漫長的課程至此，我們終于可以應(yīng)用所學(xué)的理論工具來分析解決一些實際問題了。

平行移動是黎曼幾何中最為基本的概念。如圖1所示，令是平面上的一條直線段。我們在起點處選擇一個平面矢量，然后將的起點沿著直線移動，同時保持和直線切向量的夾角不變，這樣我們得到沿著的平行移動，在直線的終點處得到平行移動的結(jié)果。假設(shè)是折線段，我們可以逐段平行移動。如果是曲線，我們可以用折線來逼近曲線。我們?nèi)∏€上的采樣點

,

然后用直線段連接相鄰的兩個采樣點，這樣得到折線。我們將沿著這條折線平行移動得到。令趨向無窮，則折線收斂到原來曲線，會趨向到一個極限向量。我們說沿著平行移動的結(jié)果是。

圖1.  平面上的平行移動。

下面我們將平行移動的概念從平面推廣到曲面情形。曲面上平行移動的定義方式和平面情形相類似，唯一的區(qū)別是將直線換成測地線。更為詳盡地，如果曲線是定義在曲面上的一條測地線，我們在起點處選擇一個切矢量，然后將的起點沿著測地線移動，同時保持和測地線切向量的夾角不變，這樣我們得到沿著的平行移動，在測地線的終點處得到平行移動的結(jié)果。如果是定義在曲面上的任意一條分片光滑曲線，則我們可以在上采樣，并用分片測地線來逼近，同時在分片測地線上逐段平行移動。當(dāng)采樣密度趨于無窮的時候，分片測地線收斂到原來曲線，逐段平行移動的結(jié)果趨于一個極限切向量，則我們將定義為沿著的平行移動結(jié)果。

平面上的平行移動只和起點和終點有關(guān)，和平行移動所經(jīng)歷的路徑無關(guān)。換言之，如果是平面上的一條封閉曲線，沿著平行移動矢量得到，則和重合。

圖2.  高斯-博內(nèi)定理。

如果是曲面上的一條分片光滑封閉曲線，如果是曲面某個區(qū)域的邊界，那么沿著平行移動矢量得到，則和不一定重合，其相差的角度等于曲面的高斯曲率在區(qū)域上的積分。這可以由高斯-博內(nèi)（Gauss-Bonnet）定理來精確描述：

,

這里是內(nèi)點處的高斯曲率，是邊界點處的測地曲率，是曲線在折角處的外角。如果曲面的高斯曲率非零，則平行移動的結(jié)果依賴于路徑的選擇。由此，我們可以提煉出和樂群的概念。

和樂群

給定帶黎曼度量的光滑曲面，和其上的基點，考察所有經(jīng)過基點的封閉曲線， 我們沿著平行移動切向量得到，則和之間相差一個旋轉(zhuǎn)，所有這種旋轉(zhuǎn)構(gòu)成的群被稱為是曲面的和樂群（Holonomy Group）。陳省身先生非常重視和樂群的研究，因為和樂群反映了黎曼流形的幾何特性。如果曲面的黎曼度量為平直度量，高斯曲率處處為0，那么如果同倫平庸（即同倫于點），那么對應(yīng)的holonomy平庸。由此推出，如果兩個封閉曲線同倫，則它們的holonomy相同。這意味著平直度量可以簡化和樂群，我們利用這一點來構(gòu)造曲面上的光滑切矢量場。

圖3.  曲面基本群生成元。

給定一個虧格為的曲面，用戶選擇個點，作為切矢量場的零點，并且指定這些零點的指標(biāo)，滿足龐加萊-霍普夫公式：零點的總指標(biāo)等于曲面的歐拉示性數(shù)，

。

我們在曲面的每個環(huán)柄上選擇兩個封閉曲線，圍繞每個零點選擇一條封閉曲線。帶孔曲面定義為：

，

其基本群為

。

我們可以用Ricci 流的方法構(gòu)造一個平直度量，使得曲面的高斯曲率集中在零點上，點處的曲率等于乘以其指標(biāo)，其他各點的高斯曲率處處為0。后面我們會詳細(xì)介紹，離散曲面Ricci流方法可以計算出這樣平直度量。根據(jù)Gauss-Bonnet定理，我們可以看出，帶孔曲面上，如果兩條封閉曲線同倫，則它們對應(yīng)的holonomy相同。因此，holonomy是定義在帶孔曲面的同倫群上的。

根據(jù)定義，的holonomy為0，但是的holonomy依然復(fù)雜，我們假設(shè)相應(yīng)的holonomy分別是 和 。我們構(gòu)造一個微分1-形式,滿足

,

在構(gòu)造光滑矢量場時，用于補償平直度量誘導(dǎo)的holonomy。

我們在帶孔曲面上任選一點，任選一個單位切向量，對于帶孔曲面上任意一點，我們可以任選一條連接和的路徑，將沿著平行移動到點，然后再旋轉(zhuǎn)角，這里

，

這樣，可以證明我們在帶孔曲面上生成了一個光滑切矢量場，切矢量的長度處處為1。然后我們構(gòu)造一個光滑函數(shù)，在零點處為0，其他各處為正，則和帶孔曲面上的光滑單位切矢量場之積是原來曲面上的一個光滑矢量場，其零點以及零點的指標(biāo)由用戶指定。

圖4.  虧格為0的曲面上只有一個零點的光滑向量場。

圖5.  虧格為2的曲面上只有一個零點的矢量場。

圖4顯示了虧格為0曲面上只有一個零點的光滑矢量場。圖5顯示了虧格為2的曲面上只有一個零點的切矢量場。左幀是如上構(gòu)造的用于補償holonomy的微分形式，中幀顯示的是未加補償直接由平行移動生成的切矢量場，其上存在間斷曲線，右?guī)茄a償后的光滑矢量場。

圖6.  曲面上的矢量場設(shè)計，零點由用戶指定。

圖7.  將曲面轉(zhuǎn)換成編織模型。

圖8.  將曲面轉(zhuǎn)換成編織模型。

同樣的方法，也可以用于生成曲面上的光滑標(biāo)架場。如圖6所示，曲面上的標(biāo)架場用于自動生成鉛筆素描畫，這可以用計算機(jī)來模擬藝術(shù)家來進(jìn)行非真實感繪制。圖7和圖8顯示了將曲面自動轉(zhuǎn)換成編織模型，這為數(shù)字制造提供了新穎的思路。

References:

【1】http://m.iqiyi.com/w_19rtoay4k9.html#vfrm=8-8-u-1

【2】Lai, Yu-Kun, et al. 'Metric-driven rosyfield design and remeshing.' IEEETransactions on Visualization and Computer Graphics 16.1 (2010): 95-108.