|
2.代數(shù)學(xué)的進(jìn)展——數(shù)系的擴(kuò)展，群論的誕生 近世代數(shù)，如同古典代數(shù)那樣，是關(guān)于運(yùn)算的理論，但它不把自己局限于研究數(shù)的運(yùn)算的性質(zhì)上，而是研究更具有一般性的元素上運(yùn)算的性質(zhì)，在19 世紀(jì)前，數(shù)學(xué)家對于數(shù)系的認(rèn)識已經(jīng)形成了自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)五大數(shù)系。進(jìn)入了19 世紀(jì)，數(shù)的理論的研究取得重大進(jìn)展，對于五大數(shù)系的邏輯結(jié)構(gòu)與性質(zhì)的研究，建立起了嚴(yán)格的理論；同時(shí)數(shù)系的擴(kuò)展使得代數(shù)學(xué)得到了解放，為各種新的代數(shù)系統(tǒng)的出現(xiàn)提供了基礎(chǔ)。 1830 年，皮科克（1791—1858，英國）著《代數(shù)論》，對代數(shù)運(yùn)算和基本法則進(jìn)行了探索性研究，試圖對代數(shù)學(xué)作類似于歐幾里得幾何學(xué)那樣的邏輯處理，以演繹方式建立代數(shù)理論。后來，德·摩根（1806—1871，英國）等推進(jìn)了皮科克的工作。德·摩根認(rèn)為：代數(shù)學(xué)實(shí)際上是一系列“運(yùn)算”，這種“運(yùn)算”能在任何符號（不一定是數(shù)）的集合上根據(jù)一定的公理進(jìn)行。這新的數(shù)學(xué)思想使得代數(shù)學(xué)得以脫離了算術(shù)的束縛，在那里，可以看到代數(shù)結(jié)構(gòu)概念出現(xiàn)的蹤跡，以及為建立代數(shù)公理系統(tǒng)所作的準(zhǔn)備，為代數(shù)學(xué)中更抽象的思想鋪平了道路。 1837 年，哈密頓（1805—1865，英國）發(fā)表了題為《共軛函數(shù)與作為純粹時(shí)間的科學(xué)的代數(shù)》的論文，在這篇論文中將復(fù)數(shù)a＋bi 看作實(shí)數(shù)序?qū)Γ╝，b）而克服了對復(fù)數(shù)對幾何直觀的依賴，用實(shí)數(shù)序?qū)Χx復(fù)數(shù)的運(yùn)算，并且說 明復(fù)數(shù)滿足實(shí)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律。這樣，實(shí)數(shù)a 被看作特殊的復(fù)數(shù)（a，0），從而完成了數(shù)系從實(shí)數(shù)向復(fù)數(shù)的擴(kuò)展，在實(shí)數(shù)基礎(chǔ)上建立起了復(fù)數(shù)理論的邏輯基礎(chǔ)。哈密頓的這一工作對于后來的代數(shù)學(xué)發(fā)展具有重要的意義。它揭示了 數(shù)的概念有不同維數(shù)的差別，實(shí)數(shù)是一維的，復(fù)數(shù)是二維的，而且引導(dǎo)創(chuàng)造多維復(fù)數(shù)的方向。五大數(shù)系的乘法運(yùn)算都滿足結(jié)合律與交換律。在19 世紀(jì)早期，人們毫不懷疑地認(rèn)為一切其它類型的數(shù)的乘法都應(yīng)具有這些性質(zhì)。 1843 年，哈密頓提出了四元數(shù)概念，于是一種乘法交換律不成立的數(shù)系誕生了。后來，哈密頓在其論著《四元數(shù)講義》（1853 年）和《四元數(shù)基礎(chǔ)》（1866 年）中對四元數(shù)作了進(jìn)一步論述。一個(gè)四元數(shù)是一個(gè)有序四元數(shù)組（a，b，C，d），或具有a＋bi＋Cj＋dk 的形式，其中a，b，c，d 都是實(shí)數(shù)，i，j，k 與復(fù)數(shù)中i一樣是基本單元。四元數(shù)中的a 稱為四元數(shù)的數(shù)量部分，bi＋cj＋dk 稱為四元數(shù)的向量部分。哈密頓還建立了四元數(shù)的運(yùn)算法則，其中四元數(shù)的加減法運(yùn)算與復(fù)數(shù)相應(yīng)運(yùn)算類似，在乘法運(yùn)算中基本單元的運(yùn)算如下： i2=j2=k2=1， jk=—kj=i， ki=—ik=j， ij=—ji=k。 四元數(shù)的乘法滿足結(jié)合律，但乘法沒有交換性。一種不滿足乘法交換律的數(shù)學(xué)對象的提出，或者說一種非交換的代數(shù)結(jié)構(gòu)的發(fā)現(xiàn)，是一次重要的代數(shù)創(chuàng)造，它打破了對于“數(shù)”所必須遵循的規(guī)則的古老信念，四元數(shù)理論的建立， 對代數(shù)學(xué)的影響是深遠(yuǎn)的，它為向量代數(shù)、向量分析以及結(jié)合代數(shù)理論的發(fā)展打開了大門。 