我的第一篇公眾號的題目是：在股市這個大賭場里，你想做賭徒還是賭場老板？

在這篇文章里，我提到了負(fù)和游戲和正和游戲：

賭徒參與的是“負(fù)和游戲”，長期參與最終的結(jié)局一定是虧損的。

而賭場老板參與的是“正和游戲”，長期參與最終一定是盈利的。

從直覺上講，這個結(jié)論好像挺有道理。但這個結(jié)論的理論依據(jù)是什么呢？

那就是概率論中的“大數(shù)定律”。今天就聊一聊“大數(shù)定律”這個話題。

1. 從一個賭博例子說起

有一個不均勻的硬幣，每次扔這個硬幣時，有51%的可能性是正面朝上，49%的可能性是反面朝上。

有一個不知道硬幣缺陷的人愿意和你打賭玩猜硬幣的游戲，猜對的把籌碼全贏走，猜錯的輸?shù)艋I碼。這時你的地位就相當(dāng)于賭場老板，因為這個游戲獲勝的概率對你是有利的。

如果你手里有1000元錢，你愿意選擇下面哪種方式來參加這個賭局呢？

方案A：1000元一次性全部押正面。

方案B：每次用1元押正面，一共參與1000次。

1）計算期望收益

對于這樣的隨機(jī)事件來說，首先要算一下期望收益是多少。

E(A)=0.51*1000+0.49*(-1000)=20

E(B)=E(B1)+E(B2)+...+E(B1000)

      =0.02+0.02+...+0.02

      =20

可以看出，兩種方案的期望收益都是一樣的。

2）計算標(biāo)準(zhǔn)差

我們知道，在投資中不能只看收益，還要看風(fēng)險。在金融學(xué)中風(fēng)險是指不確定性，一般用標(biāo)準(zhǔn)差來衡量（基礎(chǔ)知識可以參考做好資產(chǎn)配置（2）——做多元投資，吃免費午餐）。我們來算一下兩種方案各自的標(biāo)準(zhǔn)差是多少。

首先計算方差:

D(A)=E(A^2)-[E(A)]^2=10^6-400=999600

D(B)=D(B1)+D(B2)+...+D(B1000)=1000*D(B1)=999.6

可以看出，兩種方案的方差剛好差了1000倍。

各自的標(biāo)準(zhǔn)差是：

Std(A)=999.8

Std(B)=31.6

可以看出，方案B的標(biāo)準(zhǔn)差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于方案A。

如果計算夏普比率的話：

Sharp(A)=E(A)/Std(A)=0.02

Sharp(B)=E(B)/Std(B)=0.63

可以看出，方案B在獲得了同樣期望收益的情況下，承擔(dān)了更小風(fēng)險，從而有著更大的夏普比率。因此方案B是優(yōu)于方案A的。

從這個例子可以看出，對于期望收益為正的游戲，我們持續(xù)的、大量的參與，就能獲得更低的風(fēng)險。

2. 賭本擴(kuò)展到10萬元的游戲

如果手里面不是有1000元錢，而是有10萬元錢。還是以下兩種方案：

方案A：一次把10萬元全押正面

方案B：每次押1元，押10萬次

我們首先計算期望收益：

E(A)=2000, E(B)=2000

然后再計算標(biāo)準(zhǔn)差：

Std(A)=99980, Std(B)=316

夏普比例為：

Sharp(A)=0.02, Sharp(B)=6.32

如果我們算一下兩種方案各自的虧損的概率，那么可以發(fā)現(xiàn)：

A方案虧損的概率就是49%，而B方案虧損的概率幾乎為0！

為什么呢？因為B方案的期望收益為2000，標(biāo)準(zhǔn)差為316，如果B要虧損，必須發(fā)生6倍多標(biāo)準(zhǔn)差以外的一個事件。如果B是服從正態(tài)分布的話（后面講的中心極限定理保證了B就是服從正態(tài)分布），這幾乎是一個不可能發(fā)生的事件。下圖是期望收益為2000，標(biāo)準(zhǔn)差為316的正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖?？梢钥闯?，發(fā)生負(fù)收益的可能性幾乎為0。

3. 大數(shù)定律與中心極限定理

在大學(xué)理工類和經(jīng)管類專業(yè)中，概率論都是必修課。在概率論這門課中有兩個很重要的定律：一個是大數(shù)定律，另一個是中心極限定理。

大數(shù)定律的通俗解釋是：當(dāng)樣本數(shù)量趨于無窮時，樣本的均值一定是趨向于樣本的期望值的。

通過大數(shù)定律就可以理解為什么賭場老板長期不會虧錢。賭場老板如果參與的是正和游戲，他的期望收益是正的。當(dāng)他持續(xù)參與時，多次賭博的平均收益就是他期望收益，這是個正收益，因此他是能長期盈利的。

中心極限定理指出：在獨立同分布的情況下，樣本值的和在數(shù)量趨于無窮時的分布近似于正態(tài)分布。

通過中心極限定理，我們也可以理解持續(xù)參與正和游戲是一定盈利的。由于正和游戲的期望收益都是正的，那么多次參與正和游戲后，總的期望收益是每一次期望收益之和。多次參與后，這個期望收益會越來越大。但標(biāo)準(zhǔn)差增長的幅度卻沒有期望收益增長那么快，增長幅度是參與次數(shù)的開根號。

因此，隨著參與次數(shù)的增加，期望收益與標(biāo)準(zhǔn)差之比越來越大。從前面的例子可以看出，參與1000次，期望收益與標(biāo)準(zhǔn)差之比是0.63。而參與10萬次，期望收益與標(biāo)準(zhǔn)差之比是6.3。隨著參與次數(shù)繼續(xù)增多，這個比率會越來越大。

