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記得在高中做數(shù)學(xué)題時(shí)，經(jīng)常要求曲線的切線。見到形如之類的函數(shù)，不管三七二十一直接求導(dǎo)得到，這就是切線的斜率，然后就得到了處的切線。

上大學(xué)又學(xué)習(xí)了曲面切線和法向量的求法，求偏導(dǎo)是法向量，然后套公式求出切線。

一個經(jīng)典例子如下：

（來自web上某個《幾何應(yīng)用》ppt）

其中的向量n是F(x,y,z)的偏導(dǎo)數(shù)。

然而，這兩者求法看似無關(guān)啊，中求得的是切線，然而下面的求偏導(dǎo)后卻是法向量，為啥都是求導(dǎo)，差別這么大呢？切平面的方程為啥又是與法向量有關(guān)呢？

當(dāng)然這些問題的問答都可以通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)完成。這里想從更加直白的角度來說明道理。

首先，法向量（梯度）是F(X)（其中X={x0,x1,x2,…xn}是n維向量）對各個分量求偏導(dǎo)后的結(jié)果，代表了F(X)在各個方向的變化率，整個法向量就是F(X)在各個方向上變化率疊加出來的向量。如對于一維的F(x)=，在x上導(dǎo)數(shù)是2x，意味著在x方向上是以2x的速度變化，比如當(dāng)x=2時(shí)，F(xiàn)(x)變化率為4大于當(dāng)x=1時(shí)（變化率為2）的變化率，法向量的方向只能是x方向，因?yàn)镕(X)是一維。這里的F(X)稱為隱函數(shù)，如我們平時(shí)使用的使用隱函數(shù)就可以表示成F(x,y)=f(x)-y，這樣其實(shí)F(x,y)是二維的。至于為什么導(dǎo)數(shù)就是變化率，可以通過導(dǎo)數(shù)的定義就可以知道了（微小的dx變化引起多大的dy變化）。

那么我們明白了，隱函數(shù)F(X)的法向量就是F(X)對各個分量的偏導(dǎo)數(shù)的向量。那么為何中求得的是切線，而不是法向量？其實(shí)我們不能搞混了隱函數(shù)F(X)和。隱函數(shù)是一個函數(shù)，它的值根據(jù)X的取值不同而不同。而只是x和y之間滿足的約束關(guān)系，如建立x-y坐標(biāo)，兩者的約束關(guān)系可以通過圖形（直線、曲線等）來表示。比如我們可以用來表示一條拋物線，而且能夠在x-y坐標(biāo)系下畫出來。而換用隱函數(shù)表示就是F(x,y)=，只有當(dāng)F(x,y)等于一個給定值（比如0時(shí)），它才是一條拋物線，否則它只是一個函數(shù)，如果用z來代替F(x,y)，那么F(x,y)其實(shí)是一個曲面，維度上升了1。我們對F(x,y)求偏導(dǎo)后的結(jié)果其實(shí)就是F(x,y)的值z的變化率。

說明F(x,y)的值究竟將在(x,y)的小范圍能變化多少，這個變化率決定于x方向上的微小變換dx和y方向上微小變換dy的線性組合，而他們的系數(shù)就是偏導(dǎo)數(shù)。將dx和dy換成單位向量i和j就是法向量了。那么梯度也就反映了F(X)在某一點(diǎn)的變化率和變換方向。

說的有點(diǎn)繞口，簡而言之，對于一個隱函數(shù)F(X)，我們想知道在給定X附近F(X)的變化方向和大小。怎么去刻畫？由于X的各個方向（x0，x1，x2…xn）上變化速率和方向都不同（比如在x0上以平方級別變化，在x1上以線性方式變化，這個要根據(jù)具體的表達(dá)式了），而我們想知道他們疊加在一塊是怎么變化的。我們使用全微分公式（比如上面的，可以知道他們之間的疊加系數(shù)就是偏導(dǎo)數(shù)，疊加結(jié)果就是變化率，而方向就是x0，x1，x2…相應(yīng)的變化方向i，j，k…等線性組合得到的方向。

回到為什么“中求得的是切線”的問題，其實(shí)這是最終結(jié)論了，是推導(dǎo)出來的。第一步我們將寫成隱函數(shù)（這里的x，y都是實(shí)數(shù)了，上面的X是向量），。

然后求F對x的偏導(dǎo)得=

求F對y的偏導(dǎo)得-1。

即梯度是

由于切線和法向量是垂直的，因此切線和法向量內(nèi)積為0。

設(shè)切線方向向量為(m,n)，那么，即。

可見，切線斜率是。

回到上面藍(lán)色圖片中的曲面求切平面問題，求出某點(diǎn)的法向量后，在該點(diǎn)的切平面要滿足兩個條件，一是要過切點(diǎn)，而是要反映出該點(diǎn)的變化方向（這里不是該點(diǎn)F(X)值的變化方向，而是該點(diǎn)自己的變化方向）。然而該點(diǎn)的變化最終要反映出該點(diǎn)F(X)值的變化，也就是切平面的變化要反映出法向量的變化，而偏導(dǎo)數(shù)正是反映出了F(X)值的變化。因此切平面的偏導(dǎo)數(shù)與F(X)的偏導(dǎo)數(shù)是一樣的。我們從藍(lán)色圖片中看到，切平面正是利用了F(X)的偏導(dǎo)數(shù)。

有上面的全微分公式，我們可以更好地理解極值，為什么常說函數(shù)取得極值的時(shí)候?qū)?shù)為0呢。假設(shè)一維情況，吧，要求極小值，兩邊微分后得，當(dāng)x=0時(shí)，導(dǎo)數(shù)2x為0，取得極值。否則，如果x為正數(shù)，那么dx只需向左調(diào)整(dx<0)，就能使F(x)值變小，如果x為負(fù)數(shù)，那么dx只需向右調(diào)整（dx>0），就能使F(x)變小。因此最后調(diào)整結(jié)果是x=0。對于二維情況，

的值在計(jì)算后會有正負(fù)值，但我們應(yīng)該注意到dx可正可負(fù)，dy也可正可負(fù)，只要有一個不為0，那么通過調(diào)整dx，dy的正負(fù)號（也就是確定怎么移動x和y）就可以使的值變大變小。只有在偏導(dǎo)數(shù)都是0的情況下，無論如何調(diào)整dx和dy，都是0，取得極值。

以上只是一些個人淺顯理解，目的是建立感性認(rèn)識，會存在一些紕漏。