(警告！本文含有大量讓人痛不欲生的數(shù)學(xué)課程，請(qǐng)謹(jǐn)慎閱讀，郁悶致死科普君不管)

在天文學(xué)上，有這樣一個(gè)神奇的點(diǎn)，在每個(gè)由兩大天體構(gòu)成的系統(tǒng)中，有五個(gè)點(diǎn)相對(duì)于兩大天體基本保持靜止，其中有兩個(gè)點(diǎn)是穩(wěn)定的，小物體在該點(diǎn)處即使受外界引力的攝擾，仍然有保持在原來(lái)位置處的傾向。人們甚至設(shè)想把它當(dāng)作攔截危險(xiǎn)小行星的布防點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)就是拉格朗日點(diǎn)，它就是由本文的主角--法國(guó)數(shù)學(xué)家--拉格朗日（歐拉發(fā)現(xiàn)了3個(gè)，拉格朗日發(fā)現(xiàn)了剩余的兩個(gè)）通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)的。拿破侖說(shuō)他是：'一座高聳在數(shù)學(xué)界的金字塔'。

拉格朗日點(diǎn)

約瑟夫·拉格朗日于1736年出生在意大利的都靈，不過(guò)他的祖上是法國(guó)人。拉格朗日幼年時(shí)家道中落，還算幸運(yùn)的是他還能上學(xué)，不過(guò)學(xué)的是古典文學(xué)。17歲時(shí)他讀到了哈雷（正確預(yù)言了現(xiàn)被稱(chēng)為哈雷的彗星作回歸運(yùn)動(dòng)的事實(shí)的那個(gè)人）寫(xiě)的一篇關(guān)于微積分的文章，他徹底被迷住了。在極短的時(shí)間內(nèi)，他就掌握了他那時(shí)候的數(shù)學(xué)分析，開(kāi)始了他數(shù)學(xué)史上最光輝的經(jīng)歷。

拉格朗日

拉格朗日從一開(kāi)始就跟幾何說(shuō)了再見(jiàn)，他從來(lái)都是一個(gè)分析學(xué)者。他在19歲的時(shí)候設(shè)想的《分析力學(xué)》就強(qiáng)烈地表現(xiàn)出他對(duì)分析學(xué)的偏愛(ài)。拉格朗日用分析解決力學(xué)問(wèn)題，標(biāo)志著與希臘傳統(tǒng)的一次徹底決裂（我們知道，傳統(tǒng)希臘數(shù)學(xué)是最注重幾何的）。正是通過(guò)拉格朗日的努力，使數(shù)學(xué)分析與幾何與力學(xué)脫離開(kāi)來(lái)，數(shù)學(xué)的獨(dú)立性更為清楚，從此數(shù)學(xué)不再僅僅是其他學(xué)科的工具。在對(duì)于分析學(xué)的開(kāi)拓性工作上，拉格朗日是僅次于歐拉的最大的開(kāi)拓者，具有決定性的貢獻(xiàn)。

數(shù)學(xué)分析教材

變分法是拉格朗日最早研究的領(lǐng)域，以歐拉的思路和結(jié)果為依據(jù)，但從純分析方法出發(fā)，得到更完善的結(jié)果。他的第一篇論文'極大和極小的方法研究'是他研究變分法的序幕； 而'關(guān)于確定不定積分式的極大極小的一種新方法'是用分析方法建立變分法的代表作。拉格朗日方法是對(duì)積分進(jìn)行極值化，函數(shù)y=y(x)待定。他不像歐拉和前人用改變極大或極小化曲線的個(gè)別坐標(biāo)的辦法，而是引進(jìn)通過(guò)端點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)的新曲線y(x)+δy(x)，δy(x)叫曲線y(x)的變分。J相應(yīng)的增量△J按δy，δy'展開(kāi)的一、二階項(xiàng)叫一次變分δJ和二次變分δ2J。他用分析方法證明了δJ為零的必要條件就是歐拉方程。1770年以后，拉格朗日研究了被積函數(shù)f包含高階導(dǎo)數(shù)的單重和多重積分時(shí)的情況，已發(fā)展成為變分法的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容。

