三角函數(shù)的性質(zhì)及三角恒等變形

 

概述：三角函數(shù)的基礎(chǔ)是平面幾何中的相似形與圓，但研究的方法是采用代數(shù)中函數(shù)的研究方法和代數(shù)運(yùn)算的方法，于是使三角函數(shù)成了聯(lián)系幾何和代數(shù)的橋梁，使它在幾何和代數(shù)中都能有所作為。這無(wú)疑使三角函數(shù)在復(fù)數(shù)、立體幾何和解析幾何中有著廣泛的應(yīng)用。

【考點(diǎn)梳理】

一、考試內(nèi)容

1.角的概念的推廣，弧度制。

2.任意角的三角函數(shù)、單位圓中的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、正弦、余弦的誘導(dǎo)公式。

3.兩角和與差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切。

4.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)、周期函數(shù)、函數(shù)y=Asin(ωx+)的圖像、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)、已知三角函數(shù)值求角。

5.余弦定理、正弦定理。利用余弦定理、正弦定理解斜三角形。

二、考試要求

1.理解任意角的概念、弧度制的意義，并能正確地進(jìn)行弧度和角度的換算。

2.掌握任意角的三角函數(shù)的定義，了解余切、正割、余割的定義，掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式，了解周期函數(shù)和最小正周期的意義，了解奇函數(shù)、偶函數(shù)的意義。

3.掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

4.能正確地運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明。5.了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y= Asin(ωx+)的簡(jiǎn)圖，理解A、ω、的物理意義。

6.會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)表示。

7.掌握余弦定理、正弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形。

（2005年考綱刪減知識(shí)點(diǎn)：“能利用計(jì)算器解決三角形的計(jì)算問(wèn)題”）

三、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：

【命題研究】

分析近五年的全國(guó)高考試題，有關(guān)三角函數(shù)的內(nèi)容平均每年有25分，約占17%，浙江省2004年高考試題這部分內(nèi)容有17分，占總分11.3%。試題的內(nèi)容主要有兩方面；其一是考查三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象變換；尤其是三角函數(shù)的最大值、最小值和周期，題型多為選擇題和填空題；其二是考查三角函數(shù)式的恒等變形，如利用有關(guān)公式求植，解決簡(jiǎn)單的綜合問(wèn)題，除了在填空題和選擇題中出現(xiàn)外，解答題的中檔題也經(jīng)常出現(xiàn)這方面的內(nèi)容，是高考命題的一個(gè)?？嫉幕A(chǔ)性的題型。其命題熱點(diǎn)是章節(jié)內(nèi)部的三角函數(shù)求值問(wèn)題，命題新趨勢(shì)是跨章節(jié)的學(xué)科綜合問(wèn)題。

數(shù)學(xué)試題的走勢(shì)，體現(xiàn)了新課標(biāo)的理念，突出了對(duì)創(chuàng)新能力的考查。

如：福建卷的第17題設(shè)函數(shù)

；

（2）若函數(shù)的圖象按向量平移后得到函數(shù)的圖象，求實(shí)數(shù)的值。此題“重視知識(shí)拓寬，開辟新領(lǐng)域”，將三角與向量知識(shí)交匯。

高考試題聯(lián)系現(xiàn)行新教材，如全國(guó)（2）卷中的第17題：已知銳角三角形中，（1）求證：；（2）設(shè)，求邊上的高，就與下列課本習(xí)題相接近，課本第一冊(cè)（下）第四章三角函數(shù)的小節(jié)與復(fù)習(xí)例2：已知，求的值。

【復(fù)習(xí)策略】

三角函數(shù)是傳統(tǒng)知識(shí)內(nèi)容中變化最大的一部分，新教材處理這一部分內(nèi)容時(shí)有明顯的降調(diào)傾向，突出“和、差、倍角公式”的作用，突出正、余弦函數(shù)的主體地位，加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，因此三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。第一輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn)應(yīng)放在課本知識(shí)的重現(xiàn)上，要注重抓基本知識(shí)點(diǎn)的落實(shí)、基本方法的再認(rèn)識(shí)和基本技能的掌握，力求系統(tǒng)化、條理化和網(wǎng)絡(luò)化，使之形成比較完整的知識(shí)體系；第二、三輪復(fù)習(xí)以基本綜合檢測(cè)題為載體，綜合試題在形式上要貼近高考試題，但不能上難度。當(dāng)然，這一部分知識(shí)最可能出現(xiàn)的是“結(jié)合實(shí)際，利用少許的三角變換（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的應(yīng)用）來(lái)考查三角函數(shù)性質(zhì)”的命題，難度以靈活掌握倍角的余弦公式的變式運(yùn)用為宜。由于三角解答題是基礎(chǔ)題、常規(guī)題，屬于容易題的范疇，因此，建議三角函數(shù)的復(fù)習(xí)應(yīng)控制在課本知識(shí)的范圍和難度上，這樣就能夠適應(yīng)未來(lái)高考命題趨勢(shì)?？傊呛瘮?shù)的復(fù)習(xí)應(yīng)立足基礎(chǔ)、加強(qiáng)訓(xùn)練、綜合應(yīng)用、提高能力。

