【基礎(chǔ)知識精講】

1.振動圖像

簡諧運(yùn)動的位移——時間圖像叫做振動圖像，也叫振動曲線.

(1)物理意義：簡諧運(yùn)動的圖像表示運(yùn)動物體的位移隨時間變化的規(guī)律，而不是運(yùn)動質(zhì)點的運(yùn)動軌跡.

(2)特點：只有簡諧運(yùn)動的圖像才是正弦(或余弦)曲線.

2.振動圖像的作圖方法

用橫軸表示時間，縱軸表示位移，根據(jù)實際數(shù)據(jù)定出坐標(biāo)的單位及單位長度，根據(jù)振動質(zhì)點各個時刻的位移大小和方向指出一系列的點，再用平滑的曲線連接這些點，就可得到周期性變化的正弦(或余弦)曲線.

3.振動圖像的運(yùn)用

(1)可直觀地讀出振幅A、周期T以及各時刻的位移x.

(2)判斷任一時刻振動物體的速度方向和加速度方向

(3)判定某段時間內(nèi)位移、回復(fù)力、加速度、速度、動能、勢能的變化情況.

【重點難點解析】

本節(jié)重點是理解振動圖像的物理意義，難點是根據(jù)圖像分析物體的運(yùn)動情況.

一切復(fù)雜的振動都不是簡諧運(yùn)動.但它們都可以看做是若干個振幅和頻率不同的簡諧運(yùn)動的合運(yùn)動.

所有簡諧運(yùn)動圖像都是正弦或余弦曲線，余弦曲線是計時起點從最大位移開始，正弦曲線是計時起點從平衡位置開始，即二者計時起點相差.我們要通過振動圖像熟知質(zhì)點做簡諧運(yùn)動的全過程中，各物理量大小、方向變化規(guī)律.

例1  一質(zhì)點作簡諧運(yùn)動，其位移x與時間t的關(guān)系曲線如下圖所示，由圖可知，在t=4S時，質(zhì)點的(    )

A.速度為正最大值，加速度為零

B.速度為負(fù)最大值，加速度為零

C.速度為零，加速度為正最大值

D.速度為零，加速度為負(fù)最大值

解析：(1)根據(jù)簡諧運(yùn)動特例彈簧振子在一次全振動過程中的位移、回復(fù)力、速度、加速度的變化求解.由圖線可知，t=4s時，振動質(zhì)點運(yùn)動到正最大位移處，故質(zhì)點速度為零，可排除A、B選項.質(zhì)點運(yùn)動到正最大位移處時，回復(fù)力最大，且方向與位移相反，故加速度為負(fù)最大值，故選項D正確.

(2)利用圖線斜率求解.該圖線為位移、時間圖像，其曲線上各點切線的斜率表示速度矢量.在t=4s時，曲線上該點切線的斜率為零，故該點速度大小為零，可排除A、B項.由簡諧運(yùn)動的動力學(xué)方程可得a=-x,當(dāng)位移最大時，加速度最大，且方向與位移方向相反，故選項D正確.

說明  本題主要考查簡諧運(yùn)動過程中的位移，回復(fù)力，速度和加速度的變化情況.運(yùn)用斜率求解的意義可進(jìn)一步推得質(zhì)點在任意瞬間的速度大小，方向.t=1s、3s時質(zhì)點在平衡位置，曲線此時斜率最大，速度最大，但1s時斜率為負(fù)，說明質(zhì)點正通過平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動，3s時斜率為正，表過質(zhì)點通過平衡向正方向運(yùn)動.

例2  如下圖所示是某彈簧振子的振動圖像，試由圖像判斷下列說法中哪些是正確的.(    )

A.振幅為3m，周期為8s

B.4s末振子速度為負(fù)，加速度為零

C.第14s末振子加速度為正，速度最大

D.4s末和8s末時振子的速度相同

解析：由圖像可知振幅A=3cm，周期T=8s，故選項A錯.

4s末圖線恰與橫軸相交，位移為零，則加速度為零.過這一點作圖線的切線，切線與橫軸的夾角大于90°(或根據(jù)下一時刻位移為負(fù))，所以振子的速度為負(fù).故選項B正確.