1844 年，格拉斯曼（1809—1877，德國）發(fā)表了獨(dú)創(chuàng)性著作《線性擴(kuò)張理論》，建立了有n 個(gè)分量的超復(fù)數(shù)系理論。超復(fù)數(shù)比四元數(shù)更具有一般性，格拉斯曼考慮的是一個(gè)n 元有序?qū)崝?shù)組（x1，x2，?，xn）或?qū)懗蓌1e1＋x2e2 ＋?＋xnen 的形式，其中e1，e2，?，en 是基本單元，兩個(gè)這樣的超復(fù)數(shù)可以定義相等、相加和相乘等運(yùn)算與關(guān)系。但允許有不同的乘法，如格拉斯曼還為這種超復(fù)數(shù)引進(jìn)了稱為內(nèi)積與外積的兩種乘法運(yùn)算。在這里，對于不同 的乘法定義就可以創(chuàng)造不同的代數(shù)，這正是格拉斯曼擴(kuò)張工作的重要性所在。 哈密頓、格拉斯曼等的開創(chuàng)性工作，提出的不同于普通代數(shù)的新的代數(shù)思想，導(dǎo)致了代數(shù)學(xué)的解放，促進(jìn)了各種新的代數(shù)結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生和發(fā)展，從而打開了通向抽象代數(shù)的大門。 群是具有一種運(yùn)算的抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)，它是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最為重要的概念之一。群論在許多學(xué)科領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，起著積極的作用。群的概念起源于解高次方程，雖然在拉格朗日（1736—1813，法國）、高斯、魯菲尼（1765 —1882，法國）和阿貝爾（1802—1829，挪威）等的研究工作中已蘊(yùn)涵了群論的萌芽和一些結(jié)果，但是群論公認(rèn)的創(chuàng)立者是伽羅瓦（1811—1832，法國）。伽羅瓦在世時(shí)只發(fā)表了幾篇數(shù)學(xué)論文。1829 年，伽羅瓦將兩篇關(guān)于代數(shù) 方程可解性的論文呈送法國巴黎科學(xué)院，不幸遺失。1831 年，在泊松（1768—1840，法國）的建議下，伽羅瓦寫了一篇題為《關(guān)于根式解方程的可解性條件》的論文，但是泊松認(rèn)為這篇論文“不可理解”而被退回。1832 年，在 伽羅瓦決斗致死的前夕，他整理了他的數(shù)學(xué)手稿，概述了他得到的主要研究成果，托交給他的一位朋友，這份數(shù)學(xué)遺稿后來被保存下來了，內(nèi)容實(shí)際上包含了關(guān)于群論和方程的伽羅瓦理論。但是，在當(dāng)時(shí)人們并不理解伽羅瓦的 工作。 在伽羅瓦死后14 年，即1846 年，由劉維爾（1809—1882，法國）在《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》上編輯發(fā)表了伽羅瓦的部分論文之后，伽羅瓦的工作才逐漸引起人們的注意。1852 年，貝蒂（1823—1892，意大利）發(fā)表了介紹伽 羅瓦理論的文章。1866 年，塞雷特（1819—1885，法國）在他的《高等代數(shù)教程》一書（第3 版）中將伽羅瓦理論以教科書的方式作了敘述，同時(shí)給出了一些新的結(jié)果。1870 年，若爾當(dāng)（1833—1922，法國）在其名著《置換和代數(shù)方程論》中給出了伽羅瓦理論的第一次全面清楚的論述。伽羅瓦深入研究的是代數(shù)問題，他最主要的成就是：提出并論證了代數(shù)方程可用根式解的普遍的判別準(zhǔn)則，徹底解決了代數(shù)方程根式可解性問題，從概念和方法上為最基本的一種代數(shù)結(jié)構(gòu)——群論奠定了基礎(chǔ)。關(guān)于用群論方法研究代數(shù)方程的解的理論，為了紀(jì)念伽羅瓦，后來稱之為伽羅瓦理論。伽羅瓦理論對于近代數(shù)學(xué)的發(fā)展起了深遠(yuǎn)的影響，在伽羅瓦的短暫一生中，他為數(shù)學(xué)注入了新 的思想，將數(shù)學(xué)引向新的軌道。 后來，在群論的領(lǐng)域由凱萊、戴德金（1831—1916，德國）與李（1842—1899，挪威）等繼續(xù)工作，這些工作不僅擴(kuò)展了群論，而且將它應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，如在幾何學(xué)中群論起到了統(tǒng)一分類的作用。