下面講講牛頓和微積分的故事吧.

牛頓在他1669年寫的《運(yùn)用無限多項(xiàng)方程的分析》（不過這篇論文直到1711年才發(fā)布）中第一次提及微積分. 在這篇論文中，他沒有明顯的采用流數(shù)法的記法或觀念，采用了面積的無限小矩形或“瞬”的思想，找到了曲線求積的方法. 在這里，牛頓給出了求一個(gè)變量對(duì)于另一個(gè)變量的瞬時(shí)變化率的普遍方法，而且證明了面積可以由求變化率的逆過程得到，因?yàn)槊娣e也是用無窮小面積的和來表示從而獲得的，這個(gè)事實(shí)其實(shí)就是微積分基本定理. 但是正如他自己說他的方法“與其說是精確的證明，不如說是簡(jiǎn)短的說明”.

而在他1671年寫的《流數(shù)法與無窮級(jí)數(shù)》（這個(gè)1736年才發(fā)表），這里他引進(jìn)了他獨(dú)特的記法個(gè)概念.他把他的變量看作由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)所生成的，而不是無限小單元的集合.他稱變量為流（fluent），而變量的變化率叫流數(shù)（fluxion），在字母上標(biāo)上一個(gè)點(diǎn)來表示。例如，假設(shè)和是流量，則它們的流數(shù)是和，而和的流數(shù)就是和. 如果是個(gè)無限小的時(shí)間，那么和就是變量和的無限小增量或者瞬. 在這些書里對(duì)于和的對(duì)于時(shí)間的流數(shù)和卻沒有真正定義過.

在寫于1676年發(fā)表與1704年的第三篇微積分論文《求曲邊形的面積》中，他放棄了無窮小量，他認(rèn)為數(shù)學(xué)的量并不是由非常小的部分組成的，而應(yīng)該用連續(xù)的運(yùn)動(dòng)來描繪. 在這篇文章里他提出了一個(gè)新的概念“最終變化率（有些書翻譯成“最初增量的最終比”，沒有找到原版書），舉個(gè)例子就能理解這個(gè)了，考慮，要求它的流數(shù)，代替，就有了
,
而和增量的比，即和的比就是 ，也就是，讓接近于0——讓它消失，比值就是，牛頓叫它最終變化率.

他的第一本包括他的微積分的書是他的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》（1687年出版），之前提到的論文都是在這本后才發(fā)表的. 他應(yīng)該也覺得理解無限小這個(gè)觀點(diǎn)很困難，在他的進(jìn)一步的敘述中時(shí)這樣說的：“消失量的最終比嚴(yán)格地說并不是最終量的比，而是這些量無限減小時(shí)他們之比所趨近的極限，并且雖然它們能比任何給定的無論什么差值都接近于它，但在這些量無限減小之前，即不能超過也不能達(dá)到它. ”【看完這個(gè)我的表情是這樣的(°ー°〃)】總之，牛頓給出了它的三個(gè)解釋方法，一個(gè)是用無限小的，一個(gè)是用流數(shù)的，還有一個(gè)是用最初與最終比或極限的（這個(gè)是他認(rèn)為的最嚴(yán)密的觀點(diǎn)）

而且在《自然哲學(xué)原理中》他還承認(rèn)過萊布尼茲在考慮量的生成時(shí)也有類似的方法，不過這個(gè)在第三版里被刪去了……

牛頓和微積分的故事就講到這里，接下來說說牛頓和萊布尼茲，關(guān)于微積分，至于是不是獨(dú)立的還是合作的我不多做評(píng)價(jià)，當(dāng)時(shí)造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國(guó)數(shù)學(xué)家的長(zhǎng)期對(duì)立的影響還是蠻大的……反正你們不是說牛頓萊布尼茲公式是“以我之名冠你之姓”嘛（其實(shí)……這么說的話瑞士數(shù)學(xué)家法蒂奧.德.杜利爾……嗯……）呃，我們……回來……

首先，他倆都算術(shù)化了微積分，也就是在代數(shù)的概念上建立了微積分，他們使用的代數(shù)記號(hào)和方法，不僅給他們提供了比幾何更為有效的工具，還允許了許多不同的幾何和物理問題用同樣的方法出來。他們把關(guān)于速率、切線、最大值最小值以及求和這些問題都?xì)w結(jié)為微分和反微分。

對(duì)于，兩人不同的地方. 牛頓是把和的無窮小增量作為求流數(shù)或?qū)?shù)的手段，當(dāng)增量越來越小的時(shí)候，流數(shù)就是增量的比的極限。而萊布尼茲卻直接用和的無窮小增量（即微分）求出它們之間的關(guān)系. 這個(gè)差別反應(yīng)了牛頓的物理方向和萊布尼茲的哲學(xué)方向.在物理方向中，速度之類是中心的概念，而哲學(xué)則著眼于物質(zhì)的最終的微粒.

所以，牛頓是從考慮變化率出發(fā)解決面積和體積問題的，對(duì)他來說，微分是基礎(chǔ)，這個(gè)過程和它的逆解決了所有的微積分問題，相反萊布尼茲首先想到的是和，當(dāng)然這些和仍然是用反微分計(jì)算的.

對(duì)于函數(shù)的表示，牛頓自由的用級(jí)數(shù)表示函數(shù)，而萊布尼茲寧愿用有限的形式.
牛頓是經(jīng)驗(yàn)的、具體的和謹(jǐn)慎的，而萊布尼茲是富于想象的、喜歡推廣的而且是大膽的.萊布尼茲更關(guān)心的是用運(yùn)算公式創(chuàng)造出廣泛意義下的微積分，是他建立了微積分的規(guī)范，即法則和公式的系統(tǒng).

對(duì)于無窮小的認(rèn)識(shí)，牛頓的無窮小不分階，萊布尼茲將無窮小分階.

最后就是對(duì)于記號(hào)的表示，萊布尼茲的符號(hào)比較先進(jìn)，為后人沿用至今。

最后，用這句話來結(jié)束吧——當(dāng)巨人的哲學(xué)沉思變成科學(xué)的結(jié)論時(shí)，對(duì)科學(xué)發(fā)展的影響是深遠(yuǎn)的。