解答三角高考題的一般策略：

（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”。

（2）尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)三角公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。

（3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)娜枪?，促使差異的轉(zhuǎn)化。

三角函數(shù)恒等變形的基本策略：

（1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos²θ+sin²θ=tanx·cotx=tan45°等。

（2）項(xiàng)的分拆與角的配湊。如分拆項(xiàng)：sin²x+2cos²x=(sin²x+cos²x)+cos²x=1+cos²x；配湊角：α=（α+β）－β，β=－等。

（3）降次，即二倍角公式降次。

（4）化弦（切）法。將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化成弦（切）。

（5）引入輔助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號(hào)確定，角的值由tan=確定。

 

第一課時(shí)

【典型例題分析與解答】

例1、

    分析：對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的目標(biāo)是：

    （1）次數(shù)盡可能低；

    （2）角盡可能少；

    （3）三角函數(shù)名稱盡可能統(tǒng)一；

    （4）項(xiàng)數(shù)盡可能少。

    觀察欲化簡(jiǎn)的式子發(fā)現(xiàn)：

    （1）次數(shù)為2（有降次的可能）；

    （2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化為α，2β化為β）；

    （3）函數(shù)名稱為正弦、余弦（可以利用平方關(guān)系進(jìn)行名稱的統(tǒng)一）；

    （4）共有3項(xiàng)（需要減少），由于側(cè)重角度不同，出發(fā)點(diǎn)不同，本題化簡(jiǎn)方法不止一種。

    解法一：

       

    解法二：（從“名”入手，異名化同名）

   

   

   

   

   

   

    解法三：（從“冪”入手，利用降冪公式先降次）

   

      

    解法四：（從“形”入手，利用配方法，先對(duì)二次項(xiàng)配方）

      

   

   

［注］在對(duì)三角式作變形時(shí)，以上四種方法，提供了四種變形的角度，這也是研究其他三角問(wèn)題時(shí)經(jīng)常要用的變形手法。

例2、已知函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，且b>0，又的最大值為，(1)求函數(shù) 的解析式；(2)由函數(shù)y=圖像經(jīng)過(guò)平移是否能得到一個(gè)奇函數(shù)y=的圖像？若能，請(qǐng)寫出平移的過(guò)程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：(1)，由題意，可得，解得，所以；

(2) ，將的圖像向上平移1個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，再向右平移單位得到的圖像，故將的圖像先向上平移1個(gè)單位，再向右平移單位就可以得到奇函數(shù)y=的圖像。

［注］本題考查的是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，其是高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容，應(yīng)于以重視。

例3、為使方程在內(nèi)有解，則的取值范圍是（　?。?/span>

   

   

    分析一：由方程形式，可把該方程采取換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)：設(shè)sinx=t，則原方程化為，且，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：若關(guān)于的一元二次方程在區(qū)間上有解，求的取值范圍，解法如下：

   

 

 分析二：

   

    解法如下：

   

    　

   

   

［注］換元法或方程思想也是高考考查的重點(diǎn)，尤其是計(jì)算型試題。

思維能力訓(xùn)練：

1、函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是（    ）

    A.                        B.

    C.                           D.

2、下列函數(shù)中，以為周期的函數(shù)是（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

3、已知是第三象限的角，若等于（    ）

    A.                      B.

    C.                           D.

4、已知，則以下選項(xiàng)正確的是（　?。?/span>

A.　　　B.

C. 　 　D.

5、函數(shù)以2為最小正周期，且能在x=2時(shí)取得最大值，則φ的一個(gè)值是（      ）

A、          B、          C、           D、

6、如圖，半徑為2的⊙M切直線AB于O點(diǎn)，射線OC從OA出發(fā)繞著O點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OB。旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，OC交⊙M于P，記∠PMO為x，弓形PnO的面積為，那么的圖象是（      ）

A、      　  　      B、       　　     C、      　         D、

7、。

8、如圖，一個(gè)半徑為10米的水輪按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)4圈，記水輪上的點(diǎn)P到水面的距離為米（P在水面下則為負(fù)數(shù)），則（米）與時(shí)間（秒）之間滿足關(guān)系式：，且當(dāng)P點(diǎn)從水面上浮現(xiàn)時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，有以下四個(gè)結(jié)論：；；；，則其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是　　　　　　　　。

9、已知函數(shù)，

(1)求函數(shù)的定義域、值域、最小正周期；

(2)判斷函數(shù)奇偶性。

10、（1）已知：，求證：；

（2）已知：，求：的值。

11、已知偶函數(shù)的最小值為0，求的最大值及此時(shí)x的集合。

 

第二課時(shí)

【典型例題分析與解答】

例1、已知向量，

(1)求的值；(2)若的值。

解：(1)因?yàn)?/span>

所以

又因?yàn)?/span>，所以，

即；

(2) ，

又因?yàn)?/span>，所以 ，

，所以，所以

點(diǎn)評(píng)　本小題主要考查平面向量的概念和計(jì)算，三角函數(shù)的恒等變換的基本技能，著重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．平面向量與三角函數(shù)結(jié)合是高考命題的一個(gè)新的亮點(diǎn)之一．