群的概念在代數(shù)中作為一個(gè)綜合的基本結(jié)構(gòu)，是抽象代數(shù)在20 世紀(jì)興起的重要因素。 3.分析學(xué)的嚴(yán)格化，復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)立 一般說來，凡本質(zhì)上與極限概念有關(guān)的數(shù)學(xué)分支稱為分析數(shù)學(xué)。它是17世紀(jì)以來在微積分學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)上形成的數(shù)學(xué)中一大分支。它曾和幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)并列為數(shù)學(xué)中三大主要分支。圍繞著分析學(xué)的基礎(chǔ)問題，在18 世紀(jì)曾經(jīng)進(jìn)行過一場爭論。到了19 世紀(jì)，分析學(xué)中直觀的然而并不嚴(yán)密的論證所導(dǎo)致的局限性和矛盾愈顯突出。因此分析學(xué)的嚴(yán)格化問題日益引起數(shù)學(xué)家的關(guān)注。事實(shí)上，這時(shí)期的微積分雖然已發(fā)展成為一門獨(dú)立的學(xué)科，具有豐富的內(nèi)容和廣泛的應(yīng)用，但是它自己還未形成嚴(yán)格的邏輯體系。微積分學(xué)中的一些基本概念，如函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、微分和積分等概念都沒有嚴(yán)格的定義。 分析學(xué)的嚴(yán)格化是從波爾查諾（1781—1848，捷克）、柯西（1789—1857，法國）、阿貝爾和狄利克雷（1805 —1859，德國）的工作開始的，并由外爾斯特拉斯（1815—1897，德國）進(jìn)一步發(fā)展了的，其中柯西與外爾斯特拉斯的工作為最主要。通過上述數(shù)學(xué)家的工作確立了以極限理論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代分析學(xué)體系，這是19 世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展中 最為重要的成就之一。 1673 年，萊布尼茨（1646—1716，德國）首先使用函數(shù)這一概念?？挛髟谒摹斗治鼋坛獭罚?821 年）中從定義變量開始，對于函數(shù)概念引入了變量間對應(yīng)關(guān)系。狄利克雷在1837 年以變量間對應(yīng)關(guān)系的說法給出了（單值） 函數(shù)概念的現(xiàn)代定義，根據(jù)這個(gè)定義，對于函數(shù)不一定要求有解析表達(dá)式。如在1829 年給出的狄利克雷函數(shù)，即在一切有理數(shù)取值為1，在一切無理數(shù)取值為0 的函數(shù)。顯然，這并不需要用解析表達(dá)式表示后才確定其為函數(shù)。 在分析學(xué)發(fā)展史上，極限理論的建立具有重要的意義，這一工作主要由柯西完成的?？挛魍ㄟ^變量概念，而不是用幾何與力學(xué)的直觀給出了極限的定義： “若代表某變量的一串?dāng)?shù)值無限地趨向于某一固定值時(shí)，其差可以隨意小，則該固定值稱為這一串?dāng)?shù)值的極限。” 這是到那時(shí)為止關(guān)于極限概念的最為清楚的定義，柯西關(guān)于分析學(xué)基礎(chǔ)的基本著作是： ①《分析教程》（1821 年）， ②《無窮小分析教程概論》（1823 年）， ③《微分計(jì)算教程》（1829 年）。 通過這幾部著作，柯西奠定了以極限理論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代分析學(xué)體系。當(dāng)然，用現(xiàn)代的標(biāo)準(zhǔn)來衡量，在柯西著作中的嚴(yán)格性是不夠的，如用了“無限地趨近”，“可以隨意小”之類的語句表述極限概念尚顯得模糊。后來，經(jīng)過狄 利克雷、黎曼，特別是外爾斯特拉斯的工作，才使得分析學(xué)的現(xiàn)代形式終于完成。外爾斯特拉斯思想清晰，善于澄清數(shù)學(xué)中一些基本而又模糊的概念。 1856 年，外爾斯特拉斯在柏林大學(xué)的一次講演中主張將分析學(xué)建立在算術(shù)概念的基礎(chǔ)上，提出了關(guān)于極限概念的“ε—δ”說法，對柯西的極限理論的敘述施以“ε—δ”語言。這樣，用“ε—δ”語言敘述分析學(xué)中一系列概 念，如極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和積分等，建立了現(xiàn)代分析學(xué)的嚴(yán)格體系。