“直覺”(Intuition)一詞實際上有許多種用法。有時它指感性直觀，即可見的，靠感官可直接把握的東西；有時它指非邏輯的，力圖直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)的思考。直覺有時意味著不夠嚴格，不完全；有時意味著對現(xiàn)實原型的信賴，意味著一種籠統(tǒng)的、綜合性的整體判斷。還有些時候，直覺只是被理解為“頓悟”，理解為靈感的閃現(xiàn)。這個詞的用法如此之多，以至于我們不得不明確指在我們的理解。 
    

在這里，我們認為直覺指的是對事物本質(zhì)的直接領(lǐng)悟或洞察。數(shù)學(xué)直覺就是對于數(shù)學(xué)對象事物(結(jié)構(gòu)及其聯(lián)系)的某種直接領(lǐng)悟或洞察。這是一種不包含普通邏輯推理過程(但可能包含著“含情推理”形式)的直接悟性，屬于非形式邏輯的思維活動范疇。直覺有時以“頓悟”的形式表現(xiàn)出來，但直覺不全是頓悟，有時直覺也以漸悟的形式表現(xiàn)出來。那么，“直覺”和我們前面討論的“想象”有何區(qū)別呢?為什么說較為復(fù)雜的想象已進入了直覺領(lǐng)域呢?這就需要考察直覺思維的基本特點，從中看出這種思維形式與數(shù)學(xué)想象和數(shù)學(xué)猜測的區(qū)別與聯(lián)系。 
    

數(shù)學(xué)直覺思維總的說來有以下幾個基本特點： 
    

第一，非邏輯性。

數(shù)學(xué)直覺的產(chǎn)生是不能用普通形式邏輯的推演解釋清楚的。龐卡萊說：“搞算術(shù)，就如搞幾何，或搞任何別的科學(xué)，需要某種與純邏輯不同的東西。為了表述這個某種東西，我們沒有更好的字眼，只能用‘直覺’一詞”。就是說，直覺是“從事科學(xué)發(fā)現(xiàn)所需要的與純邏輯不同的某種東西”。為什么科學(xué)發(fā)現(xiàn)需要這種不同于純邏輯的東西呢?因為在探索未知世界規(guī)律的過程中，人們的主觀認識同客觀規(guī)律之問需要經(jīng)過多次帶有很大偶然性的相互作用才能彼此相符，這中間有機遇，有潛在的經(jīng)驗和技巧，有來自書本上或和別人談話中的啟示，有思維過程中“觀念原子”千變?nèi)f化的分離與組合。所有這些都不是用嚴格的形式邏輯推演能表達清楚的。能夠用邏輯語言描述的數(shù)學(xué)思維活動，只是整個數(shù)學(xué)思維活動中很小的一部分。數(shù)學(xué)的猜測和想象實際上已經(jīng)具有一定程度的非邏輯性，但總還保存某些邏輯思維成分。猜測和想象的形成與展開要部分借助邏輯思維提供的線索或框架。如果數(shù)學(xué)思維中非邏輯性極強，邏輯思維成分極弱，那就是我們所說的直覺思維了。我們前面說過，數(shù)學(xué)形象思維中的數(shù)覺和數(shù)學(xué)觀念的直覺已進入直覺思維領(lǐng)域，就是這個意思。越是復(fù)雜的數(shù)學(xué)想象，越少邏輯性。在邏輯語言無能為力的地方，只能以“直覺”一言以蔽之。直覺看來很神秘，其實它不是人們創(chuàng)造性思維活動的一個真實方面。 

第二，自發(fā)性。

數(shù)學(xué)直覺的產(chǎn)生往往是下意識的(或者說是無意識的)。它有時在朦朧中逐漸涌現(xiàn)，有時如閃電一般突然誕生。無論取漸悟還是頓悟的形式，都是事先未曾料到，不知不覺之中即已獲得。英國數(shù)學(xué)家哈密爾頓在回憶自己發(fā)現(xiàn)四元數(shù)的經(jīng)過時說到，當他和他的妻子步行去都柏林途中來到勃洛翰橋上時，思想的電路突然接通了，從中落下的火花就是i、j、k之間的基本方程。龐卡萊也曾有過類似經(jīng)歷。他在進行了一般數(shù)學(xué)研究之后去鄉(xiāng)間旅行，打算放松一下，不再去想工作了。他說：“我的腳剛踏上剎車板，突然想到一種設(shè)想……我用來定義富克斯函數(shù)的變換方法同非歐幾何的變換方法是完全一樣的?！边@種突如其來的直覺并不是憑空得來的，而是經(jīng)過長時間苦心思索之后的產(chǎn)物。人們常稱這種直覺為“靈感”，其實，“靈感”是需要經(jīng)過充分醞釀的，是要經(jīng)過下意識的緊張活動積累起思想基礎(chǔ)的，否則就不會有什么靈氣。為什么人們長期鉆研而求之不得，一旦思想放松轉(zhuǎn)入下意識狀態(tài)，反而以直覺形式取得突破呢?因為過度的形式邏輯推演往往是限制人們思路的，使人們在舊理論的框架里兜圈子，找不到新思路。適當?shù)姆潘墒顾悸房梢暂p松自由地舒展。雖然是在下意識狀態(tài)，卻容易接近正確的途徑，取得重大突破。當然，直覺的自發(fā)性要同邏輯思維的自覺性相配合。如果事先沒有通過邏輯思維接近關(guān)鍵性觀念的邊緣，使人們有可能利用下意識取得突破，那么靈感或頓悟是永遠不會出現(xiàn)的。 

