì)上不同于歐幾里得平行公理的公理的話，你將得出與他的其他公理矛盾的定理。這種矛盾意味著否認(rèn)平行公理——它是唯一存在疑問的公理——是錯(cuò)誤的。因此歐幾里得的平行公理一定是正確的，即它是其余九條公理的推斷。

考慮普萊費(fèi)爾的公理，它與歐幾里得的公理是等價(jià)的，薩謝利首先假定過P點(diǎn)沒有與l平行的直線，則由這一公理和歐幾里得采用的其他九條公理，薩謝利確實(shí)推出了矛盾。薩謝利接著又試了其他可能的假設(shè)。即過P點(diǎn)至少有2條直線p和q，不管如何延伸總不與l相交。薩謝利進(jìn)一步證明了許多有趣的定理，直到他推出一個(gè)奇怪而且令人討厭的結(jié)論，他認(rèn)為它與前面得出的結(jié)論是矛盾的。由是薩謝利認(rèn)為有理由推出結(jié)論：歐幾里得的平行公理是其他公理的推論，因此將他的書命名為《歐幾里得無懈可擊》（1733年）。然而后來的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)薩謝利并未真正推出矛盾，因此平行公理的問題依然存在?；ㄔ趯ふ乙粋€(gè)可接受的歐幾里得平行公理的替代公理或證明它是其他九條公理的推論上的精力如此巨大而且徒勞無功，以致于達(dá)蘭貝爾在1759年稱平行公理問題是“幾何原理中的家丑”。

1855年高斯死后（此時(shí)他的聲望已無人可比），他的筆記中的材料被公之于眾。1868年黎曼于1854年寫就的論文的發(fā)表使得許多數(shù)學(xué)家相信，非歐幾何也可以是物理空間的幾何，我們不能再肯定哪門幾何一定是正確的。單是還有別的幾何存在就已是一個(gè)令人震驚的事實(shí)了，然而更令人震驚的是你不再知道哪個(gè)是正確的，或者究竟有沒有正確的。顯然，數(shù)學(xué)家們將基于有限的經(jīng)驗(yàn)顯得正確的命題作為公理，并錯(cuò)誤地相信了它們是自明的。數(shù)學(xué)家們陷入了馬克·吐溫描述的窘境：“人是宗教動(dòng)物，他是唯一具有真正宗教的——他們中的少數(shù)人。”

非歐幾何及其隱含的關(guān)于幾何真理性的內(nèi)容逐漸被數(shù)學(xué)家們所接受。但并不是由于它的適用性的任何論據(jù)被加強(qiáng)了，而是正如普朗克（Max

Planck），這位量子力學(xué)的奠基人在本世紀(jì)初所說的：“一個(gè)新的科學(xué)真理并不是靠說服它的對(duì)手并使其看見真理之光取勝，而是由于它的對(duì)手死了，新的一代熟悉它的人成長起來了?！?/p>

至于說到整個(gè)數(shù)學(xué)的真理，有些數(shù)學(xué)家贊同高斯的觀點(diǎn)，真理存在于數(shù)中，它是算術(shù)、代數(shù)、微積分以及后續(xù)學(xué)科的基礎(chǔ)。當(dāng)雅可比（Karl Gustav Jacob

Jacobi）說：“上帝一直在進(jìn)行算術(shù)化”的時(shí)候，他并沒有像柏拉圖那樣堅(jiān)持說上帝永遠(yuǎn)在進(jìn)行幾何化。看起來數(shù)學(xué)家總算設(shè)法拯救并且保住了建筑在算術(shù)基礎(chǔ)之上那一部分?jǐn)?shù)學(xué)的真理性，這一部分到1850年時(shí)在科學(xué)上遠(yuǎn)比那幾門幾何使用得更為廣泛也更為活躍。不幸的是毀滅性的事情接踵而來，為了理解這些我們必須往回走一點(diǎn)點(diǎn)。

