一米名師

學(xué)習(xí)幾何一定要建立模型，這樣在解決問題的時(shí)候，只需要往數(shù)學(xué)模型里面套就可以了。（文末有福利）

幾何模型建立

一米輔導(dǎo)：司凱

什么是模型？

通過主觀意識(shí)借助實(shí)體與虛擬表現(xiàn)、構(gòu)成客觀闡述形態(tài)、結(jié)構(gòu)的一種表達(dá)目的的物件（物件并不等于物體，不局限于實(shí)體與虛擬、不限于平面與立體）。

簡單的說，就是把幾何圖形幾何關(guān)系進(jìn)行歸納總結(jié)，選取相對(duì)簡單但是有代表性的圖形進(jìn)行記憶，幫助解題。

駝峰，左邊是一個(gè)駱駝，右邊是兩個(gè)三角形。三角形有什么特點(diǎn)的？大家可以看到圖中有三個(gè)角都是56°。數(shù)學(xué)名字叫：一線三等角模型。其實(shí)就是相似三角形的一種情況，也是比較難的一種圖形，駱駝的兩個(gè)駝峰是相似三角形，也就是△ADC和△BCE是相似三角形。

上圖就是一線三等角的模型，為什么說是三等角，是因?yàn)閯倓傄舱f了三個(gè)角是相等的，三個(gè)角相等就可以得出兩個(gè)三角形相似的結(jié)論。剛剛圖上的駱駝我們說它的角是56°，我故意給了一個(gè)不是特殊的一個(gè)角度，但是平時(shí)做題，老師不會(huì)給你一個(gè)78°、21°出這些比較一般的度數(shù)，一般出題老師都會(huì)給一些特殊的角度。因?yàn)樘厥獾慕嵌冗€可以牽扯到其他的知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用起來，就像上圖我給的三角圖形。

第一個(gè)是垂直的一線三等角，也就是∠B、∠D和∠ACE三個(gè)角都是直角，這樣我們就可以得到∠B和∠D相等，就可以先得到一組角相等了。∠ACB和∠ECD是互余角，加起來等于90°?！螮CD又和∠E是互余的，通過同角的余角相等這個(gè)概念，就可以得到∠ACB=∠E，也就得到兩組角相等，達(dá)到了相似三角形的一個(gè)判定條件。

第二種是等邊三角形，三個(gè)角都是60°，所以圖中∠ACE=60°，因?yàn)椤螧=60°、∠D=60°，它就符合一線三等角的模型了。

三等角的特點(diǎn)其實(shí)是很好記的，就是有一條直線，三個(gè)角相等的角的頂點(diǎn)都在這條直線上，然后它們的邊圍成的兩個(gè)三角形就是相似的。

最后一個(gè)三角形是一個(gè)等腰三角形，等邊對(duì)等角，兩個(gè)底角是相等的，∠B和∠D是相等的，如果再叫上∠ACE是相等∠B和∠D的話，同樣是等到一個(gè)一線三等角的模型。

所以說模型解題就是要記住這個(gè)模型，把一線三等角的模型記住之后就可以運(yùn)用起來了。

這道題的關(guān)鍵就在于∠APE=∠B，如果記住剛剛的三個(gè)模型我們就可以很快的知道∠APE=∠B=∠C的話，就會(huì)出現(xiàn)一線三等角，△ABP和△PCE是相似的，利用相似比，兩邊比例都相等可以來比出這個(gè)邊長。

用方程思想結(jié)合比例做出答案。

這個(gè)也是相似三角形，右邊是兩個(gè)三角形，要相似得滿足兩個(gè)條件，∠A要等于∠C或者滿足∠D等于∠B也是可以的，如果滿足這個(gè)條件的話，有因?yàn)椤螦ED和∠CEB是對(duì)頂角，那就可以得出結(jié)論：兩三角形是相似的。

假如在剛剛蝴蝶那種圖片結(jié)論成立的情況下，也就是這個(gè)蝴蝶已然成型，它已經(jīng)是相似的了，將它進(jìn)行一些變化。也就是蝴蝶翅膀的尖端連起來，尾端連起來，連接AC和DB，這樣會(huì)得到兩個(gè)新三角形，新三角形仍然是相似的。

把蝴蝶翅膀的兩邊進(jìn)行延長交于一點(diǎn)，又會(huì)產(chǎn)生一個(gè)新的相似，△FDC和△FBA，有一個(gè)公共角，∠A和∠C是相等的，所以是相似三角形。

這個(gè)也就是蝴蝶相似三角形的一個(gè)完全體，該連的線連起來，該延長的點(diǎn)延長就會(huì)出現(xiàn)很多種情況和很多的相似三角形。

DE·BC=BE·AC雖然沒有學(xué)過，但是可以把它轉(zhuǎn)化為DE∶AC=BE∶BC。

可以看到左邊是小手拉大手，右邊是一個(gè)小三角形和大三角線，輔助線連接EB和CD，可以得到兩個(gè)全等三角形△EAB和△DAC。原因是因?yàn)榈妊铮珹E=AD、AB=AC，兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的邊是相等的，夾角∠DAC和∠BAC是相等的。

以上是兩組特殊的情況，一般情況是：

這是是核心圖形。

正方形大家可以看看全等的三角形的輔助線添加法。

共圓圖形，它們有幾個(gè)點(diǎn)有一個(gè)公共的圓。這個(gè)知識(shí)可能很多同學(xué)都沒有聽過，有略微的超出我們學(xué)習(xí)的范圍。但是只要掌握了共圓可以解決一些復(fù)雜的題，可以更快解決，開闊眼際。

任意三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓。

接下來教大家怎么判斷是共圓。

現(xiàn)在來做一道例題：