根據(jù)振動圖像的周期性，可推知第14s末質(zhì)點處于負(fù)的最大位移處(也可以把圖線按原來的形狀向后延伸至第14s末)，因此質(zhì)點的加速度為正的最大值，但速度為零，故選項C錯誤.

第4s末和第8s末質(zhì)點處在相鄰的兩個平衡位置，則速度方向顯然相反(或根據(jù)切線斜率判斷)，所以選項D錯誤.選B.

說明  根據(jù)簡諧運(yùn)動圖像分析簡諧運(yùn)動情況，關(guān)鍵是要知道圖像直接表示出哪些物理量，間接表示了哪些物理量，分析間接表示的物理量的物理依據(jù)是什么.

【難題巧解點撥】

簡諧運(yùn)動圖像能夠反映簡諧運(yùn)動的運(yùn)動規(guī)律，因此將簡諧運(yùn)動圖像跟具體的運(yùn)運(yùn)過程聯(lián)系起來不失為討論簡諧運(yùn)動的一種好方法.

(1)從簡諧運(yùn)動圖像可直接讀出不同時刻t的位移值，從而知道位移x隨時間t的變化情況.

(2)在簡諧運(yùn)動圖像中，用作曲線上某點切線的辦法可確定各時刻質(zhì)點的速度大小和方向，切線與x軸正方向的夾角小于90°時，速度方向與選定的正方向相同，且夾角越大表明此時質(zhì)點的速度越大.當(dāng)切線與x軸正方向的夾角大于90°時，速度方向與選定的正方向相反，且夾角越大表明此時質(zhì)點的速度越小.也可以根據(jù)位移情況來判斷速度的大小，因為質(zhì)點離平衡位置越近，質(zhì)點的速度就越大，而最大位移處，質(zhì)點的速度為零.

(3)由于簡諧運(yùn)動的加速度與位移成正比，方向相反，故可以根據(jù)圖像上各時刻的位移變化情況確定質(zhì)點加速度的變化情況.同樣，只要知道了位移和速度的變化情況，也就不難判斷出質(zhì)點在不同時刻的動能和勢能的變化情況.

根據(jù)簡諧運(yùn)動圖像分析其運(yùn)動情況，方法直觀有效.簡諧運(yùn)動的周期性是指相隔一個周期或周期的整數(shù)倍時，這兩個時刻質(zhì)點的振動情況完全相同，即質(zhì)點的位移和速度大小和方向(以至于回復(fù)力、加速度等)都總是相同的.同相的兩個時刻之差等于周期的整數(shù)倍，這兩個時刻的振動情況完全相同；但是位移相同的兩個時刻，不一定是同相的，振子通過某一位置時，它們的位移相同，但它們的速度方向可能相同，也可能相反.如果時間相隔半個周期的奇數(shù)倍時，這兩個時刻的振動反“相”，其振動位移和速度大小相等，方向相反.

例  甲、乙兩人先后觀察同一彈簧振子在豎直方向上下振動的情況.

(1)甲開始觀察時，振子正好在平衡位置并向下運(yùn)動.試畫出甲觀察到的彈簧振子的振動圖像.已知經(jīng)過1s后，振子第一次回到平衡位置.振子振幅為5cm(設(shè)平衡位置上方為正方向，時間軸上每格代表0.5s).

(2)乙在甲觀察3.5s后，開始觀察并記錄時間.試畫出乙觀察到的彈簧振子的振動圖像.

解析：由題意知，振子的振動周期T=2s，振幅A=5cm.根據(jù)正方向的規(guī)定，甲觀察時，振子從平衡位置向-y方向運(yùn)動，經(jīng)t=0.5s，達(dá)到負(fù)方向最大位移，用描點法得到甲觀察到的振子圖像如圖(甲)所示.

因為t=3.5s=1T，根據(jù)振動的重復(fù)性，這時振子的狀態(tài)跟經(jīng)過t′=T的狀態(tài)相同，所以乙開始觀察時，振子正好處于正向最大位移處，其振動圖像如圖(乙)所示.