用復(fù)數(shù)來表示平面上的向量及其運(yùn)算的方法到1830年時(shí)已經(jīng)差不多是眾所周知的了。然而，如果幾個(gè)力作用于一個(gè)物體，則這些力及其向量表示不一定通常也不會(huì)總在同一平面上。如果為了方便起見將通常實(shí)數(shù)稱為一維數(shù)，復(fù)數(shù)為二維數(shù)，那么，要用什么來表示空間中某種三維數(shù)的向量及其代數(shù)運(yùn)算呢？人們希望對(duì)這種三維數(shù)進(jìn)行的運(yùn)算，類似于復(fù)數(shù)的情況，將必須包括加、減、乘、除，而且必須滿足通常實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)所具有的那些性質(zhì)。這樣代數(shù)運(yùn)算才能自由且有效地使用。于是，數(shù)學(xué)家們開始尋找一種稱為三維復(fù)數(shù)及其代數(shù)的數(shù)。

有許多數(shù)學(xué)家從事了這一問題的研究。1843年，哈密爾頓提出了一個(gè)有用的復(fù)數(shù)的空間類似物，哈密爾頓為此困惑了15年。那時(shí)數(shù)學(xué)家們所知道的所有的數(shù)都具有乘法的交換性，即ab=ba，因此哈密爾頓很自然地相信他所找的三維數(shù)或三元數(shù)，也應(yīng)該具有這一性質(zhì)以及其他實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)具有的性質(zhì)。哈密爾頓終于成功了，不過他被迫作出兩點(diǎn)讓步。首先，他的新數(shù)包含四個(gè)分量，其次，他不得不犧牲了乘法交換律。這兩個(gè)特點(diǎn)對(duì)代數(shù)學(xué)來說都是革命性的，他把這種新的數(shù)叫做四元數(shù)。

有許多數(shù)學(xué)家從事了這一問題的研究。1843年，哈密爾頓提出了一個(gè)有用的復(fù)數(shù)的空間類似物，哈密爾頓為此困惑了15年。那時(shí)數(shù)學(xué)家們所知道的所有的數(shù)都具有乘法的交換性，即ab=ba，因此哈密爾頓很自然地相信他所找的三維數(shù)或三元數(shù)，也應(yīng)該具有這一性質(zhì)以及其他實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)具有的性質(zhì)。哈密爾頓終于成功了，不過他被迫作出兩點(diǎn)讓步。首先，他的新數(shù)包含四個(gè)分量，其次，他不得不犧牲了乘法交換律。這兩個(gè)特點(diǎn)對(duì)代數(shù)學(xué)來說都是革命性的，他把這種新的數(shù)叫做四元數(shù)。

兩個(gè)四元數(shù)相等的準(zhǔn)則是系數(shù)a、b、c、d都對(duì)應(yīng)相等。

兩個(gè)四元數(shù)相加只要將對(duì)應(yīng)系數(shù)分別相加形成新的系數(shù)，這樣和本身也是一個(gè)四元數(shù)。為了定義乘法，哈密爾頓不得不規(guī)定i與j，i與k及j與k的乘積。為了保證乘積是一四元數(shù)，并且盡可能多地保留實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的特點(diǎn)，他約定：jk=i，kj=－i，ki=j，ik=－j，ij=k，ji=－k，這些約定意味著乘法是不可能交換的。這樣若p和q為四元數(shù)，則pq不等于qp。一個(gè)四元數(shù)被另一個(gè)四元數(shù)除也是可以做的，然而，乘法的不可交換性蘊(yùn)含了用四元數(shù)q去除四元數(shù)p時(shí)，可以意味著找到r，使得p=qr或p=rq，商r在兩種情形下可能不等。盡管四元數(shù)并沒有像哈密爾頓希望的那樣有廣泛的使用價(jià)值，他還是能用它們來解決大量的物理和幾何問題。

