上期的文章中，主要闡述了什么是奧數基本功；接到了讀者的提問，我經過不斷整合之后，本期大致將觀點如下進行論證，希望能在被賽季有所助力。

首先，我們必須界定刷題的含義。如果只是把題目做一遍，除非能基本全部做出，對這類人，做題就稱之為刷題。所以，可以宣稱不刷。

對于多數人而言，一直存在這樣的現(xiàn)象，刷題的目的是為了滿足一個心理定位，市面上有某花，某引，某精，某心，一定要都做過才能安心。這也是一直以來，學校里的優(yōu)等生必犯的毛病，有那么一類學生一定要把尚未學習的章節(jié)提前做掉，這種精神是值得鼓勵的。在這背后，不得不深思的是思想動因：這樣做到底是學有余力還是真的只是希冀下一次作業(yè)少一點？

這樣的心理，其實與熱衷于多刷幾本書的心態(tài)類似。簡而言之，是在追求一定的量，對于質的問題可能是忽略的。速度和準確率歷來是一個互相博弈的點，本身就是矛盾的；很難兼顧。所以，我對于刷題的界定是，如果對于一名家長，僅僅是想實現(xiàn)陪讀的夢想，大可以走馬觀花的刷，觀其大略即可?；局酪恍╊}目的做法，能看懂足矣。

但是，要想固化基本功，在量上的追求是很可怕的。時間不夠，也不必要。每一道題目的完成，都意味著要檢查自己的能力，窺測背后的原理。但窺測原理不是一日之功。

所以，我往往把刷題分為如下幾塊，僅僅是我個人的經驗和主觀認知，供參考：首先，本來就會做的題目，走馬觀花過一遍即可，在一定會做的基礎上還要反復過濾，這幾乎沒有提高，當然，可能產生熟練度，在考試中遇到原題，自然能直接秒殺。

但這種幾率很小，而且，容易因為經驗主義而出事，原題改動一個數據或者關鍵詞，就會呈現(xiàn)出天壤之別；所以，站在競賽的角度這是不利的；另外一方面，對于本來的水平幾乎不產生影響，更像是浪費時間。

但是，我們不要忘記了一個問題：競賽基本功之最基本的有兩樣，計算和枚舉。其實，枚舉不應該作為基本功的代名詞，但在競賽或者普通的考試中，卻是非用不可的方法。藏拙于巧，大巧若拙；這對于慣用巧法的娃尤其要注意，巧不是所有時刻都好用的，在1963年IMO試題第6題，就直接使用了強行枚舉的方式。至于計算題，某些數學題到了最后，計算總數之類的問題，總還是要計算的；那么，如果因為不小心算錯，當真是為山九仞，功虧一簣。

類似這種考察最最最基本能力的問題，我們最好的方式，就是安安心心坐下來，挑出那么幾道很有代表性的問題，踏踏實實一個個去做，直到能夠完全獨立做出就可以了。計算沒有粗心不粗心的說法，其實就是不扎實；遇到犯錯沒有太當回事，以至于后來的重復刷題在重復放大本來的錯誤。樓主當年參加聯(lián)賽之前，組合題目的計算死活會把6！=120去算，這個毛病校正了無數次總算改掉。

這類題做得太多也全無必要；比如，簡單的雞兔同籠問題，如果換成了龜兔，做上100道只不過是在重復工作，這樣的刷題沒有價值。另外一方面，明確幾件事，聽懂和獨立會做是兩回事；獨立會做和能夠完全講給別人聽，也是兩回事。如果有人問娃題目，要支持他去給別人剖析，不要覺得這是浪費時間，其實，給別人講才是最最最快的學習方法。

小錯誤，其實比大錯誤更有殺傷力，因為你可能以為你已經懂了，但總會在你沒有防備的時候再次出錯。絆倒我們的其實不是石頭，可能是一粒沙。

對于題目的研究；我們多數人是通過以刷代學的方式。這樣做是正常的是，有個難以逃避的事實，沒有系統(tǒng)學習本節(jié)習題需要的理論就開始做題，效果不好且不說。而且，容易造成一種假象：這題我做的不是很順手，還是看答案吧。

讓我想起了一句老話：磨刀不誤砍柴工。既然要刷題，其實是期待速度與質量并行的。那么，如果在每次做題之前，能夠研讀本節(jié)的綱要和老師講過的內容，然后再做題，效果不會差。

表面上是浪費時間的，但到了中后期，速度其實是會上去的；我們不能為了完成任務而趕任務，那樣的學習態(tài)度很可能造就我之前說的“看題”，而不是刷題。

最難的地方其實就是在處理難題上；難題是一定要研究的。對于底子不是很好的娃，可以暫時放一放研究這種高大上的東西，可以先看懂，然后放過；但是短期的放過不是永久的放過，隔那么幾天再拿出來看看、演算一下，慢慢看就有感覺了，幾何的幾大模型尤其如此。

