1.3 基本幾何作圖

    在制圖過程中，常會(huì)遇到等分線段、等分圓周、作正多邊形、畫斜度錐度、圓弧連接及繪制非圓曲線等的幾何作圖問題。

1.3.1等分已知線段

    已知線段AB，現(xiàn)將其五等分，作圖過程如圖1-24所示。

圖1-24等分線段

1.3.2等分圓周作正多邊形

(1)已知一半徑為R的圓，求作其內(nèi)接正六邊形。

A. 用圓規(guī)作圖分別以圓的直徑兩端A和D為圓心，以R為半徑畫弧交圓周于B，F(xiàn)，C，E，依次連接A，B，C，D，E，F(xiàn)，A，即得所求正六邊形(圖1-25)。

B. 用三角板配合丁字尺作圖用30°和60°三角板與丁字尺配合，也可作圓內(nèi)接正六邊形或外切正六邊形(圖1-26)。

圖1-25  用圓規(guī)作圓內(nèi)接正六邊形      圖1-26  用丁字尺、三角板作圓內(nèi)接或圓外切正六邊形

（2）已知一半徑為R的圓，求作圓內(nèi)接正五邊形。

    五等分圓周并作正五邊形，可用分規(guī)試分，也可按下述方法作圖(圖1-27)。

A. 平分半徑OB得點(diǎn)O1；

B. 在AB上取O1K=O1D得點(diǎn)K；

C. 以DK為邊長(zhǎng)等分圓周得E，F(xiàn)，G，H，依次連線即得所示。

圖1-27  正五邊形的畫法             圖1-28  正七邊形的畫法

（3) 正n邊形的畫法。

    若已知圓周半徑為R，求作圓內(nèi)接正n邊形，則作圖步驟(設(shè)求作正七邊形)如下(圖1-28)：

A. 將直徑AN作7等分；

B. 以N為圓心，NA為半徑作圓弧交水平中心線的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M；

C. 自M與AN上的奇數(shù)或偶數(shù)點(diǎn)(如2，4，6點(diǎn))連接并延長(zhǎng)與圓周相交得B，C，D，再作它們的對(duì)稱點(diǎn)， 依順序連接即得正七邊形。

1.3.3斜度與錐度

（1) 斜度  斜度是指一直線(或平面)對(duì)另一直線(或平面)的傾斜程度，其大小用兩直線(或平面)夾角的正切來表示，通常以1∶n的形式標(biāo)注。

標(biāo)注斜度時(shí)，在數(shù)字前應(yīng)加注符號(hào)“∠”，符號(hào)“∠”的指向應(yīng)與直線或平面傾斜的方向一致(圖1-29(b))。

    若要對(duì)直線AB作一條斜度為1∶10的傾斜線，則作圖方法為：先過點(diǎn)B作CB⊥AB，并使CB∶AB=1∶10，連接AC，即得所求斜線(圖1-29(c))。

圖1-29  斜度、斜度符號(hào)和斜度的畫法

（2) 錐度  錐度是指正圓錐的底圓直徑D與該圓錐高度L之比；而對(duì)于圓臺(tái)，則為兩底圓直徑之差D-d與圓臺(tái)高度l之比，即錐度=D/L=(D-d)/l=2tanα(其中α為1/2錐頂角)，如圖1-30(a)所示。

圖1-30  錐度、錐度符號(hào)和錐度的畫法

    錐度在圖樣上的標(biāo)注形式為1∶n，且在此之前加注符號(hào)“”(如圖1-30(b))。符號(hào)尖端方向應(yīng)與錐頂方向一致。

    若要求作一錐度為1∶5的圓臺(tái)錐面，且已知底圓直徑為，圓臺(tái)高度為L(zhǎng)，則其作圖方法如圖1-30(c)所示。

1.3.4圓弧連接

    工程圖樣中的大多數(shù)圖形是由直線與圓弧，圓弧與圓弧連接而成的。圓弧連接，實(shí)際上就是用已知半徑的圓弧去光滑地連接兩已知線段(直線或圓弧)。其中起連接作用的圓弧稱為連接弧。這里講的連接，指圓弧與直線或圓弧和圓弧的連接處是相切的。因此，在作圖時(shí)，必須根據(jù)連接弧的幾何性質(zhì)，準(zhǔn)確求出連接弧的圓心和切點(diǎn)的位置。

    常見的圓弧連接的形式有：(1) 用連接圓弧連接兩已知直線；(2) 用連接圓弧連接兩已知圓??；(3) 用連接圓弧連接一已知直線和一已知圓弧。

(1) 用圓弧連接兩已知直線  設(shè)已知連接圓弧的半徑為R，則用該圓弧將直線L1及L2光滑連接的作圖方法為(圖1-31)：

A. 作直線Ⅰ和Ⅱ分別與L1和L2平行，且距離為R，直線Ⅰ和Ⅱ的交點(diǎn)O即為連接圓弧的圓心；

B. 過圓心O分別作L1和L2的垂線，其垂足a和b即為連接點(diǎn)(即切點(diǎn))；

C. 以O(shè)為圓心，R為半徑畫圓弧ab。

    當(dāng)兩已知直線垂直時(shí)，其作圖方法更為簡(jiǎn)便，如圖1-31(b)所示。圖1-31  用圓弧連接兩已知直線

(2) 用圓弧連接兩已知圓弧可分為外連接，內(nèi)連接和混合連接三種情況。

A. 外連接連接圓弧同時(shí)與兩已知圓弧相外切。由初等幾何知，兩圓弧外切時(shí)，其切點(diǎn)必位于兩圓弧的連心線上，且落在兩圓心之間。因此，用半徑為R的連接圓弧連接半徑為R1和R2的兩已知圓弧，其作圖步驟如下(圖1-32(a))：

圖1-32  用圓弧連接兩已知圓弧

a. 分別以O(shè)１和O2為圓心，R+R1和R+R2為半徑作弧相交于O，交點(diǎn)O即為連接圓弧的圓心；

b. 連接O1O和O2O分別與已知圓弧相交得連接點(diǎn)a和b；

c. 以O(shè)為圓心，R為半徑作弧ab即為所求。

B. 內(nèi)連接連接圓弧同時(shí)與兩已知圓弧相內(nèi)切。其作圖原理與外連接相同。只是由于兩圓弧內(nèi)切時(shí)，其切點(diǎn)應(yīng)落在兩圓弧連心線的延長(zhǎng)線上(即兩圓弧的圓心位于切點(diǎn)的同側(cè))，故在求連接圓弧的圓心時(shí)，所用的半徑應(yīng)為連接弧與已知弧的半徑差，即R-R1和R-R2，作圖方法如圖1-32(b)所示。

C. 混合連接當(dāng)連接圓弧的一端與一已知弧外連接，另一端與另一已知弧內(nèi)連接時(shí)，稱為混合連接。其作圖方法如圖1-32(c)所示。

（3) 用圓弧連接一已知直線和一已知圓弧連接圓弧的一端與已知直線相切而另一端與已知圓弧外連接(或內(nèi)連接)，可綜合利用圓弧與直線相切、以及圓弧與圓弧外連接(或內(nèi)連接)的作圖原理，其作圖方法如圖1-33所示。

1.3.5工程上常見的平面曲線

    工程上常見的平面曲線有橢圓、拋物線、雙曲線、漸開線、阿基米德螺旋線等。表1-6中介紹了兩種畫橢圓的方法及漸開線的作圖方法。

圖1-33  用圓弧連接一已知直線和一已知圓弧

表1-6常見平面曲線的畫法