例2、已知向量，向量與向量的夾角為，且，

（1）求向量；

（2）若向量與向量的夾角為，向量，其中為的內(nèi)角，且依次成等差數(shù)列，求的取值范圍。

　　分析：本題的特色是將向量與三角知識(shí)綜合，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯性，這是高考命題的一個(gè)創(chuàng)新，也是高考命題的新趨勢(shì)，關(guān)聯(lián)三角形的三角解答題是高考命題又一個(gè)熱點(diǎn)。解答本題應(yīng)先翻譯向量語(yǔ)言，脫去向量語(yǔ)言的外衣，這時(shí)問(wèn)題（1）就轉(zhuǎn)化為解方程組問(wèn)題了，而問(wèn)題（2）就化歸為三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題了。

解：（1）設(shè)，由，有　?、?/span>

    向量與向量的夾角為，有，

，則　?、?/span>

由①、②解得：　

（2）由與垂直知，

由

若，則，

　　　?。?/span>，

，

例3　如圖，某園林單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花.若BC=a，∠ABC=，設(shè)△ABC的面積為S₁，正方形的面積為S₂．

（１）用a，表示S₁和S₂；

（２）當(dāng)a固定，變化時(shí)，求取最小值時(shí)的角．

解：（1）

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，則

（2）當(dāng)固定，變化時(shí)，

令  ，用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可以證明：函數(shù)在是減函數(shù)，于是當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)。

o

［注］三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，本題就是一個(gè)典型的范例。通過(guò)引入角度，將圖形的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為三角的符號(hào)語(yǔ)言，再將其轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)。三角函數(shù)的應(yīng)用性問(wèn)題是歷年高考命題的一個(gè)冷點(diǎn)，但在復(fù)習(xí)中應(yīng)引起足夠的關(guān)注。

思維能力訓(xùn)練：

1、  （　?。?/span>

　　A.2　　　　B.　　　　C.4　　　　D.

2、  給出下列的命題中，其中正確的個(gè)數(shù)是（　?。?/span>

（1）       存在實(shí)數(shù)α，使sinαcosα=1；

（2）       存在實(shí)數(shù)α，使sinα+cosα=；

（3）       是偶函數(shù)；

（4）       若α、β是第Ⅰ象限角，且α＞β，則tgα＞tgβ

（5）       在⊿ABC中A＞B是sjnA＞sinB的充要條件。

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4　

3、函數(shù)的值域?yàn)椋?/span>    ）

A.      B.      C.      D.

4、函數(shù)在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（　　）

A.　　　B.　　　C.　　　D.      

5、若點(diǎn)P在第一象限，則在［０，2］內(nèi)的取值范圍是（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

6、定義在R上的函數(shù)即是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)，，則的值為（　?。?/span>

　　A.　　　B. 　　　C. 　　　D.

7、給出問(wèn)題：已知中，滿足，試判定的形狀，某學(xué)生的解答如下：由條件可得：，去分母整理可得，。故是直角三角形。該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請(qǐng)將他的解題主要依據(jù)填在下面橫線上；若不正確，將正確的結(jié)果填在下面橫線上。　　　　　　　　　　　　　　　　

8、已知__________。

9、在中，角所對(duì)的邊分別為，且，

（1）求的值；

（2）若，求的最大值。

10、已知向量，其中是常數(shù)，且，函數(shù)的周期為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值1。

(1)求函數(shù)的解析式； (2)寫出的對(duì)稱軸，并證明之。

11、例2、如圖，足球比賽場(chǎng)的寬度為a米，球門寬為b米，在足球比賽中，甲方邊鋒沿球場(chǎng)邊線，帶球過(guò)人沿直線向前推進(jìn)。試問(wèn)：該邊鋒在距乙方底線多遠(yuǎn)時(shí)起腳射門可命中角正切值最大？（注：圖中表示乙方所守球門，所在直線為乙方底線，只考慮在同一平面上的情形）。

o

　　　　　

 

答案：

第一課時(shí)：1、A　2、D　3、A　4、A　5、A　6、A　7、8、（1）（2）（4）

9、解：(1)，

定義域：，值域?yàn)椋?/span>R，最小正周期為；

(2) ，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以為奇函數(shù)。

10、解：（1）

（2）

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

11、解：

        ，因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，

所以，對(duì)，有，即

，

亦即，所以，由，

解得，此時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，最大值為0，不合題意，

當(dāng)時(shí)，，最小值為0，

當(dāng)時(shí)，由最大值，此時(shí)自變量x的集合為：。

 

第二課時(shí)：1、D　2、B　3、B　4、D　5、B　6、D　7、不正確，直角三角形或等腰三角形　8、

9、解：（1）

（2）

　　　，又，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故的最大值是。

10、解：(1) ，

由周期為且最大值為1，所以由，

所以；

(2)由(1)知，令，解得對(duì)稱軸方程為，

，所以是的對(duì)稱軸。

11、解：以L為x軸，D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則根據(jù)對(duì)稱性有由此可知定點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，記，且，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大，

，故該邊鋒在距乙方底線時(shí)起腳射門可命中角的正切值最大。