大家在解決有關(guān)圓錐側(cè)面展開圖的計算問題時，通常利用了兩個等量關(guān)系，第一個是=×底面圓周長(或側(cè)面的弧長)×母線長，第二個就是側(cè)面的弧長等于底面的周長，但每次都直接利用這兩個等量關(guān)系來計算還是很麻煩，特別是同學(xué)們往往容易忘記乘以系數(shù)，基于此我們不妨把這兩個等量關(guān)系進一步推導(dǎo)，得出實質(zhì)性的乘積、比例公式。我相信同學(xué)們在理解并運用這兩個公式后，解題的思路可以變得清晰，速度和準確度也可以得到很大的提高。

一、推導(dǎo)公式：

1.乘積式：側(cè)面積：

全面積：

2.比例式：弧長 等于⊙O1的周長

∵  ∴

又∵

           即：

     這兩組公式的優(yōu)點是避開了求底面圓周長，而直接建立了S側(cè) 與R、r的乘積關(guān)系，以及圓心角n與R、r的比例關(guān)系，減少了許多中間過程，特別是比例式給我們的計算帶來了極大的便利。

二、運用乘積式：

類型一：順向使用公式

【問 題】（2009濟南）在綜合實踐活動課上，小明同學(xué)用紙板制作了一個圓錐形漏斗模型．如圖所示，它的底面半徑高則這個圓錐漏斗的側(cè)面積是（  ）

A．　B．   C．   D．

分 析：從剛才推導(dǎo)出的可以看出，只與圓錐的母線長度以及底面圓半徑有關(guān)，若題目沒有直接給出母線長度以及底面圓半徑，往往還可以利用R、r和h組成的直角三角形，求出未知的R或r來，從而計算出側(cè)面積。

結(jié) 論：要求,就求R、r。

解 答：此題由底面半徑高可以求出母線BC為10cm，即R=10cm，r=6cm，再由，選C。

【練 習(xí)】

1. （2009鐵嶺）小麗想用一張半徑為5cm的扇形紙片圍成一個底面半徑為4cm的圓錐，接縫忽略不計，則扇形紙片的面積是        cm²．（結(jié)果用表示）20

2.（2009南昌）一個圓錐的底面直徑是80cm,母線長是90cm,則它的側(cè)面積是____    。

3600cm²

3. （2008成都）小紅同學(xué)要用紙板制作一個高4cm，底面周長是6πcm的圓錐形漏斗模型，若不計接縫和損耗，則她所需紙板的面積是（    ）B

A．12πcm²          B．15πcm²          C．18πcm²          D．24πcm²

類型二：逆向使用公式

【問 題】（2009義烏）如圖，圓錐的側(cè)面積為，底面半徑為3，則圓錐的高AO為        .

分 析：從剛才推導(dǎo)出的可以看出，已知、R、r中任意兩個量可以求出余下未知的量，若題目要求求出圓錐的高h，往往還可以利用R、r和h組成的直角三角形，從而求出。

解 答：此題由=，r=3，可以求出R=5，再根據(jù)勾股定理求出高AO= 4。

【練 習(xí)】

（2009營口）小紅用一個半徑為36cm，面積為324cm²的扇形紙板，制作一個圓錐形

玩具帽（接縫的重合部分忽略不計），則帽子的底面半徑為           cm．9

三、運用比例式：

類型一：公式

【問 題】（2009撫順）如圖所示，已知圓錐的高AO為8cm，底面圓的直徑BC長為

12cm，則此圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為          度．

分 析：從剛才推導(dǎo)出的可以看出，已知n、R、r中任意兩個量可以求出余下未知的量，若題目沒有直接給出母線長度以及底面圓半徑，往往還可以利用R、r和h組成的直角三角形，求出未知的R或r來，從而計算出側(cè)面展開圖的圓心角。

