2．7 函數(shù)的周期性
——函數(shù)的周期性不僅存在于三角函數(shù)中，在其它函數(shù)或者數(shù)列中“突然”出現(xiàn)的周期性問題更能考查你的功底和靈活性，本講重點復(fù)習(xí)一般函數(shù)的周期性問題
一.明確復(fù)習(xí)目標(biāo)
1.理解函數(shù)周期性的概念，會用定義判定函數(shù)的周期；
2.理解函數(shù)的周期性與圖象的對稱性之間的關(guān)系，會運用函數(shù)的周期性處理一些簡單問題。
二、建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)
1.函數(shù)的周期性定義：
若T為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一x，使 恒成立，則f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個函數(shù)的一個周期。
周期函數(shù)定義域必是無界的
2.若T是周期，則k·T（k≠0,k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正數(shù)叫最小正周期。一般所說的周期是指函數(shù)的最小正周期。
周期函數(shù)并非所都有最小正周期。如常函數(shù)f(x)=C；
3.若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+a)=f(x－a),則2a為函數(shù)f(x)的周期。
（若f(x)滿足f(a+x)=f(a－x)則f(x)的圖象以x=a為圖象的對稱軸，應(yīng)注意二者的區(qū)別)
4.若函數(shù)f(x)圖象有兩條對稱軸x=a和x=b，（a 
5.若函數(shù)f(x)圖象有兩個對稱中心（a，0），（b，0）（a6.若函數(shù)f（x）有一條對稱軸x=a和一個對稱中心（b，0）（a 
舉例:y=sinx,等.
三.雙基題目練練手
1.f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且f(1)=0，則方程f(x)=0在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個數(shù)的最小值是            （    ）   
    A．5      B．4       C．3 D．2
2.若函數(shù)y=f(x)是周期為2的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(0,1)時f(x)=x+1，則f(π)的值為                                   （   ）
A．π-5         B.5-π   C.4-π   D. π-4
3. 是偶函數(shù)，且 為奇函數(shù)，則f(1992)=       
4.設(shè)存在常數(shù)p>0,使 ，則 的一個周期是     ，f(px)的一個正周期是       ；
5.數(shù)列 中    
簡答精講：1、B；2、A；3、993；因（-1，0）是中心，x=0是對稱軸，則周期是4；4、 ， ；5、 ；由已知 ，周期為6。
四.經(jīng)典例題做一做
【例1】已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)x∈(0,1)時，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。
解法1：（從解析式入手，由奇偶性結(jié)合周期性，將要求區(qū)間上問題轉(zhuǎn)化為已知解析式的區(qū)間上。）
    ∵ x∈(1,2), 則-x∈(-2,-1), 
    ∴ 2-x∈(0,1),  ∵ T=2,是偶函數(shù)
∴ f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.
  x∈(1,2).
解法2（從圖象入手也可解決，且較直觀）f(x)=f(x+2)
如圖：x∈(0,1), f(x)=x+1.∵是偶函數(shù)
∴x∈(-1,0)時f(x)=f(-x)=-x+1.
 又周期為2， x∈(1,2)時x-2∈（-1，0）
∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.
提煉方法：1.解題體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化的思想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上轉(zhuǎn)化;
2.用好數(shù)形結(jié)合,對解題很有幫助.

【例2】f(x)的定義域是R，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),若f(0)=2008,求 f(2008)的值。
解：
周期為8，
法二：依次計算f(2、4、6、8)知周期為8，須再驗證。

方法提煉：
1.求周期只需要弄出一個常數(shù);
2.注意既得關(guān)系式的連續(xù)使用.
【例3】若函數(shù) 在R上是奇函數(shù)，且在 上是增函數(shù)，且 .
①求 的周期；
②證明f(x)的圖象關(guān)于點(2k,0) 中心對稱;關(guān)于直線x=2k+1軸對稱, (k∈Z );
③討論f(x)在(1,2)上的單調(diào)性；

解: ①由已知f(x)=－f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4.
②設(shè)P(x,y)是圖象上任意一點,則y=f(x),且P關(guān)于點(2k,0)對稱的點為P1(4k-x,-y).P關(guān)于直線x=2k+1對稱的點為P2(4k+2-x,y).
∵f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,∴點P1在圖象上,圖象關(guān)于點(2k,0)對稱.
又f(x)是奇函數(shù),f(x+2)=-f(x)=f(-x)
∴f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y, ∴點P2在圖象上,圖象關(guān)于直線2k+1對稱.
③設(shè)1∵f(x)在(-1,0)上遞增,  ∴f(2-x1)又f(x+2)=-f(x)=f(-x)  ∴f(2-x1)=f(x1), f(2-x2)=f(x2).
(*)為f(x2)提煉方法：總結(jié)解周期性、單調(diào)性及圖象對稱性的方法。
【研究.欣賞】已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期T=5，函數(shù)y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函數(shù).又知y=f(x)在[0,1]上是一次函數(shù)，在[1,4]上是二次函數(shù)，且在x=2時函數(shù)取得最小值-5.
① 證明： ；②求 的解析式；
③求 在 上的解析式.
解：∵ 是以 為周期的周期函數(shù)，且在[-1,1]上是奇函數(shù)，∴ ，∴ .
②當(dāng) 時，由題意可設(shè) ，
由 得 ，∴ ，
∴ .
③∵ 是奇函數(shù)，∴ ，
又知 在 上是一次函數(shù)，∴可設(shè) ，而 ，
∴ ，∴當(dāng) 時， ，
從而 時， ，故 時， .
∴當(dāng) 時，有 ，∴ .
當(dāng) 時， ，
∴
∴ .