四元數(shù)的引入給了數(shù)學(xué)家們又一次震動(dòng)。它是一個(gè)確確實(shí)實(shí)有實(shí)際用途的代數(shù)，卻不具備所有實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)都具備的基本性質(zhì)，即

ab=ba。

哈密爾頓發(fā)明四元數(shù)后不久，從事其他領(lǐng)域研究的數(shù)學(xué)家們引入了更奇怪的代數(shù)。著名代數(shù)幾何學(xué)家凱萊引進(jìn)了矩陣，它是矩形或正方形數(shù)組。對(duì)它們也可進(jìn)行通常的代數(shù)運(yùn)算。但是如同在四元數(shù)中的情形一樣，它也沒有乘法可交換性。而且即使兩個(gè)矩陣都不為0，它們的積也可能為0。四元數(shù)和矩陣只不過是許多性質(zhì)越來越奇怪的代數(shù)的先驅(qū)。格拉斯曼（Hermann

GuntherGrassmann）發(fā)明了許多這樣的代數(shù)。它們甚至比哈密爾頓的四元數(shù)還要一般化。不幸，格拉斯曼只是個(gè)中學(xué)教師，因此過了許多年他的工作才獲得了應(yīng)有的注意。無論怎樣，格拉斯曼工作增添了現(xiàn)在稱為超復(fù)數(shù)的新代數(shù)中的多樣性。

為了特別的目的而創(chuàng)建的這些新代數(shù)本身并沒有向普通的算術(shù)及其擴(kuò)展在代數(shù)和分析中的真理提出挑戰(zhàn)。畢竟，一般的實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)可用于完全不同的目的，它們的實(shí)用性是無可質(zhì)疑的。然而，新代數(shù)的出現(xiàn)使人們對(duì)熟悉的算術(shù)和代數(shù)中的真理提出了質(zhì)疑，正如接受了新的文明的習(xí)俗的人開始反省他們自己。

對(duì)算術(shù)真理的最嚴(yán)重的打擊來自于亥姆霍茲（Hermann

vonHelmholtz），他是個(gè)卓越的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和醫(yī)生。在他的《算與量》（1887年）一書中，他認(rèn)為數(shù)學(xué)的主要問題是算術(shù)對(duì)物理現(xiàn)象的自適應(yīng)性的證明，他的結(jié)論是只有經(jīng)驗(yàn)?zāi)芨嬖V我們算術(shù)的法則能用在哪里，我們并不能肯定一條先驗(yàn)公式是否在任何情況下都適用。

亥姆霍茲考慮了許多相關(guān)的問題，數(shù)的概念本身來自于經(jīng)驗(yàn)，某些經(jīng)驗(yàn)啟發(fā)了通常類型的數(shù)：整數(shù)、分?jǐn)?shù)和無理數(shù)及其性質(zhì)。對(duì)于這些經(jīng)驗(yàn)，熟悉的數(shù)是適用的。我們認(rèn)識(shí)到存在確實(shí)相等的物體，因此我們可以說，例如，兩頭牛。然而，這些物體必須不能消失、混合或分割。一個(gè)雨滴與另一個(gè)雨滴相加并不能得到兩個(gè)雨滴。甚至是相等的概念也不能自動(dòng)地用于經(jīng)驗(yàn)?？雌饋砣绻矬wa=c而b=c則一定有a=b。但是有可能兩個(gè)音聽起來都與第三個(gè)音相同，而耳朵卻可以區(qū)別出前兩個(gè)音。這里與同一事物相同的事物并不相同，同樣地，顏色a和c看起來都和b相同，而a和c卻是有區(qū)別的。

還可舉出許多例子來說明簡單地應(yīng)用算術(shù)可能會(huì)導(dǎo)出荒謬的結(jié)果。如果你將等體積的兩份水混合。一份溫度為40°F，另一份為50°F，你并不能得到溫度為90°F的兩份體積的水。一個(gè)頻率為100赫茲和另一個(gè)200赫茲的單音疊加，得到的并不是頻率300赫茲的單音，事實(shí)上合成音的頻率還是100赫茲。電路中兩個(gè)大小分別為R1和R2的電阻并聯(lián)，它們的等效電阻是R1R2/（R1+R2）。正如勒貝格（Henri