【課本難題解答】

167頁(3)題：a.處在平衡位置左側(cè)最大位移處；b.4S；c.10cm,d.200N,400m/s²

【命題趨勢分析】

本節(jié)主要考查學(xué)生運(yùn)用圖像來表達(dá)給出的條件，然后去回答問題的能力，命題一般以選擇、填空形式出現(xiàn).

【典型熱點考題】

例1  如下圖所示為一單擺(單擺周期公式T=2π)及其振動圖像由圖回答：

(1)單擺的振幅為            ，頻率為            ，擺長為            ，一周期內(nèi)位移x(F_回，a，E_p)最大的時刻為            .

(2)若擺球從E指向G為正方向，α為最大擺角，則圖像中O、A、B、C點分別對應(yīng)單擺中            點.一周期內(nèi)加速度為正且減小，并與速度同方向的時間范圍是            ，勢能增加且速度為正的時間范圍是            .

解析：(1)由圖像可知：A=3cm,T=2s,振動頻率f==0.5Hz,擺長l==1(m)，位移為最大值時刻為0.5s末和1.5s末.

(2)圖像中O點位移為零，O到A過程位移為正，且增大，A處最大，歷時周期，即擺球是從E點起振并向G方向運(yùn)動的.所以O(shè)對應(yīng)E，A對應(yīng)G，A到B的過程分析方法相同，因而O、A、B、C分別對應(yīng)E、G、E、F點.擺動中F、E間加速度為正且向E過程中減小，在圖像中為C到D過程，時間范圍1.5s～2.0s.從E向兩側(cè)運(yùn)動勢能增加，從E向G的過程速度為正，在圖像中為從O到A，時間范圍是0～0.5s.

例2  下圖(甲)是演示簡諧振動圖像的裝置，當(dāng)盛沙漏斗下面的薄木板N被勻速地拉，擺動著的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲線顯示出擺的位移隨時間變化的關(guān)系.板上的直線OO′代表時間軸.下圖(乙)是兩個擺中的沙在自各木板上形成的曲線.若板N₁和板N₂的速度υ₁和υ₂的關(guān)系為υ₂=2υ₁，則板N₁、N₂上曲線所代表的振動的周期T₁和T₂的關(guān)系為(    )

A.T₂=T₁                  B.T₂=2T₁                  C.T₂=4T₁               D.T₂=T₁

解析：因N₂板和N₁板勻速拉過的距離相同，故兩板運(yùn)動時間之比

==2.                                ①

在這段距離為N₁板上方的擺只完成一個全振動，N₂板上方的擺已完成兩個全振動，即

t₁=T₁和  t₂=2T₂.                            ②

將②式代入①式，得    T₂=T₁.

可知選項D正確.

【同步達(dá)綱練習(xí)】

1.一質(zhì)點做簡諧運(yùn)動的振動圖像如下圖所示，由圖可知t=4s時質(zhì)點(    )

A.速度為正的最大值，加速度為零

B.速度為零，加速度為負(fù)的最大值

C.位移為正的最大值，動能為最小

D.位移為正的最大值，動能為最大

2.如下圖中，若質(zhì)點在A對應(yīng)的時刻，則其速度υ、加速度a的大小的變化情況為(    )

A.υ變大，a變大               B.υ變小，a變小

C.υ變大，a變小               D.υ變小，a變大

3.某質(zhì)點做簡諧運(yùn)動其圖像如下圖所示，質(zhì)點在t=3.5s時，速度υ、加速度α的方向應(yīng)為(    )

A.υ為正，a為負(fù)                 B.υ為負(fù)，a為正

C.υ、a都為正                   D.υ、a都為負(fù)

4.如下圖所示的簡諧運(yùn)動圖像中，在t₁和t₂時刻，運(yùn)動質(zhì)點相同的量為(    )

A.加速度          B.位移         C.速度          D.回復(fù)力

5.如下圖所示為質(zhì)點P在0～4s內(nèi)的振動圖像，下列說法中正確的是(    )

A.再過1s，該質(zhì)點的位移是正的最大

B.再過1s，該質(zhì)點的速度方向向上

C.再過1s，該質(zhì)點的加速度方向向上

D.再過1s，該質(zhì)點的加速度最大

6.一質(zhì)點作簡諧運(yùn)動的圖像如下圖所示，則該質(zhì)點(    )