1861 年，外爾斯特拉斯構(gòu)造出一個(gè)處處連續(xù)但處處不可微的著名函數(shù)例子： f x a cos b x 0 a 1 b ab 1 ( )＝ n （ nπ ）， 其中＜ ＜ ， 是奇數(shù)，并且＞ ＋ π。外爾斯特拉斯的這個(gè)例子對 n= ¥å 0 3 2 分析學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了很大影響，它推動數(shù)學(xué)家去創(chuàng)造出更多的函數(shù)，這些函數(shù)雖具連續(xù)性卻并不蘊(yùn)涵可微性，以及函數(shù)可以具有各種各樣的反常性質(zhì)，其意義是重要的。它使得數(shù)學(xué)家更加不敢信賴直觀的思考了。 柯西藉助于極限理論為分析學(xué)奠定了基礎(chǔ)，外爾斯特拉斯在此基礎(chǔ)上又將分析學(xué)算術(shù)化，這并不表明分析學(xué)基礎(chǔ)的研究已經(jīng)終結(jié)。隨著分析學(xué)的概念精確化與體系嚴(yán)格化，使得數(shù)學(xué)家認(rèn)識到必須建立起嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論。因?yàn)榉治鰧W(xué)中的許多問題必須借助于實(shí)數(shù)才能解決，如極限理論，連續(xù)性與可微性等都與實(shí)數(shù)性質(zhì)相關(guān)，所以為了保證分析學(xué)結(jié)論的正確，應(yīng)當(dāng)把分析學(xué)理論完全建立在數(shù)的基礎(chǔ)上，這樣就要求有完整的實(shí)數(shù)理論。1872 年，戴德金出版了《連續(xù)性與無理數(shù)》，在這部著作中以有理數(shù)為基礎(chǔ)，用嶄新的方法定義了無理數(shù)，建立起了完整的實(shí)數(shù)理論，從而建立在極限理論基礎(chǔ)上的分析學(xué)形成了嚴(yán)密的理論體系。所以，1872 年可以看作是分析學(xué)基礎(chǔ)完成的 一年。 18 世紀(jì)末到19 世紀(jì)初建立了復(fù)數(shù)與其代數(shù)運(yùn)算的幾何表示，是復(fù)變函數(shù)理論建立的一個(gè)重要步驟。復(fù)變函數(shù)理論的研究對象是復(fù)變數(shù)的函數(shù)，柯西在建立嚴(yán)格的分析學(xué)理論的同時(shí)，為復(fù)變函數(shù)理論奠定了基礎(chǔ)。1814 年， 柯西在巴黎科學(xué)院宣讀了復(fù)變函數(shù)理論的第一篇重要論文《關(guān)于定積分理論的報(bào)告》（1827 年發(fā)表），開創(chuàng)了復(fù)變函數(shù)理論的研究。柯西在復(fù)變函數(shù)理論領(lǐng)域作出了出色的貢獻(xiàn)，他給出了柯西——黎曼方程，定義了復(fù)函數(shù)沿復(fù) 數(shù)域中任意路徑的積分，并得到了復(fù)函數(shù)沿復(fù)數(shù)平面上任意路徑積分的基本定理（即柯西積分定理），由此導(dǎo)出了著名的柯西積分公式 f z i f z ( ) d ( ) = - ò 1 2p x x x G 。 上述定理和積分公式是復(fù)變函數(shù)理論的基礎(chǔ)?？挛鬟€定義了復(fù)變函數(shù)在極點(diǎn)處的留數(shù)，給出了計(jì)算留數(shù)的公式，以及建立了留數(shù)定理。 1826 年，阿貝爾發(fā)表了《關(guān)于很廣的一類超越函數(shù)的一個(gè)一般性質(zhì)》的論文，開創(chuàng)了橢圓函數(shù)理論的研究。1829 年，雅可比（1804—1851，德國）著《橢圓函數(shù)論新基礎(chǔ)》，奠定了橢圓函數(shù)理論的基礎(chǔ)。阿貝爾與雅可比創(chuàng) 立的橢園函數(shù)理論可以說是復(fù)變函數(shù)理論在19 世紀(jì)發(fā)展中最重要的成就之一。此外，外爾斯特拉斯等對此都作出了重要的貢獻(xiàn)。 1851 年，黎曼在其博士論文《單復(fù)變函數(shù)的一般理論的基礎(chǔ)》中確立了單值解析函數(shù)的黎曼定義，特別是闡述了現(xiàn)稱為黎曼面的概念，以及共形映射定理，這一定理稱為黎曼映射定理，它成為復(fù)變函數(shù)的幾何理論的基礎(chǔ)。 黎曼的這篇論文是復(fù)變函數(shù)理論的經(jīng)典性著作。 總之，在這一歷史時(shí)期復(fù)變函數(shù)理論已發(fā)展成為內(nèi)容豐富、理論完美、被稱為抽象學(xué)科中最為和諧的理論之一，它是19 世紀(jì)數(shù)學(xué)中最為獨(dú)特的創(chuàng)造。 http://blog.sina.com.cn/s/blog_4e86d96f0100c9of.html (2009-01-06 11:46:42) |
|
|