Lebesgue）所調(diào)侃的，你把一頭獅子和一只兔子關(guān)在同一個(gè)籠子里，最后籠子里絕不會(huì)還有兩只動(dòng)物。

我們?cè)诨瘜W(xué)中知道，將氫和氧混合就得到水。但是如果將兩體積的氫和一體積的氧混合得到的不是三體積而是兩體積的水蒸氣。同樣，一體積氮?dú)夂腿w積氫氣作用生成兩體積氨氣。我們碰巧知道這些令人驚訝的算術(shù)事實(shí)的物理解釋。根據(jù)阿伏伽德羅假設(shè)，同一溫度、同一壓強(qiáng)下，體積相同的任何氣體所含分子數(shù)相同。這樣，如果給定體積的氫氣含有10個(gè)分子，則兩倍這一體積的氫氣含有20個(gè)分子。碰巧氧氣和氫氣都是雙原子分子，即每個(gè)分子由兩個(gè)原子組成。這20個(gè)雙原子氫分子中的每個(gè)都與10個(gè)氧分子中的一個(gè)原子結(jié)合從而得到20個(gè)水分子，即兩體積的水蒸氣而不是三體積。由此可以看出算術(shù)不能正確描述按體積混合氣體的結(jié)果。

一般來說，算術(shù)也不能正確反映按體積混合液體的結(jié)果。一夸脫的杜松子酒與一夸脫苦艾酒混合，得到的不是兩夸脫混合物而是稍微少一些。一夸脫酒精與一夸脫水混合得到大約1．8夸脫的伏特加。對(duì)于大多數(shù)酒類這一點(diǎn)都是正確的。三茶匙水加上一茶匙鹽不會(huì)是四茶匙。有些化學(xué)混合物不僅不按體積增加，還會(huì)爆炸。

不僅是整數(shù)的性質(zhì)在許多物理情況下不成立，許多實(shí)際情況中還要用到不同的分?jǐn)?shù)計(jì)算。讓我們以棒球?yàn)槔齺砜紤]（這當(dāng)然是上百萬美國人所感興趣的問題）。

假設(shè)一個(gè)運(yùn)動(dòng)員在一場比賽中擊球3次，在另一場比賽中擊球4次，那么他總共擊了幾次球？這沒有什么困難，他一共擊球7次。假設(shè)他在第一場比賽中有2次擊球成功，即到達(dá)第一壘或更遠(yuǎn)，在第二場中成功3次，兩場比賽中他一共成功幾次呢？這也沒有什么困難，一共是5次。然而，觀眾和對(duì)手本人通常最感興趣的是平均擊中率，也就是擊中次數(shù)與擊球次數(shù)的比例。在第一場中比例是2/3，第二場中是3/4。假設(shè)該球手或者一個(gè)棒球迷想用這兩個(gè)比例來計(jì)算兩次比賽的平均擊中率，可能有人會(huì)以為用通常分?jǐn)?shù)相加的辦法就可以了，即

這個(gè)結(jié)果當(dāng)然是很荒謬的，他不可能在12次機(jī)會(huì)中擊中17次。顯然，通常將兩次比賽的平均擊中率相加來得到兩次比賽的平均擊中率的辦法是行不通的。

我們?cè)鯓硬拍苡蓛纱伪荣惛髯缘钠骄鶕糁新是蟮眠@兩次比賽的平均擊中率呢？答案是用一種新的分?jǐn)?shù)加法。我們知道聯(lián)合的平均擊中率是5/7，而單場比賽的擊中率分別是2/3和3/4，我們看到如果把分子和分母對(duì)應(yīng)相加得到新的分?jǐn)?shù)，這就是正確答案，即

假設(shè)這個(gè)加號(hào)意味著分子相加和分母相加。

這種分?jǐn)?shù)加法在其他情況下也是有用的。一個(gè)借助電話搞推銷的商人在第一天的五個(gè)推銷電話中成功了三次，第二天七次成功了四次，他把這些記錄下來。為了得到正確的成功率，他必須把3/5和4/7按平均擊中率的那種方法計(jì)算，這兩天中他的記錄是在總共12個(gè)電話中成功了7次，這樣7/12就是3/5＋4/7，假設(shè)加號(hào)意味著分子相加和分母相加。