A.在0至0.01s內(nèi)，速度與加速度同方向

B.在0.01至0.02s內(nèi)，速度與回復(fù)力同方向

C.在0.025s末，速度為正，加速度為負(fù)

D.在0.04s末，速度為零，回復(fù)力最大

7.如下圖所示，簡諧運(yùn)動的周期等于            s，振幅            m，加速度為正的最大時刻是            ，負(fù)的最大時刻是            ，速度為正的最大時刻是            ，負(fù)的最大時刻是            ，0.1s末與0.2s末的加速度大小分別是a₁與a₂，則大小是a₁            ，0.1s末與0.2s末其速度大小分別υ₁與υ₂，則其大小是υ₁            υ₂.

8.下圖(A)是一彈簧振子，O為平衡位置，BC為兩個極端位置，取向右為正方向，圖(B)是它的振動圖線，則：(1)它的振幅是            cm,周期是            s,頻率是            Hz.(2)t=0時由圖(B)可知，振子正處在圖(A)中的            位置，運(yùn)動方向是            (填“左”或“右”)，再經(jīng)過            s,振子才第一次回到平衡位置.(3)當(dāng)t=0.6s時，位移是            cm，此時振子正處于圖(A)中的            位置.(4)t由0.2s至0.4s時，振子的速度變            (填“大”或“小”，下同)，加速度變            ，所受回復(fù)力變            ，此時速度方向為            (填“正”或“負(fù)”，下同)，加速度方向為            ，回復(fù)力方向為            .

【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】

9.如下圖所示，下述說法中正確的是(    )

A.第2s末加速度為正最大，速度為0

B.第3s末加速度為0，速度為正最大

C.第4s內(nèi)加速度不斷增大

D.第4s內(nèi)速度不斷增大

10.一個做簡諧振動的質(zhì)點的振動圖像如下圖所示，在t₁、t₂、t₃、t4各時刻中，該質(zhì)點所受的回復(fù)力的即時功率為零的是(    )

A.t₄              B.t₃                 C.t₂                    D.t₁

11.如下圖所示為一單擺做間諧運(yùn)動的圖像，在0.1～0.2s這段時間內(nèi)(    )

A.物體的回復(fù)力逐漸減小               B.物體的速度逐漸減小

C.物體的位移逐漸減小                 D.物體的勢能逐漸減小

12.一個彈簧振子在A、B間做簡諧運(yùn)動，O為平衡位置，如下圖a所示，以某一時刻作計時起點(t為0)，經(jīng)周期，振子具有正方向增大的加速度，那么在下圖b所示的幾個振動圖像中，正確反映振子振動情況(以向右為正方向)的是(    )

13.彈簧振子做簡諧運(yùn)動的圖線如下圖所示，在t₁至t₂這段時間內(nèi)(    )

A.振子的速度方向和加速度方向都不變

B.振子的速度方向和加速度方向都改變

C.振子的速度方向改變，加速度方向不變

D.振子的速度方向不變，加速度方向改變

14.如下左圖所示為一彈簧振子的簡諧運(yùn)動圖線，頭0.1s內(nèi)振子的平均速度和每秒鐘通過的路程為(    )

A.4m/s,4m       B.0.4m/s,4cm       C.0.4m/s,0.4m        D.4m/s,0.4m

15.如上右圖所示是某彈簧振子在水平面內(nèi)做簡諧運(yùn)動的位移-時間圖像，則振動系統(tǒng)在(    )

A.t₁和t₃時刻具有相同的動能和動量

B.t₁和t₃時刻具有相同的勢能和不同的動量

C.t₁和t₅時刻具有相同的加速度

D.t₂和t₅時刻振子所受回復(fù)力大小之比為2∶1

16.從如下圖所示的振動圖像中，可以判定彈簧振子在t=            s時，具有正向最大加速度；t=            s時，具有負(fù)方向最大速度；在時間從            s至

            s內(nèi)，振子所受回復(fù)力在-x方向并不斷增大；在時間從            s至

            s內(nèi)振子的速度在+x方向上并不斷增大.