拉格朗日對(duì)變系數(shù)常微分方程研究做出重大成果。他在降階過(guò)程中提出了以后所稱(chēng)的伴隨方程，并證明了非齊次線性變系數(shù)方程的伴隨方程的伴隨方程，就是原方程的齊次方程。他還把歐拉關(guān)于常系數(shù)齊次方程的結(jié)果推廣到變系數(shù)情況，證明了變系數(shù)齊次方程的通解可用一些獨(dú)立特解乘上任意常數(shù)相加而成；而且在知道方程的m個(gè)特解后，可以把方程降低m價(jià)。在1774年完成的'關(guān)于微分方程特解的研究'中系統(tǒng)地研究了奇解和通解的關(guān)系，明確提出由通解及其對(duì)積分常數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)消去常數(shù)求出奇解的方法；還指出奇解為原方程積分曲線族的包絡(luò)線。拉格朗日在1772年完成的'論三體問(wèn)題'中，找出了三體運(yùn)動(dòng)的常微分方程組的五個(gè)特解，這就是本文一開(kāi)始所說(shuō)的'拉格朗日點(diǎn)'的來(lái)歷。

常微分方程教材

拉格朗日是一階偏微分方程理論的建立者，他在1772年完成的'關(guān)于一階偏微分方程的積分'和1785年完成的'一階線性偏微分方程的一般積分方法'中系統(tǒng)地完成了一階偏微分方程的理論和解法。他首先提出了一階非線性偏微分方程的解分類(lèi)為完全解、奇解、通積分等，并給出它們之間的關(guān)系。

偏微分方程教材

拉格朗日花了大量時(shí)間在代數(shù)方程和超越方程的解法上，在代數(shù)方程解法中有歷史性貢獻(xiàn)。在長(zhǎng)篇論文'關(guān)于方程的代數(shù)解法的思考'中，把前人解三、四次代數(shù)方程的各種解法，總結(jié)為一套標(biāo)準(zhǔn)方法，而且還分析出一般三、四次方程能用代數(shù)方法解出的原因。三次方程有一個(gè)二次輔助方程，其解為三次方程根的函數(shù)，在根的置換下只有兩個(gè)值；四次方程的輔助方程的解則在根的置換下只有三個(gè)不同值，因而輔助方程為三次方程。拉格朗日稱(chēng)輔助方程的解為原方程根的預(yù)解函數(shù)（是有理函數(shù)）。因而拉格朗日是群論的先驅(qū)。

拉格朗日在數(shù)論上也成果斐然，他在1772年證明了費(fèi)馬的另一個(gè)猜想：一個(gè)正整數(shù)能表示為最多四個(gè)平方數(shù)的和。又在1773年證明了著名的定理：n是質(zhì)數(shù)的充要條件為(n-1)！+1能被n整除。

最后他還提出了著名的拉格朗日插值公式。直到現(xiàn)在計(jì)算機(jī)計(jì)算大量中點(diǎn)插值時(shí)仍在使用。另外在求多元函數(shù)相對(duì)極大極小及解微分方程中的拉格朗日任意乘子法，至今也在用。

拉格朗日插值公式

近百余年來(lái)，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在數(shù)學(xué)史上被認(rèn)為是對(duì)分析數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一。

最后，由于拉格朗日當(dāng)初為了研究等時(shí)曲線問(wèn)題（一種特殊的曲線，把物體放在此曲線的任何位置，它都會(huì)在相同的時(shí)間內(nèi)滑落到底部）而發(fā)明了一套全新的數(shù)學(xué)工具，那就是著名的變分法。我們來(lái)欣賞一下這個(gè)等時(shí)曲線吧。