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小伙伴們，馬上就要期末考試?yán)?！相信在你們?dāng)中，有很多小朋友即將或者已經(jīng)開始接觸了數(shù)學(xué)中一個重要的門類：幾何學(xué)。從簡單地計算長方形、正方形、圓的面積，再到一些簡單定理的證明，這些都可能出現(xiàn)在你期末考試的試題中。未來在初中或者高中，小朋友們還將會接觸到更加復(fù)雜的平面幾何。 在幾何學(xué)，一個重要的任務(wù)就是運用公理、定理，對未知命題進行證明。那么，小編首先要問各位小朋友，你們知道公理、定理、命題它們在內(nèi)在含義上的區(qū)別嗎？不知道這個，你就算幾何考了100分其實也沒學(xué)懂。 公理，通常指經(jīng)過人類長期反復(fù)實踐的考驗，不需要再加證明的命題 定理，是經(jīng)過受邏輯限制的證明為真的陳述。一般來說，在數(shù)學(xué)中，只有重要的陳述才叫定理。這一點也是定理和命題的區(qū)別。在數(shù)學(xué)里，定理是指在既有命題的基礎(chǔ)上證明出來的命題，這些既有命題可以是公理，或者是別的定理。 也許有的小朋友們會問，我們所學(xué)習(xí)的平面幾何有哪些公理呢？通常來講，小朋友們一般在課本上學(xué)習(xí)的指按照歐幾里得的《幾何原本》構(gòu)造的幾何學(xué)，也稱歐幾里得幾何。在這個歐幾里得平面幾何的體系下，公理只有下面這5條： 其中，第五條公理稱為平行公理。也許有的小朋友們對它還有些陌生，其實，它也可以用下面這個命題表述： 通過一個不在直線上的點，有且僅有一條不與該直線相交的直線。
怎么樣，這個表述是不是小朋友們還是挺熟悉的？上面這五條公理，就構(gòu)建了我們所熟悉的平面幾何大廈。換句話說，小朋友們在書本上遇到的所有平面幾何的證明題，邏輯的原點都是來源于這五條公理。 這五條公理的巧妙之處在于，它們既不互相矛盾，又不能相互證明。在這個體系下，一切命題的證偽都能夠運用這五條公理證實或者證偽。從歐幾里得提出這五條公理，到最終數(shù)學(xué)家們承認(rèn)結(jié)論的正確性，整整經(jīng)歷了將近2000年的時間。這五條公理就像五個定海神針，靜靜地矗立在幾何學(xué)的大廈中，讓世人感受著數(shù)學(xué)的無窮魅力······
當(dāng)然，除了小朋友們熟悉的歐幾里得幾何學(xué)之外，其實還存在著很多非歐幾何體系，它們主要是對歐幾里得幾何學(xué)中的第五條公理進行了修改，比如黎曼幾何、高斯幾何、羅巴切夫斯基幾何等等——它們也都是數(shù)學(xué)這個浩瀚宇宙中璀璨的明星。我們所知道的愛因斯坦的相對論，就在一定程度上借鑒了黎曼幾何在n維空間中的結(jié)論。 回到我們最初的起點，公理到底是什么？其實，它只不過是我們?nèi)藶樵O(shè)定的一些游戲規(guī)則——就好像我們下棋規(guī)定馬走日、相走田一樣。你當(dāng)然可以規(guī)定其他的走子方法，只不過，你的這套走子方法是不是在邏輯上更加完美，就得在歷史長河中留待后人的檢驗了。 石桌面上刻著縱橫相錯的網(wǎng)格，旁邊擺放著黑白兩種顏色的棋子。你認(rèn)為這一定是為下圍棋準(zhǔn)備的么？未必，可以下圍棋，還可以下五子棋。 圍棋和五子棋最大的區(qū)別并不在于棋具，而是走棋的規(guī)則。同樣的棋具，人們可以根據(jù)自己的興趣愛好選擇規(guī)則，進入完全不同的棋類世界。 人人都可以發(fā)明創(chuàng)造新的棋類游戲，規(guī)則的制定，當(dāng)然可以由你說了算。但你發(fā)明的新游戲，是否吸引人,有人愿意玩，這可得由社會實踐來檢驗了。 ------摘自 張景中 彭翕成 《數(shù)學(xué)哲學(xué)》 換個角度來看，當(dāng)某些東西，經(jīng)過了歷史的沖刷，我們依然能夠感受到它的無窮魅力，你不覺得，我們真的應(yīng)該用心去感受它們嗎？ |
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