認(rèn)識(shí)一下：何為不定方程?

我們所接觸的方程，簡(jiǎn)單可分為兩大類：定方程與不定方程。

定方程指的是未知數(shù)的個(gè)數(shù)等于方程的個(gè)數(shù)。比如一個(gè)方程寫成3x+10=46，其中未知數(shù)(x)的個(gè)數(shù)是1，方程也是1個(gè)，二者相等。再比如方程組x+y=27，50x+45y=1290，有2個(gè)未知數(shù)(x、y)，同時(shí)有2個(gè)方程，也相同。此時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，定方程的特點(diǎn)是解為定值，也就是說，根據(jù)方程我們能夠且只能算出一組解是滿足等式的。

與定方程不同，不定方程是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)。比如11x+8y=89，2個(gè)未知數(shù)1個(gè)方程;再比如不定方程組x+y+z=20，10x+9y+5z=118，3個(gè)未知數(shù)2個(gè)方程。這類方程出現(xiàn)后，它的最大問題就是如何解，因?yàn)閱慰捶匠痰脑挘瑫?huì)有無數(shù)組解，每一個(gè)x都會(huì)有對(duì)應(yīng)的y。但由于不定方程的未知數(shù)的值往往受到題目的限制，比如在公考中，往往要求是正整數(shù)。所以不定方程的題目設(shè)置即是要考生找出，或者是猜出、推測(cè)出，滿足題意的那一組解。

了解一下：簡(jiǎn)單不定方程解法

如何從萬千組合中快速推斷出正確的、符合題意的那一組解。解法有三：

1.代入排除

超級(jí)簡(jiǎn)單的方法，不論智商在不在線：將A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，代入到等式中進(jìn)行驗(yàn)證，成立即為正解。

【小試牛刀1】辦公室工作人員使用紅、藍(lán)兩種顏色的文件袋裝29份相同的文件。每個(gè)紅色文件袋可以裝7份文件，每個(gè)藍(lán)色文件袋可以裝4份文件。要使每個(gè)文件袋都恰好裝滿，需要紅色、藍(lán)色文件袋的數(shù)量分別為多少個(gè)：

A. 1、6B. 2、4

C. 3、2D. 4、1

【答案】C

2.數(shù)字特性

考驗(yàn)對(duì)數(shù)字敏感度，利用數(shù)字本身的特征，判斷出正確的答案。

奇偶性：兩個(gè)數(shù)的和(差)為奇數(shù)，則它們奇偶相反;兩個(gè)數(shù)的和(差)為偶數(shù)，則它們的奇偶相同。比如5x+4y=18(x、y為正整數(shù))，5x與4y的和為偶數(shù)，4y也是偶數(shù)，5x只能是偶數(shù)。那么正整數(shù)x只能是2，此時(shí)y也是2。

整除特性：若中，a、c都能被非1的正整數(shù)整除，那么b也能被該正整數(shù)整除。例如：3x+5y=45(x、y皆是正整數(shù)，且介于0和8之間)，5y與45都能被5整除，所以3x也得被5整除，即x是5的倍數(shù)，x=0或5。但x=0時(shí)，y=9，不符。正解是x=5，y=6。

倍數(shù)特性：

(m、n互質(zhì))，則有a是m的倍數(shù)，b是n的倍數(shù)。例：(x、y皆是正整數(shù)，且

)，27+y要是11的倍數(shù)，所以y=6，此時(shí)x=36。

【小試牛刀2】甲、乙兩種筆的單價(jià)分別為7元、3元，某小學(xué)用60元錢買這兩種筆作為學(xué)科競(jìng)賽一、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品。錢恰好用完，則這兩種筆最多可買的支數(shù)是：

A. 12B. 13

C. 16D. 18

【答案】C

3.尾數(shù)法

此種方法出現(xiàn)較少，出現(xiàn)時(shí)常常與數(shù)字特性法相結(jié)合：計(jì)算個(gè)位(尾數(shù))，以確定未知數(shù)的取值范圍。

【小試牛刀3】超市將99個(gè)蘋果裝進(jìn)兩種包裝盒，大包裝盒每個(gè)裝12個(gè)蘋果，小包裝盒每個(gè)裝5個(gè)蘋果，共用了十多個(gè)盒子剛好裝完。問兩種包裝盒相差多少個(gè)：

A. 3B. 4

C. 7D. 13

【答案】D

突破一下：不定方程組的解法

出現(xiàn)兩個(gè)未知數(shù)(x、y)的不定方程會(huì)解了，我們乘勝追擊，攻破三個(gè)未知數(shù)(x、y、z)的不定方程組。

1.普遍類：消元

此類方程組中存在三個(gè)未知數(shù)(x、y、z)，但是問題只會(huì)涉及局部。比如問x+z是多少?比如問z是多少?再比如y-z是多少?此時(shí)需要根據(jù)題目指引，消元消掉與問題無關(guān)的1個(gè)未知數(shù)，再使用簡(jiǎn)單不定方程解法解題。

【小試牛刀4】某單位為業(yè)務(wù)技能大賽獲獎(jiǎng)職工發(fā)放獎(jiǎng)金，一、二、三等獎(jiǎng)每人獎(jiǎng)金分別為800、700和500元。11名獲一、二、三等獎(jiǎng)的職工共獲獎(jiǎng)金6700元，問有多少人獲得三等獎(jiǎng)：

A. 3B. 4

C. 5D. 6

【答案】D

2.特殊類：配系數(shù)或賦0法

依舊是三個(gè)未知數(shù)，可問題不再涉及局部，而是詢問整體和，且每個(gè)未知數(shù)的系數(shù)一致。比如這道例題：

【小試牛刀5】甲、乙、丙三種貨物，如果購(gòu)買甲3件、乙7件、丙1件需花3.15元，如果購(gòu)買甲4件、乙10件、丙1件需花4.20元，那么購(gòu)買甲、乙、丙各1件需花多少錢：

A. 1.05元B. 1.40元

C. 1.85元D. 2.10元

可得：3x+7y+z=3.15①，4x+10y+z=4.20②，求x+y+z?此時(shí)消元已經(jīng)無用了，需要用特殊手段解題。

配系數(shù)：①3-②2=9x+21y+3z-(8x+20y+2z)=x+y+z。

賦0法：令系數(shù)較復(fù)雜的未知數(shù)為0，即y=0，則原式可化為3x+z=3.15，4x+z=4.20，解得x=1.05，z=0。

總結(jié)一下：

綜上，我們來總結(jié)不定方程的秒殺解法。

第一步：確定題型，未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)，不定方程(組)類型題。

第二步：未知數(shù)的個(gè)數(shù)若為2個(gè)(x、y)，解法即是代入排除、數(shù)字特性、尾數(shù)法。

第三步：未知數(shù)的個(gè)數(shù)若為3個(gè)(x、y、z)，審題目，問局部，大膽消元。問整體，配系數(shù)或賦0法。

簡(jiǎn)單三步能幫助考生拿下這一類型題的分?jǐn)?shù)。頻頻出現(xiàn)的不定方程(組)難不難?認(rèn)真看過才知道!