等差數(shù)列：等差數(shù)列是常見(jiàn)數(shù)列中的一種，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都相等，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。我們將這個(gè)差叫做等差數(shù)列的公差；等差數(shù)列的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)，第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)；最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)；等差數(shù)列一共有多少項(xiàng)就稱為項(xiàng)數(shù)，為了方便大家理解，請(qǐng)看下面例子動(dòng)圖。

比如，以下數(shù)列都是等差數(shù)列：

① 6，7，8，9，…，75；

② 2，6，10，14，18，…，122，126；

③ 5，10，15，20，25，30，35，40。

一，等差數(shù)列求和公式

例題：計(jì)算 1+2+3+4+5+…+97+98+99。

思路：我們把等差數(shù)列1到99倒過(guò)來(lái)寫就組合成一個(gè)新的從99到1的等差數(shù)列，兩個(gè)數(shù)列對(duì)應(yīng)每一項(xiàng)配對(duì)求和。這也是大數(shù)學(xué)家高斯的方法，如圖：

結(jié)論：等差數(shù)列求和公式 → (首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2。對(duì)于公式不僅要知其然，更要知其所以然，要理解公式是怎么推導(dǎo)出來(lái)的，通過(guò)上面的圖示，同學(xué)們是不是就明白了？

中間項(xiàng)求和：利用中間項(xiàng)求和是指等差數(shù)列如果有奇數(shù)項(xiàng)，那么和就等于中間一項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)，如果有偶數(shù)項(xiàng)，和就等于中間兩項(xiàng)和乘以項(xiàng)數(shù)的一半。

二，外星人圖

外星人圖解等差數(shù)列，是通過(guò)形象的圖示法清晰直觀地了解等差數(shù)列里面某一項(xiàng)，公差，項(xiàng)數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，無(wú)論是求公差，求某一項(xiàng)，求項(xiàng)數(shù)，大家都可以通過(guò)畫外星人圖來(lái)輕松搞定，大家快動(dòng)手畫一個(gè)吧！。

項(xiàng)數(shù)編號(hào)及對(duì)應(yīng)數(shù)填入外星人兩個(gè)眼睛部位，編號(hào)相減即為兩項(xiàng)之間公差數(shù)，鼻子處填入公差，下巴表示左右兩項(xiàng)差。

這里面隱藏著一個(gè)重要的等量關(guān)系：兩項(xiàng)差=兩項(xiàng)之間公差數(shù)×公差。下面我們舉例題來(lái)應(yīng)用下外星人圖：

例題1：已知，等差數(shù)列 3，8，13，…。求第91項(xiàng)是多少？

解題：

① 從已知可推斷公差：8-3=5；

② 首項(xiàng)（第①項(xiàng)）為3，求第91項(xiàng)，將兩個(gè)項(xiàng)數(shù)編號(hào)填入圖中，不知道的項(xiàng)目填入“ ？”；

③ 項(xiàng)數(shù)編號(hào)相減得公差數(shù)，乘上公差就是兩項(xiàng)數(shù)得差 → (91-1)×5=450；

④ 第91項(xiàng) → 3+450=453。

例題2：求和：1+8+15+22+…+246。

解題：首先可以判斷這是個(gè)等差數(shù)列，如果按等差數(shù)列求和公式，我們需要先求出項(xiàng)數(shù)

① 從已知可推斷公差：8-1=7；

② 首項(xiàng)為1，末項(xiàng)（第？項(xiàng)）為246，帶入圖中；

③ 兩項(xiàng)差為 246-1=245，→ 公差數(shù)： 245÷7=35。246的編號(hào)為：35+1=36，所以項(xiàng)數(shù)為36；

④ 利用等差數(shù)列求和公式：原式=(1+246)×36÷2=4446。

綜上所述，只需理解記住等差數(shù)列求和公式，其他如求項(xiàng)數(shù)，求某一項(xiàng)，求公差都可以一張外星人圖就搞定了，完全不需要去記公式，非常適合二三年級(jí)的學(xué)生去理解等差數(shù)列，有助于培養(yǎng)孩子的數(shù)學(xué)興趣；或者高年級(jí)同學(xué)偶爾忘記了公式的時(shí)候，就畫圖吧！趕緊去試試吧！

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