我們知道，在正態(tài)分布情況下，3倍標(biāo)準(zhǔn)差外的事件都是小概率事件，6倍標(biāo)準(zhǔn)差幾乎就是不可能發(fā)生的事件。所以，隨著參與次數(shù)的增加，持續(xù)參與正和游戲而虧損的可能性就越來越低，到了一定程度就幾乎為0了。

同樣的，做為賭場老板的對立面，賭徒的命運也是跑不出大數(shù)定律和中心極限定理的。

由于賭徒參與的是負(fù)和游戲，每一次的期望收益都是負(fù)的，所以持續(xù)參與，一定能獲得他的平均收益，也就是負(fù)收益。平均都是負(fù)的，參與次數(shù)又多，不傾家蕩產(chǎn)才怪。

隨著賭徒參與次數(shù)的增加，他輸錢的期望值的絕對值與標(biāo)準(zhǔn)差之比也越來越大，贏錢變成了一件幾乎不可能實現(xiàn)的事件，那么虧錢也就幾乎是個必然事件了。下表計算了賭場老板持續(xù)參與勝率為51%的游戲的結(jié)果。

表1 持續(xù)參與勝率為51%的游戲的結(jié)果

下圖是期望收益為-2000，標(biāo)準(zhǔn)差為316的正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖?？梢钥闯?，發(fā)生正收益的可能性幾乎為0。

4. 舉一反三

從上面的例子和分析可以看出，做投資如果持續(xù)參與正和游戲，長期堅持下來，一定是獲利的。下面再舉幾個例子，希望起到拋磚引玉的效果。

1）賭場老板設(shè)置賠率不均衡

上面的例子是概率對賭場老板有利，其實賭場老板不光追求概率有利，賠率有利時他也是很高興的?？傊非蟮恼陀螒颍簿褪瞧谕找鏋檎挠螒?。

如果還是猜硬幣的游戲，但硬幣是均勻的，向上和向下各有50%的可能性。如果賭徒猜對了，贏1塊錢；猜錯了，輸1.1元。那么對于賭徒來說，同樣是個期望收益為負(fù)的游戲，也就是負(fù)和游戲。對賭場老板來說，則是個正和游戲。

澳門或者拉斯維加斯的賭場老板們，購買那些老虎機(jī)的時候，早就在程序里設(shè)置好了?；蛘呤歉怕蕦ψ约河欣蛘呤琴r率對自己有利，總之是期望收益為正。大量的賭徒持續(xù)的參與這樣的游戲，保證了賭場老板一定是盈利的。

2）封閉式基金折價套利

我以前反復(fù)提到過封閉式基金是個好的投資品種。封閉式基金由于有折價，持有到期后，折價一定會消失的。這個折價消失的過程，對于封閉式基金持有人就是個正和游戲。

持有到期后，大盤有可能漲，有可能跌。姑且認(rèn)為大盤漲和跌的概率各是50%吧（其實大盤是個長期向上的過程，漲的概率是大于50%的），加上封閉式基金的折價縮小，那么就變成了一個獲勝概率超過50%的游戲，即正和游戲。

參與每一次封閉式基金的封轉(zhuǎn)開，都不保證一定是盈利的，但這一定是個正和游戲。長期持續(xù)參與這樣的游戲，最終的結(jié)果一定是盈利的。

3）股指期貨吃貼水套利

股指期貨在貼水的情況下，其實就相當(dāng)于封閉式基金折價。股指期貨到期交割時，貼水一定會消失的。做多貼水的股指期貨，也是不保證每次都盈利，但是個獲勝概率大于50%的正和游戲。

4）開放式基金停牌股套利

有些股票被借殼重組或者有重大的利好消息，復(fù)牌時往往有若干個連續(xù)漲停。這時候瞪眼、眼紅、干著急都是買不到的。但如果我們申購重倉這只股票的開放式基金，則可以搭個順風(fēng)車，隨著基金凈值的增長而獲利。

如果這一段時間，這只基金的其他股票大幅下跌了，那么這次套利就可能是虧損的。但這次交易還是個正和游戲，不用理會某次的虧損，持續(xù)參與就可以了。

5）分級基金下折套利

去年股災(zāi)期間，發(fā)生了多次分級基金A類的下折，分級基金A類的下折套利空間往往有3%-5%。如果大盤在套利期間繼續(xù)大幅下跌，套利也是有可能發(fā)生虧損的。

但如果我們心里明白：這是風(fēng)險收益不對稱的游戲，獲利的可能性遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于虧損的可能性，那么我們就可以勇敢的參與下折套利。事實上，在股災(zāi)期間，我參與了多次下折套利，從而在股災(zāi)期間繼續(xù)獲得收益，目前的個人證券資產(chǎn)比股災(zāi)前的最高點又高出了不少。

5. 投資大師們的大數(shù)定律

世界上最成功投資大師有兩類：一類是以巴菲特為代表的價值投資派，另一類是以西蒙斯為代表的量化投資派。

巴菲特的投資思路是低價拿好股，并且長期持有。這表面上看起來和大數(shù)定律沒什么關(guān)系，但長期持有其實就是在利用大數(shù)定律。好公司每天都在賺錢，明天的公司就比昨天的公司價值多了一些。所以持有優(yōu)質(zhì)公司，本身就是一個正和游戲。長期參與正和游戲，當(dāng)然會源源不斷的賺錢了。

而西蒙斯更是直接用的大數(shù)定律。他利用各種數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)市場上的正和游戲的機(jī)會，大量的參與。每次參與交易的期望收益都是正的（但并不保證每一次都是盈利的），長期參與這樣的游戲，最終也是穩(wěn)穩(wěn)的獲利了。

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