再舉一個(gè)更為一般的例子。假設(shè)一輛汽車用2小時(shí)走了50英里，用3小時(shí)走了100英里，那么兩次旅行的平均速度是多少呢？你可以說這輛車用5個(gè)小時(shí)走了150英里。因此它的平均速度是每小時(shí)30英里。然而，分別計(jì)算每次的平均速度通常總是有用的。第一次旅行的平均速度是50/2，第二次是100/3，如果將這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子相加、分母相加，則也得到正確答案。

一般來說4/6=2/3，然而在上面討論的分?jǐn)?shù)相加中，例如2/3＋3/5，就不能用4/6代換2/3。因?yàn)榍罢呓Y(jié)果為7/11，后者則為5/8，而這兩個(gè)答案并不相等。更進(jìn)一步，在通常的算術(shù)中，5/1和7/1就像整數(shù)5和7一樣，在我們的新算術(shù)中，將5/1和7/1作為分?jǐn)?shù)求和，我們得到的是12/2，而不是12/1。

這些可以稱之為棒球算術(shù)的例子確實(shí)說明可以引進(jìn)與以前我們熟悉的運(yùn)算不同的運(yùn)算，這樣就創(chuàng)造了一個(gè)實(shí)用的算術(shù)。事實(shí)上也確實(shí)存在許多其他的算術(shù)，然而，一個(gè)真正的數(shù)學(xué)家絕不會(huì)憑一時(shí)的興致去發(fā)明一種代數(shù)。一種代數(shù)總是為了表示一類物理世界的現(xiàn)象而創(chuàng)造的，正像我們上面的分?jǐn)?shù)加法適用于兩次擊球平均率的合成。我們可以通過定義適合于這類物理現(xiàn)象的運(yùn)算很方便地對(duì)物理世界發(fā)生的事情進(jìn)行研究。只有經(jīng)驗(yàn)?zāi)芨嬖V我們普通的算術(shù)何處可應(yīng)用于給定的物理現(xiàn)象，這樣就不能說算術(shù)是一定適用于物理現(xiàn)象的一個(gè)真理體系。當(dāng)然，由于代數(shù)和分析是算術(shù)的延伸，它們也不是真理體系。

因此，數(shù)學(xué)家們只能得出這個(gè)令人沮喪的結(jié)論：數(shù)學(xué)中沒有真理，即作為現(xiàn)實(shí)世界普適法則意義上的真理。算術(shù)和幾何基本結(jié)構(gòu)的公理是受經(jīng)驗(yàn)啟發(fā)得出的，因而這些結(jié)構(gòu)的適用性是有限的，它們?cè)谀睦锸沁m用的只能由經(jīng)驗(yàn)來決定。希臘人試圖從幾條自明的真理出發(fā)和僅僅使用演繹的證明方法來保證數(shù)學(xué)的真實(shí)性被證明是徒勞的。

對(duì)許多富有思想的數(shù)學(xué)家來說，數(shù)學(xué)不是一個(gè)真理體系這一事實(shí)實(shí)在是難以接受。似乎上帝想用多種幾何和代數(shù)來使他們困惑，正如他曾用不同的語言困惑了建筑巴別塔的人們那樣。因此他們拒絕接受這些新的發(fā)明。

哈密爾頓毫無疑問是一位杰出的數(shù)學(xué)家，在1837年他表達(dá)了他對(duì)非歐幾何的不滿：

沒有哪一個(gè)坦白的、有智力的人會(huì)懷疑兩千年前歐幾里得在他的《幾何原本》中提出的平行線的

主要性質(zhì)，盡管他可能會(huì)希望看到它們以更明確更好的方式來敘述。這些性質(zhì)中沒有任何令人費(fèi)解或含混不清之處，沒有任何你可以懷疑的地方，雖然可以經(jīng)常動(dòng)動(dòng)腦筋改進(jìn)它們的表達(dá)方式。