17.如下圖所示為兩個彈簧振子的振動圖像，它們振幅之比A_A∶A_B=            ；周期之比T_A∶T_B=            .若已知兩振子質(zhì)量之比m_A∶m_B=2∶3，勁度系數(shù)之比k_A∶k_B=3∶2，則它們的最大加速度之比為            .最大速度之比            .

18.一水平彈簧振子的小球的質(zhì)量m=5kg，彈簧的勁度系數(shù)50N/m，振子的振動圖線如下圖所示.在t=1.25s時小球的加速度的大小為            ，方向            ；在t=2.75s時小球的加速度大小為            ，速度的方向為            .

19.如下圖所示，一塊涂有碳黑的玻璃板，質(zhì)量為2kg，在拉力F的作用下，由靜止開始豎直向上做勻變速運(yùn)動，一個裝有水平振針的振動頻率為5Hz的固定電動音叉在玻璃板上畫出了圖示曲線，量得OA=1.5cm,BC=3.5cm.求：自玻璃板開始運(yùn)動，經(jīng)過多長時間才開始接通電動音叉的電源?接通電源時玻璃板的速度是多大?

【知識探究學(xué)習(xí)】

沙擺是一種經(jīng)常用來描繪振動圖像的簡易演示實驗裝置.同學(xué)們弄清如下問題對深入細(xì)致地理解沙擺實驗很有幫助.

(1)水平拉動的玻璃板起到了怎樣的怎用?

答：使不同時刻落下的沙子不會重疊，區(qū)別出各時刻沙擺的位置，起到了相當(dāng)于用時間掃描的作用.

(2)為什么要勻速拉動玻璃板?

答：因為沙擺實驗顯示的是縱軸表示位移、橫軸表示時間的單擺振動較圖像，玻璃板的中軸線就是表示時間的橫軸.而時間軸應(yīng)是均勻的，所以玻璃板必須勻速拉動.

(3)玻璃板靜止時沙子落下形成沙堆的形狀是怎樣的?

答：應(yīng)為中間凹兩端高的沙堆如圖1-A，不能為圖1-B的形狀.原因是沙擺過最低點的速度最快，所以中間漏下的沙子最少.

(4)玻璃板抽動速度的大小對圖像的形狀有什么影響?

答：玻璃板的速度越大，圖像中OB段的長度也越大，其中=υ(式中υ為玻璃板抽動的速度，T為沙擺的周期).因圖2-A比圖2-B中的抽動速度大；所以O(shè)B的長度前者也比后者大，但不能說成周期變大.另外圖像的振幅不受玻璃板抽動速度的影響.

(5)由這個實驗?zāi)芊袂蟪隼瓌硬ＡО宓乃俣?

答：能夠利用式子υ=/T求出，這時需要測出沙擺的周期和的長度，并多測幾組數(shù)據(jù)，求出其平均值.

(6)玻璃板的速度恒定，形成的圖像是否為正弦(或余弦)曲線?

答：嚴(yán)格的說不是.因為隨著沙子的漏下，沙擺的周期越來越大，一個周期里玻璃板的位移越來越大，圖像出現(xiàn)變形.沙子全部漏出后，沙擺的周期又保持不變，但這時沒有圖像了.當(dāng)然如果沙粒很細(xì)，漏孔又很小，而且沙擺線擺動的角度很小(小于5°)，那么開始的一段圖像，可近似看成是正弦(或余弦)曲線.

參考答案

【同步達(dá)綱練習(xí)】

1.B、C  2.C  3.A  4.C  5.A、D  6.A、D 

7.5；0.1；1.5s末；0.5s末；0與2s末；1s末；＜；＞

 8.(1)2；0.8；1.25  (2)0；右；1.4；-2；C；大；?。恍?；負(fù)；負(fù)；負(fù)

【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】

9.A、B、C  10.D  11.A、C、D  12.D  13.D  14.C  15.B、D 

16.0.4；0.2；0.6；0.8；0.4；0.6 

17.2∶1；2∶3；9∶2；3∶1 

18.6m/s²；向上；0；向下 

19.0.1s；0.1m/s