絕大多數人的記憶和學習也都在經驗基礎上，不可能空中閣樓。所以，需要對這些難的東西反復推演，到了一定的時刻，就會有不一樣的發(fā)現(xiàn)；而對于掌握程度較好的孩子，不要輕視老師或者教材上的例題、知識點，隨便挑一道經典的教材，很容易發(fā)現(xiàn)，例題與知識點的布局尤其清晰，解析選題都有代表性，否則不可能成為流傳已久的經典。如果忽略了這一部分的理論支撐和基本模型的拆解，直接刷課后習題，很容易走彎路。

最難處理的就是中高難度的題目，這類題目的主要特點是，似懂非懂。如果自己做，也不能完全做出；要說一點不會，那也不是。比如小學階段的幾何題，基本是以幾大模型為主，然后做輔助線、拼圖；甚至做法就是唯一的，哪怕不是唯一的，幾種解法基本圍繞一個思想在處理。

比較尷尬的事情出現(xiàn)了，自己也考慮到去利用模型、做輔助線，但是，總存在差別。做這樣的題目，面臨最大的瓶頸就是，我沒見過，我可能就無法做出來。

要解決這樣的困境，其實就是我們要實現(xiàn)的目標——舉一反三。舉一反三的基礎是你心里要明確什么是“一”，看到“三”，你知道那是“一”。

綜上，刷題解決的往往是兩部分問題：考驗最基礎能力的熟練度，例如計算和枚舉，以及常識，比如十個人之間有九個空位置；另一類就是似懂非懂的題目。對于一部分人，精于研究題目，不面臨后面一種情形，以至于我們覺得不必刷題，實際上是他不走“形式刷題路線”。

對于多數必須走形式路線的人，主要的目標是：不要在基本會做的題目上迂回，浪費時間；這是為了提醒一部分家長，偏偏有會做的題不刷心理不安的情況，這樣做無異于耽誤時間；另一大目標則是把中難度題徹底搞懂，下面就要談到這個問題。對于太難的問題，不要求一定獨立做出，但做到看得懂，沒事拿出來欣賞一下，足矣。

錯題本這個詞誕生有些年頭了。隨之而來的還有精題本、難題本等等。這猶如小學奧數一樣，它叫競賽也好，叫培優(yōu)也罷；該是什么還是什么。

花頭不必在意，形式不必拘泥，只要做到幾點：1.難的題要搜集，這類題可能第二次見也會錯；2.經典的題必須搜集，尤其是中高難度；3.做錯的題選擇性的搜集。

針對第一、二類，不必多說，因為這些題往往成為考試中拉開距離的題目，尤其是第二類，因為某一類數學題的解決涉及到模型的建立，只有參透經典中的模型和框架，才可能舉一反三，那我們只有在熟悉基礎知識點之上，以刷代學、以考代練。

第三類題目，重在“錯”字，其實這涉及到一個辯證思維：人在成長過程中，逆境里的成長和突圍遠遠超越順境；我們可能更容易在成功的場合微笑，記住的卻是挫折里的哭泣。

因為它痛，我們才能記住。比如6！=120讓我在一次重要的考試中失去了獨占鰲頭的機會，以至于時不時會想起來。我們針對錯題本中的題目，要進行不斷的點評：難題要點評難點，經典題要點評如此做的原因，也就是模型的推出和套路的拆解；錯題怎么辦？寫上錯因。

比如，這題錯在誤以為6！=120，大大的紅字會讓我每次看到這里就會痛，每次閑著無事就會去看自己曾經犯過的錯，久而久之，甚至在開考前我已經在演草紙上默寫，我可能會犯如下錯誤等等等，檢查的時候遇到排列組合和階層計算，就會格外注意，錯誤率就大大降低了。

錯題本只是形式，更主要的本質是你有了一個很好的習慣，知道自己擅長什么；哪些地方薄弱，哪些地方容易錯。至于，你非得把錯題整理在某本書上，用貼紙附錄；還是你要買個筆記簿，或者一摞A4，這只取決于個人愛好。錯題本要成為搜集、學習題目的本質，而不是一個掛在嘴邊的名詞就夠了。

對于某一部分人，不必刷題；這是因為他們滿足了會做，則不需要重復，用學習的方式替代了刷；但絕大多數人，還是要靠刷去代替學習。

知十不如精一，不必拘泥于市場上一定要刷哪套，或者哪一套一定更好；最好去問一下自己娃的老師，選擇相對合理的一套，因為老師更了解孩子；樓主在這里就不再推薦了。

對于中高難度的題目，刷題的要求在于：一定要做到最后完全脫離工具書，自己能夠獨立做出，才算放過。

因為，對于新生題目的解答，存在兩種盲點：一，知識盲點；二，技巧盲點。知識盲點在于，根本就不知道什么是勾股弦圖，那就不談使用弦圖解題；技巧盲點則是套路盲點，沒有遇到這類題之前，我確實不會做；學過了才可能會做。前一種題目，要重理論基礎；后一種題目，是靠自己思考、解析，然后對比參考答案得到。