凱萊在1883年就任英國科學(xué)促進(jìn)協(xié)會(huì)主席的演說詞中強(qiáng)調(diào)：

我本人的觀點(diǎn)是歐幾里得的第十二公理（通常稱之第五公理或平行公理）的普萊費(fèi)爾形式不需要證明，它是我們的空間概念的一部分。這里指的是我們經(jīng)驗(yàn)中的物理空間——我們通過經(jīng)驗(yàn)來了解這個(gè)空間。但它的表示是建立在所有外部經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的……注意到歐氏空間長期以來一直被當(dāng)作是我們經(jīng)驗(yàn)的物理空間，所以幾何學(xué)的命題對(duì)于歐氏空間不僅僅是近似的真實(shí)的，而且是絕對(duì)真實(shí)的。

F·克萊因（Felix Klein），近代的一個(gè)真正偉大的數(shù)學(xué)家，表達(dá)了差不多是同樣的觀點(diǎn)。盡管凱萊和F·克萊因本人都從事過非歐幾何工作，他們卻把非歐幾何看作是在歐氏幾何中引入人為的新的距離函數(shù)時(shí)產(chǎn)生的奇異結(jié)果。他們拒絕承認(rèn)非歐幾何和歐氏幾何一樣基本和實(shí)用，他們的立場在相對(duì)論時(shí)代以前看來還是無懈可擊的。

羅素也相信數(shù)學(xué)的真實(shí)性，盡管他在某種程度上限制了這種真實(shí)性。上個(gè)世紀(jì)90年代他提出了這樣的問題：空間的哪些性質(zhì)對(duì)經(jīng)驗(yàn)是必需的，而且是由經(jīng)驗(yàn)假定了的。也就是說，如果在這些先驗(yàn)性質(zhì)中有任何一條被否定，那么經(jīng)驗(yàn)就變得毫無意義了。他在《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的隨筆》（1897年）中，贊同歐氏幾何不是一門先驗(yàn)知識(shí)這一見解。他斷言，就一切幾何學(xué)來說，倒不如認(rèn)為射影幾何是先驗(yàn)的。這個(gè)結(jié)論在1900年前后，從射影幾何的重要性的觀點(diǎn)來看，是可以理解的。然后他就把歐氏幾何和一切非歐幾何所共有的公理，當(dāng)作先驗(yàn)的東西添加到射影幾何中去，加進(jìn)去的那些東西（空間的齊次性，維數(shù)的有窮性以及距離的概念）使得度量成為可能。羅素還指出，定性的考慮必須在定量考慮之前，而這一觀點(diǎn)加強(qiáng)了射影幾何的先驗(yàn)性。

至于說到度量幾何，即歐氏幾何和幾種非歐幾何，它們可以由射影幾何通過引入某個(gè)特定的度量概念而導(dǎo)出，這一事實(shí)羅素認(rèn)為只不過是一種技術(shù)上的成就而沒有什么哲學(xué)意義。無論如何，它們持有的那些特殊定理并不是先驗(yàn)的。在對(duì)待這幾種基本的度量幾何上，羅素不同于凱萊和克萊因。他認(rèn)為它們都處于同等的邏輯地位，因?yàn)榫邆渖厦婺切┬再|(zhì)的度量空間只有歐氏空間、雙曲空間的和單、雙橢圓空間，所以羅素認(rèn)為所有可能的度量空間只有這幾種，而歐氏空間則當(dāng)然是僅有的確實(shí)可用的空間，其他那些空間在證明可能存在別的幾何學(xué)時(shí)，有其哲學(xué)上的重要性。現(xiàn)在我們回過頭來看，可以說羅素?zé)o非是用一種射影癖代替了歐幾里得癖。羅素多年以后承認(rèn)，他的《隨筆》是他年輕時(shí)代的一部著作，其觀點(diǎn)是無法站得住腳的。然而我們后面將會(huì)看到，他和其他人為了建立算術(shù)的真實(shí)性而確立了一個(gè)新的基礎(chǔ)（見第十章）。

