【試題】在平面直角坐標(biāo)系中，我們不妨把橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為“夢(mèng)之點(diǎn)”，例如點(diǎn)（﹣1，﹣1），（0，0），…都是“夢(mèng)之點(diǎn)”，顯然，這樣的“夢(mèng)之點(diǎn)”有無數(shù)個(gè)．

（1）若點(diǎn)P（2，m）是反比例函數(shù)y=n/x（n為常數(shù)，n≠0）的圖象上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；

（2）函數(shù)y=3kx s﹣1（k，s是常數(shù)）的圖象上存在“夢(mèng)之點(diǎn)”嗎？若存在，請(qǐng)求出“夢(mèng)之點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）若二次函數(shù)y=ax² bx 1（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象上存在兩個(gè)不同的“夢(mèng)之點(diǎn)”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），且滿足﹣2＜x₁＜2，|x₁﹣x₂|=2，令t=b²﹣2b 3，試求出t的取值范圍．

【解析】（1）先由“夢(mèng)之點(diǎn)”的定義得出m=2，再將點(diǎn)P坐標(biāo)代入y=n/x，即可求出反比例函數(shù)的解析式，具體過程如下：

∵點(diǎn)P（2，m）是“夢(mèng)之點(diǎn)”，∴m=2，

∵點(diǎn)P（2，2）在反比例函數(shù)y=n/x（n為常數(shù)，n≠0）的圖象上，∴n=2×2=4，

∴反比例函數(shù)的解析式為y=4/x；

（2）假設(shè)函數(shù)y=3kx s﹣1（k，s是常數(shù)）的圖象上存在“夢(mèng)之點(diǎn)”（x，x），根據(jù)“夢(mèng)之點(diǎn)”的定義有：x=3kx s﹣1，整理得（3k﹣1）x=1﹣s，再分下列三種情況討論：

      當(dāng)3k﹣1≠0，即k≠1/3時(shí)，解得x=（1－s）/（3k－1）；

      當(dāng)3k﹣1=0，1﹣s=0，即k=1/3，s=1時(shí)，x有無數(shù)多個(gè)解；

      當(dāng)3k﹣1=0，1﹣s≠0，即k=1/3，s≠1時(shí)，x無解；

      根據(jù)方程的根的定義可知x₁，x₂是一元二次方程ax² （b﹣1）x 1=0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系（若韋達(dá)定理不做要求（人教版是選學(xué)），可直接用求根公式得到）可得：

      下面再結(jié)合已知“﹣2＜x₁＜2，|x₁﹣x₂|=2、x₁x₂=1/a”求出a的取值范圍.

      由﹣2＜x₁＜2，|x₁﹣x₂|=2可得：

x₁﹣x₂=2或－2，所以x₂＝x₁－2或x₂＝x₁ 2，又因﹣2＜x₁＜2，所以﹣4＜x₂＜0或0＜x₂＜4，因此﹣4＜x₂＜4.

      進(jìn)一步得到：﹣8＜x₁·x₂＜8.即﹣8＜1/a＜8，同時(shí)因a＞0，所以a＞1/8.

      而t=（2a 1）² 1．顯然當(dāng)a＞－1/2（在對(duì)稱軸a=－1/2的右側(cè)）時(shí)，t隨a的增大而增大，所以t=(2a 1)² 1＞(2×1/8 1)² 1＝25/16 1＝41/16，∴t＞41/16．

【反思】注意兩點(diǎn)：（1）形如ax=b的方程的解的情況討論；（2）題中由“﹣2＜x₁＜2，|x₁﹣x₂|=2、x₁x₂=1/a”求出a的取值范圍.注意體會(huì)解題思路.

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