第三，富于情感的作用。

這里所說的情感作用，指的是獲得直覺的激情和對直覺的強烈信念。在數(shù)學(xué)猜測與數(shù)學(xué)想象中，或多或少也有情感的作用。但在直覺思維過程中，情感作用得到了充分發(fā)揮，達到登峰造極的地步。一般說來，直覺的產(chǎn)生前后大體上有這樣一些情感變化。直覺產(chǎn)生之前，情緒躁動不安，對某個問題長時問思索而得不到解決，欲罷不能，欲進無路，就很容易產(chǎn)生這種情緒。等到直覺出現(xiàn)時，令人十分驚喜，甚至感到有些神志恍惚，仿佛“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”，有一種明顯的解脫感。然后，就是情緒極度高漲，對所獲得的直覺認識執(zhí)著地相信，并以此為基礎(chǔ)連續(xù)工作很長時間毫無倦意。愛因斯坦就曾敘述過自己的這種心態(tài)。他說到獲得靈感后撰寫相對論的第一篇論文時說：“這幾個星期里，我在自己身上觀察到各種精神失?，F(xiàn)象。我好像處在狂態(tài)里一樣。”他還說：“在最后突破、豁然開朗之前，那在黑暗中對感覺到了卻又不能表達出來的真理進行探索的年月，那強烈的愿望，以及那種時而充滿信心，時而擔憂疑慮的心情——所有這一切，只有親身經(jīng)歷過的人才能體會?！?/span>

數(shù)學(xué)直覺思維的上述特點，在較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)想象中都有所表現(xiàn)。因此，在許多場合，數(shù)學(xué)家們往往把二者混用。也有人認為形象思維本身就是數(shù)學(xué)直覺思維的一個特點。就數(shù)學(xué)直覺的漸悟形式來說，這個特點是明顯的。但就數(shù)學(xué)直覺的頓悟形式(或者說“靈感”)而言，很難說有一個較明顯的形象思維過程。因為頓悟是瞬問發(fā)生的，是一種思想上的飛躍。其中是否曾有形象思維的作用，至少現(xiàn)在還弄不清楚。這是一個有待深入研究的問題。 
    

還有些人以為，直覺思維是一種非理性的思維活動，非理性也可看作數(shù)學(xué)直覺思維的一個特點。這種觀點是不妥的。盡管數(shù)學(xué)直覺具有非邏輯性、自發(fā)性和情感作用等特點，但它并不是完全無規(guī)律可循的。數(shù)學(xué)家們通過長期的實踐，已逐漸形成獲得數(shù)學(xué)直覺的若干指導(dǎo)性原則，如簡單性、統(tǒng)一性、對稱性、美學(xué)標準，等等，其具體內(nèi)容我們后面還要專門分析。這些原則都是可以從科學(xué)認識過程的合理性角度加以闡述的，它們在更深的理論層次上反映了數(shù)學(xué)的一些基本特性，反映了數(shù)學(xué)各分支之間本質(zhì)上的有機聯(lián)系。數(shù)學(xué)直覺是在這些原則的指導(dǎo)下，通過自覺或不自覺的思維過程逐漸產(chǎn)生的。因而它們并不是非理性的、不可解釋的神秘的東西。在某種意義上倒可以說，直覺思維包含辯證思維的某些因素，它超越了形式邏輯推演的框架，不自覺地運用了辯證邏輯的推理模式，從而導(dǎo)致了一些重要的科學(xué)發(fā)現(xiàn)。當然，直覺思維還不等于辯證思維。但是在直覺思維的深層結(jié)構(gòu)和活動過程中，有可能蘊藏著遠遠超出目前人們對辯證邏輯所了解的內(nèi)容。這是一個很值得繼續(xù)發(fā)掘的寶庫。

摘自《數(shù)學(xué)與思維》