“一”是什么？

劉 拓

什么是“一”？似乎是一個最平凡的小問題。因為“一”，可能是最簡單的數(shù)學概念。

可實際上，它是一個涉及領(lǐng)域很廣泛的科學大問題、數(shù)學大問題，大概屬于那種難以回答好、論述全、表述準的問題。在今日之數(shù)學中，“一”的概念，內(nèi)涵很深刻，外延很復雜。至于將其擴展到整個科學領(lǐng)域，那就蔚為大觀了。

顯然，“一”是用來刻劃物的屬性的。一般認為，“一”是定量方面的概念。然而，從數(shù)學上看，“一”的定性意義，是作為前提而先在的。

一，有大道，有常理，有數(shù)術(shù)。老子在《道德經(jīng)》中曾曰：道生一，一生二，二生三，三生萬物。從普適性、規(guī)律性、操作性的視角看，正合此也。而數(shù)學家們，往往偏愛“一生二，二生三，三生萬物”之斷句，以彰顯數(shù)學之重要性。

我們先從“一”的具體應用，以范例談起。下述之“物”，是廣義的物（既包括實在之物，也包括抽象之物）。從直觀上講，

一，可表示物之自在實體，體現(xiàn)物的存在性；

一，可表示物之獨立個體，體現(xiàn)物的歸屬性；

一，可表示物之順序先后，體現(xiàn)物的有序性；

一，可表示物之單位元素，體現(xiàn)物的可分性；

一，可表示物之數(shù)量多少，體現(xiàn)物的可數(shù)性；

一，可表示物之空間大小，體現(xiàn)物的延展性；

一，可表示物之平移距離，體現(xiàn)物的運動性；

一，可表示物之轉(zhuǎn)動角度，體現(xiàn)物的非線性；

一，可表示物之時間長短，體現(xiàn)物的過程性；

一，可表示物之循環(huán)演變，體現(xiàn)物的周期性；

一，可表示物之螺旋生長，體現(xiàn)物的進化性；

……

“一”作為數(shù)學符號，反映的是抽象的數(shù)學概念。自然界里，原本沒有“一”?！耙弧?，是人類創(chuàng)造的概念。但“一”的概念，不是從頭腦憑空產(chǎn)生的，而是深蘊著現(xiàn)實背景的。“一”所表示的對象，是實在物及其屬性。在科學家尤其是數(shù)學家心中，其內(nèi)容可謂一言難盡。當代數(shù)學，已向著研究抽象集合、范疇、對象、系統(tǒng)、關(guān)系、結(jié)構(gòu)的方向發(fā)展。我們且從以下數(shù)理的視角來加以考察，

從對象的存在性而言，揭示事物的實在，“一”的前提是實體的存在。

從系統(tǒng)的歸屬性而言，體現(xiàn)個體屬于特定集合，涉及集合論的基數(shù)。

從元素的關(guān)聯(lián)性而言，反映可數(shù)集合的序關(guān)系，涉及數(shù)學基礎(chǔ)的元數(shù)學，涉及自然數(shù)公理體系。

從整體的結(jié)構(gòu)性而言，代表抽象代數(shù)中集合的單位元，涉及群環(huán)域等代數(shù)結(jié)構(gòu)。

從數(shù)學的特殊性而言，在算術(shù)上，是數(shù)量的多少；在幾何空間上，是各維度的度量尺度的大小；在運動時間上，是衡量前后、快慢和持續(xù)等時間度量的單位尺度長短。

……

上述諸般，構(gòu)成了“一”的種種視角?？梢娫跀?shù)學上，關(guān)于“一”的概念，至少含有以上意義。因此，數(shù)學發(fā)展到今天，“一”已經(jīng)是其中內(nèi)涵豐富、形式抽象、高度概括的基礎(chǔ)概念。