數(shù)學(xué)家對(duì)某種基礎(chǔ)的真理的執(zhí)著探索是可以理解的。多少世紀(jì)以來，用數(shù)學(xué)去描述和預(yù)測物理現(xiàn)象一直取得輝煌的成功，這使得任何人，尤其是那些被他們自己的發(fā)明陶醉得飄飄然的人來說，要他們接受“數(shù)學(xué)并不是一堆天然的鉆石，而不過是人工寶石”這一事實(shí)的確是很難的。然而數(shù)學(xué)家們還是逐漸開始承認(rèn)，數(shù)學(xué)公理和定理并不一定是物理世界的真理。某些領(lǐng)域的經(jīng)驗(yàn)啟發(fā)特定的公理，在這些領(lǐng)域，這些公理及其邏輯結(jié)果能夠非常精確地作有價(jià)值的描述。但是，一旦這一領(lǐng)域擴(kuò)展了，這種適用性就可能會(huì)失去。就對(duì)物理世界的研究而言，算術(shù)僅僅提供了理論或者模型，而當(dāng)經(jīng)驗(yàn)或?qū)嵺`證明一種新的理論能比舊理論提供更加一致的描述時(shí)，新的數(shù)學(xué)理論就取代了舊的理論。1921年愛因斯坦給出了關(guān)于數(shù)學(xué)與物理世界的關(guān)系的精采的敘述：

只要數(shù)學(xué)的命題是涉及實(shí)在的，它們就不是可靠的；只要它們是可靠的，它們就不涉及實(shí)在?！牵硪环矫?，作為一般情況的數(shù)學(xué)和作為特殊情況中的幾何，它們的存在是由于我們需要了解真實(shí)客體的一些性質(zhì)。

既然數(shù)學(xué)家們已經(jīng)放棄了上帝，他們就應(yīng)該相信人，而這正是他們所做的。他們繼續(xù)發(fā)展數(shù)學(xué)和探索自然法則，他們知道自己所闡明的并非是上帝的設(shè)計(jì)而是人的工作。昔日的成功使他們對(duì)正在進(jìn)行的工作充滿信心，而且幸運(yùn)之神總是欣然來到。使數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)充滿活力的靈丹妙藥是它自己調(diào)配的——在天體力學(xué)、聲學(xué)、流體力學(xué)、光學(xué)、電磁理論和工程中取得的巨大成就，以及其預(yù)言的難以置信的準(zhǔn)確程度，一定有某種原始的也許是魔力蘊(yùn)含其中，才能使得一門學(xué)科盡管是在戰(zhàn)無不勝的真理之旗下發(fā)展，還是憑著它內(nèi)在的神奇力量確實(shí)達(dá)到了自己輝煌的頂點(diǎn)（見第十五章）。于是，數(shù)學(xué)的發(fā)明和在科學(xué)中的應(yīng)用得以更快的步伐前進(jìn)。

數(shù)學(xué)并不是一個(gè)真理體系這一認(rèn)識(shí)確實(shí)振聾發(fā)聵。讓我們首先看一個(gè)數(shù)學(xué)作用于科學(xué)的結(jié)果。從伽利略時(shí)代開始，科學(xué)家們就認(rèn)識(shí)到，科學(xué)中的基本原理與數(shù)學(xué)原理相反，必須來源于實(shí)踐。盡管兩個(gè)多世紀(jì)的時(shí)間里他們相信他們所發(fā)現(xiàn)的是自然界的設(shè)計(jì)之中所固有的，但是到了19世紀(jì)初他們認(rèn)識(shí)到科學(xué)定理并不是真理，甚至數(shù)學(xué)的原理也是來源于經(jīng)驗(yàn)而且并不能肯定它們的真實(shí)性。這一認(rèn)識(shí)使科學(xué)家們意識(shí)到只要他們使用數(shù)學(xué)的公理和定理，他們的理論就更加脆弱。自然法則是人的創(chuàng)造物，是我們，而不是上帝，才是宇宙的法則制定者。自然法則是人的描述而不是上帝的命令。