五．提煉總結(jié)以為師
1.函數(shù)的周期性及有關(guān)概念;
2.用周期的定義求函數(shù)的周期;
3.函數(shù)的周期性與圖象的對稱性之間的關(guān)系;

同步練習(xí)      2．7 函數(shù)的周期性
【選擇題】
1.f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，它的最小正周期為T，則f（－ ）的值為
A.0   B.   C.T   D.－
2.（2004天津）定義在R上的函數(shù)f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù).若f（x）的最小正周期是π，且當(dāng)x∈［0， ］時，f（x）=sinx，則f（ ）的值為
A.－     B.     C.－    D.
【填空題】
3.設(shè) 是定義在 上，以2為周期的周期函數(shù)，且 為偶函數(shù)，在區(qū)間[2，3]上， = ,則  =         
4.已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且等式f(4+x)＝f(4-x)，對一切實數(shù)x成立，寫出f(x)的一個最小正周      
5.對任意x∈R，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,則f(69)=    
6.設(shè)f(x)定義在R上的偶函數(shù)，且 ，又當(dāng)x∈(0，3]時，f(x)=2x，則f(2007)=        。
 
答案提示：1、A；由f（ ）=f（－ +T）=f（－ ）=－f（ ），知f（ ）=0.（或取特殊函數(shù)f（x）=sinx）
2、D； f（ ）=f（ －2π）=f（－ ）=f（ ）=sin = .
3、 ;   4、8；
5、f(x-1)=f(x)-f(x+1),∴f(x)=f(x+1)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+3)-f(x+2)= -f(x+3)
∴f(x)= -f(x+3)=f(x+6) .周期是6；f(69)=f(3)=f(-3)= -f(-3+3)= -6
6、  ，周期T=6， F(2007)=f(3)=6

【解答題】
7.設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為2002，并且f(1001+x)=f(1001－x)對一切x∈R均成立，試討論f(x)的奇偶性.
解: ∵周期是2002, ∴ f(2002+x)=f(x),
又由f(1001+x)=f(1001－x)得f(2002-x)=f(x)
∴對任意的x都有f(x)=f(2002-x)=f(-x),f(x)是偶函數(shù).
8.設(shè)f(x)為定義在實數(shù)集上周期為2的函數(shù)，且為偶函數(shù)，已知x∈[2,3]時f(x)=x，求x∈[-2,0]時f(x)的解析式。
分析：由T=2可得x∈[-2,-1]和x∈[0,1]時的解析式；再由奇偶性可得[-1，0]上的解析式。
解：因為函數(shù)f(x)是T=2的周期函數(shù)，所以f(x+2)=f(x).
 
 
又由于f(x)為偶函數(shù)，故
所以解析式為

9.設(shè)f(x)是定義在（-∞，+∞）上的函數(shù)，對一切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0，當(dāng)-1思路分析：∵ f(x)+f(x+2)=0   ∴ f(x)=-f(x+2)
∵ 該式對一切x∈R成立，
∴ 以x-2代x得：f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x)
當(dāng)1∴ f(x)=-f(x-2)=-2x+5，∴ f(x)=-2x+5（1評注：在化歸過程中，一方面要轉(zhuǎn)化自變量到已知解析式的定義域，另一方面要保持對應(yīng)的函數(shù)值有一定關(guān)系。在化歸過程中還體現(xiàn)了整體思想。
10.（2005廣東）設(shè)函數(shù) 在 上滿足 ， f(7-x)=f(7+x)，且在閉區(qū)間［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0。
（Ⅰ）試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性；
（Ⅱ）試求方程f(x)=0在閉區(qū)間［-2005，2005］上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論．
解：由 得 即
由已知易得 ，所以 ，而 ，從而 且
故函數(shù) 是非奇非偶函數(shù); 
(II)由
 ,從而知函數(shù) 的周期為
當(dāng) 時， ，由已知 ，又 ，則
∴當(dāng) 時，只有
∴方程 =0在一個周期內(nèi)只有兩個解
而函數(shù) 在閉區(qū)間［-2005，2005］共含有401個周期，所以方程 =0在閉區(qū)間［-2005，2005］共含有802個解
【探索題】對于k∈Z，用Ik表示區(qū)間(2k-1，2k+1］。已知x∈Ik時，f(x)＝ (x-2k)2，
(1)當(dāng)k∈N*時,求集合Mk＝｛a｜使方程f(x)＝ax在Ik上有兩個不相等的實根的a的值｝
(2)并討論f(x)的周期性。
解：y＝f(x)圖像就是將y＝x2(x∈（-1，1］）向右平移2k個單位所得，其中k∈N
設(shè)y1＝f(x),y2＝ax，由集合Mk可知，若a∈M，則函數(shù)y1＝f(x)與y2＝ax圖像有 兩個交點，即當(dāng)x＝2k+1時，0＜y2≤1
∴0＜a≤
∴Mk＝｛a｜0＜a≤ ，k∈N｝，即Mk＝(0， ］
對任意
   ，
所以f(x)是2為周期的周期函數(shù)。
思路點拔：化簡集合，弄清圖像變換規(guī)律，數(shù)形結(jié)合求解；周期性的的討論注要是看你運用定義的意識和能力