后一種尤其辛苦，因為奧數證書的功利化，迫使我們必須要急著刷完；那么就會導致，三五分鐘遇到一個題不會做就必然放棄。這對于挖掘能力上限是有局限性的，因為這樣做意味著，淺度的思考；也許再深入的思考，也未必是正確答案，但對比自己做法的方向和標答的差別，才更可能明白答案那么做的原因；因此，五分鐘就放棄思考本來就不是合理的刷題方法。

另外一方面，思考的態(tài)度容易生成習慣，對一些即便學的還不錯的人，刷題容易犯一個毛?。阂贿厡χ鸢?，一邊演算；在推理、計算的過程中，會覺得自己好像也懂的，這個比較容易，那個自己也會，造這就是眼高手低。最大的悲劇就是，明明這個題看過，見過；考試就不會了！因為這個知識點和這個套路、方法并沒有完全為自己所吸收，只是完整的過了一遍而已。

這恰恰是很多人在刷題時不由自主進入的狀態(tài)；另外一方面，我們要盡可能向上挖掘自己多角度的思考，這道題用自己的方法無法做對，下次同等套路的題便可以考慮舍棄，另外，窺測問題的本質也意味著識破為什么要這樣做，為什么不可以那樣做。

思維懶惰是可以形成習慣的，如果每個題都是看五分鐘就放棄，以后遇見新題就根本不思考了，只因為：這題我沒見過；那么，數學學習的路只會越來越窄。

最好的方法和程序，我推薦如下：不管是教輔還是輔導班講義，拿到題目都獨立做一遍；如果存在知識盲點必須先復習知識點。不會做的題，最后處理，如果不會做，再對比課本上的知識點、例題，看看有沒有什么思路。實在是做不出來了，這時候才選擇看參考答案，對著答案認真推演，然后思考，用了哪些知識點；使用這個知識點的原因和根本，也就是數學原理或者模型選取的本源。

徹底想明白之后，自己獨立再做；真正能夠做懂，那就把它放到你的錯題本上去，在錯題本上自己獨立做出了，就可以結束了。

表面上來看，這很浪費時間；但學習的過程，前期這種浪費時間的事，非做不可；到了后期，準確率和速度都會上去。

這就如同文言文的學習，前期一篇篇的翻譯的確很痛苦，錯的也很痛苦；但熬過去了就好多了。這需要恒心，信心和耐心。

縱向刷指得是，能力達到了，要升級；橫向刷指得是，既然能力已經具備，可以反復刷增加熟練度。

前一種適用于學習能力和模仿能力比較強的娃，因為在縱向刷題的過程中，難免要遇到以前的知識點，不清楚的話可以回去查。

也因此能夠知道自己以前有哪一塊沒有學好，但劣勢在于，因為對于新知識的陌生性，可能會出現(xiàn)應對不了的情況；在自己的意識里可能會對某一類知識點形成固有的恐懼，這種思維定勢同時可能影響新問題的視角。

但好處在于，奧數本來就是要盡可能使用低年級工具解決更復雜的問題，如果聽說誰誰誰用了微積分（比如求導）處理低年級極值問題，那這樣的捷徑才真的是在封閉數學學習。

對于橫向刷，是為了刷熟練度；也容易檢驗處自己哪一塊還不是真的掌握了。早點越級修煉可以讓你對比高低觀點下的數學邏輯思維，比如低年級的抬腿法和高年級的二元一次方程的消元，本質是一樣的。窺測到抬腿法解決雞兔同籠的方程思維，對于更好的分塊解決數學題，是必要的。那么，橫向刷對興趣的拓展又產生了局限。

以我個人之見，如果是為了得獎的目標，或者是為了把數學學得相對好一點，自身功力也不夠強，采取橫向刷的方式進行檢驗；如果自身能力不弱，更多的目標在于數學的興趣，了解更好玩的數學，則向上刷，縱向刷。

也就是說，功利化的刷就橫向，局限性在于無法真正挑戰(zhàn)自己；縱向刷的目的是相對非功利的，適合一部分人，而前者適合大部分人。是否要越級，對自己的定位要精確，也看對數學是否有興趣。水能載舟亦能覆舟，各有利弊。世間安得雙全法，不負如來不負卿。

很多時候孩子學不好奧數，并不是數學不好；很可能是語文不好。

因為在學習語文的時候，尤其是議論文和記敘文。記敘文是所有作文的根基，考察的是創(chuàng)新思維和想象能力；這些能力并不由刷題可習得。

議論文對于孩子的要求是擁有批判性思維，知道一個問題的多角度，而不是單一、呆板的看問題。如果寫不好記敘文，就意味著很多作文題材是受限的；那么在面臨奧數新題時，思維能力也遭受束縛。

更普遍的問題是，語言邏輯能力受到束縛，無法從冗長的文字中提取一定的信息量，即使能夠提取，也不能進行轉化和變換，那么一道題就徹底死掉了。

很多時候，孩子不會解應用題，原因不在于沒刷太多這方面的題，而是沒有習得一些語言、文化敘述方面的基本功，這就要求家長在雞娃的時候，別老顧著刷數學題了，語文方面也做個診斷吧。

這個問題，我們以后繼續(xù)討論。以上就是我的一些看法，希望能夠有所幫助。