結(jié) 論：n、R、r三個量中知二可以求余一。

解 答：此題由底面直徑BC=12cm，高AO=8cm可以求出母線AB為10cm，即R=10cm，r=6cm，再由計算出n=216，即圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為216度。

【練 習(xí)】

1．（2009江西）用直徑為80cm的半圓形鐵皮圍成一個圓錐的側(cè)面（不計接縫部分），則此圓錐的底面半徑是          cm．20

2．（2009成都）  若一個圓錐的底面圓的周長是4πcm，母線長是6cm，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是（      ）C

    A．40°      B．80°       C．120°      D．150°

3．（2008棗莊）如圖，扇形OAB是圓錐的側(cè)面展開圖，若小正方形方格的邊長為1 cm，則這個圓錐的底面半徑為（      ）C

A．cm    B．cm   C．cm   D．cm

4．（2009仙桃）現(xiàn)有30％圓周的一個扇形彩紙片，該扇形的半徑為40cm，小紅同學(xué)為了在“六一”兒童節(jié)聯(lián)歡晚會上表演節(jié)目，她打算剪去部分扇形紙片后，利用剩下的紙片制作成一個底面半徑為10cm的圓錐形紙帽(接縫處不重疊)，那么剪去的扇形紙片的圓心角為（   ）．B

A、9°     B、18°     C、63°     D、72°

類型二：公式

【問 題】（2008仙桃）.如圖，小明從半徑為5cm的圓形紙片中剪下40%圓周的一個扇形，然后利用剪下的扇形制作成一個圓錐形玩具紙帽（接縫處不重疊），那么這個圓錐的高為(     ) A．3cm      B．4cm     C．cm   D．cm

分析：從剛才推導(dǎo)出的可以看出，n為扇形的圓心角，則可以看做，即。

解答：此題由R=5cm，以及剪下40%的扇形為圓錐側(cè)面展開圖，根據(jù)可求出r =2cm，再由勾股定理求出高為cm，選C.

【練 習(xí)】

1.（2009山東）將直徑為60cm的圓形鐵皮，做成三個相同的圓錐容器的側(cè)面（不浪費材料，不計接縫處的材料損耗），那么每個圓錐容器的底面半徑為 (     ) A

A．10cm     B．30cm           C．40cm    D．300cm     

2.（2009臨汾）若一個圓錐的底面積是側(cè)面積的，則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是____     _度．120

3.（2008泰安）如圖，圓錐的側(cè)面積恰好等于其底面積的2倍，則該圓錐側(cè)面展開圖所對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)為（    ）D

A．              B．    C．          D．

四、綜合運用乘積式，比例式：

【問 題】（2009崇左）已知圓錐的側(cè)面積為，側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的母線長為            cm．

分 析：從剛才推導(dǎo)出的，可以看出，，n都要依靠R、r來建立聯(lián)系，當(dāng)我們已知時，可以建立R、r的乘積關(guān)系，當(dāng)我們已知n時，又可以建立R、r的比例關(guān)系。最終可以求出未知量。

解 答：此題由=，得到Rr =8，由n=，得到，則R=8cm，r=1cm

       即：圓錐的母線長為8cm

【練 習(xí)】

1.（2009郴州） 如圖已知扇形AOB的半徑為6cm，圓心角的度數(shù)為120°，若將此扇形圍成一個圓錐，則圍成的圓錐的側(cè)面積為（　?。?/span>D

A．             B．         C．          D．

2.（2009來賓）若圓錐的底面周長是10π，側(cè)面展開后所得的扇形的圓心角為90°，則該圓錐的側(cè)面積是（     ）C

A．25π               B．50π         C．100π       D．200π

3.（2009青海）如圖11，一個圓錐的高為cm，側(cè)面展開圖是半圓．

求：（1）圓錐的母線長與底面半徑之比；2：1

（2）求的度數(shù)；            60°

（3）圓錐的側(cè)面積（結(jié)果保留）． 18