小波函數(shù)與尺度函數(shù)分別是什么意思，有什么作用？小波分解的意義是什么以及作用？

尺度函數(shù)又稱(chēng)為小波父函數(shù).根據(jù)雙尺度方程,可以由尺度函數(shù)生成小波.進(jìn)行信號(hào)處理時(shí),先要對(duì)信號(hào)進(jìn)行副近.也就是用尺度函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解.尺度函數(shù)的頻帶與待分析信號(hào)的頻帶相同,然后將逼近函數(shù)分別在尺度空間和小波空間中進(jìn)行分解.就得到了信號(hào)的低頻粗略部分和高頻細(xì)節(jié)部分.此時(shí)新的尺度函數(shù)頻帶是原信號(hào)頻帶的一半.小波函數(shù)的頻帶是另一半(高頻部分).由此實(shí)現(xiàn)了對(duì)原信號(hào)的按頻帶分解!

小波函數(shù)與尺度函數(shù)

簡(jiǎn)單的說(shuō)你得從小波的多分辨率分析開(kāi)始理解，多分辨率分析又得從映射來(lái)理解，映射又得從向量的投影來(lái)理解，所以我就從向量的投影來(lái)說(shuō)：假設(shè)是在三維空間里表達(dá)一個(gè)向量，我們需要建立一個(gè)三維的坐標(biāo)系，只要坐標(biāo)系建立我們就可以用三個(gè)點(diǎn)（x,y,z）來(lái)簡(jiǎn)單的表示一個(gè)向量，同樣的在一個(gè)信號(hào)我們?cè)O(shè)為f(t),要想表示它，我們可以用一個(gè)個(gè)正交的簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)構(gòu)建坐標(biāo)系，然后將f(t),映射與這些簡(jiǎn)單的正交函數(shù)上，產(chǎn)生一個(gè)系數(shù)，這些系數(shù)我們就可以等同于(x,y,z),只是由于它的維數(shù)是超過(guò)3維的所以你不好想象，總之就是利用相互正交的簡(jiǎn)單函數(shù)，構(gòu)建一個(gè)表達(dá)信號(hào)的空間“坐標(biāo)系”，然后就可以用這些系數(shù)和正交函數(shù)來(lái)表示f(t),
借就是小波的核心思想，在小波分析中這個(gè)構(gòu)建坐標(biāo)系的函數(shù)，就是小波函數(shù)，但是在小波函數(shù)來(lái)表示一個(gè)信號(hào)的時(shí)候，它其實(shí)是將信號(hào)映射在了時(shí)頻平面內(nèi)的，這里面就有一個(gè)問(wèn)題，在實(shí)現(xiàn)過(guò)程中需要對(duì)需要一個(gè)頻域的底座和平臺(tái)，來(lái)讓信號(hào)f(t)與之做映射后是在一定的頻率分辨率上進(jìn)行的，這個(gè)起到底座的函數(shù)就是尺度函數(shù)，在尺度函數(shù)的平臺(tái)下對(duì)頻率的分析，或者說(shuō)對(duì)信號(hào)的f(t)的表達(dá)就是在小波函數(shù)的作用了。在濾波實(shí)現(xiàn)中低頻濾波就相當(dāng)于尺度函數(shù)的作用，小波函數(shù)的實(shí)現(xiàn)就是高頻濾波器的使用。

尺度函數(shù)和小波函數(shù)有什么聯(lián)系和區(qū)別，還有為什么有的小波有尺度函數(shù)，而有的沒(méi)有呢？尺度函數(shù)是干什么用的呢？

小波函數(shù)是由尺度函數(shù)構(gòu)造的，尺度函數(shù)的性質(zhì)決定了小波函數(shù)的性質(zhì)。尺度函數(shù)從濾波器的角度看是低通濾波器，而小波函數(shù)是高通濾波器。


具體分析時(shí)，有沒(méi)有選擇小波函數(shù)的一般原則和尺度的選擇？
還是僅僅根據(jù)經(jīng)驗(yàn)？多次試探？或所要分析的信號(hào)的形狀？

　一般來(lái)說(shuō)，小波分析與傅立葉分析結(jié)合起來(lái)。
　　如果對(duì)于分析的信號(hào)所具有的特征不了解，你必須通過(guò)傅立葉頻譜分析了解信號(hào)的原貌，小波分析只是一種獲取信號(hào)特征信息的手段，不能僅僅因?yàn)樾〔üδ軓?qiáng)大，很多人都在用而依賴(lài)小波分析，特別是入門(mén)前更要注重各種分析方法的比較，本人意見(jiàn)，即使精通了小波分析，傅立葉分析還是不能放棄的！

選擇小波應(yīng)該從下面幾個(gè)角度，根據(jù)你的需要來(lái)選擇：小波的支集長(zhǎng)度，消失距階數(shù)，正則性，對(duì)稱(chēng)性。如果你需要壓縮應(yīng)用，最好選擇消失距階數(shù)高和有正則性（雙正交小波）的小波。

小波基函數(shù)的選取應(yīng)從一般原則和具體對(duì)象兩方面進(jìn)行考慮.一般原則是：① 正交性：源于數(shù)學(xué)分析的簡(jiǎn)單和工程應(yīng)用中的便于理解操作。② 緊支集：保證優(yōu)良的時(shí)－頻局部特性，也利于算法的實(shí)現(xiàn)。③ 對(duì)稱(chēng)性：關(guān)系到小波的濾波特性是否具有線性相位，這與失真問(wèn)題密切相關(guān)。④ 平滑性：關(guān)系到頻率分辨率的高低。如果平滑性差，則隨著變換級(jí)數(shù)的增加，原來(lái)平滑的輸入信號(hào)將很快出現(xiàn)不連續(xù)性，導(dǎo)致重建時(shí)失真。 當(dāng)然，要完全滿(mǎn)足這些特性是十分困難的。如，緊支集與平滑性不可兼得，正交性的緊支集又使對(duì)稱(chēng)性成為不可能，因此只能尋找一種能恰當(dāng)兼顧這些特性的合理折衷方案。 具體選時(shí)應(yīng)視應(yīng)用的領(lǐng)域的不同而不同。就圖像處理而言，如果目的是無(wú)損壓縮，對(duì)稱(chēng)性和平滑性就很重要；如果是邊緣檢測(cè)紋理分析和噪聲去除，那就需要選擇小波基與待處理圖像的感興趣分量具有相似性。

小波函數(shù)與尺度函數(shù)的關(guān)系,框架,低頻粗略部分和高頻細(xì)節(jié)部分

尺度函數(shù)可以用來(lái)生成小波函數(shù)，有的人稱(chēng)之為父小波函數(shù)
尺度函數(shù)和小波函數(shù)分別是尺度空間（近似空間）和細(xì)節(jié)空間的基函數(shù)，兩者通過(guò)雙尺度方程聯(lián)系
以多尺度分析或者多分辨分析為例。尺度函數(shù)一般是整個(gè)框架的生成元，它生成整個(gè)框架，也生成小波函數(shù)，另外，尺度函數(shù)的傅立葉變換一般可做低通濾波器，而小波函數(shù)的傅立葉變換一般是用作帶通或高通濾波器！
可以通過(guò)尺度函數(shù)來(lái)構(gòu)造小波函數(shù)，這是構(gòu)造小波函數(shù)的一種方法，兩者通過(guò)雙尺度方程相聯(lián)系， 但是，并不是說(shuō)每一種小波函數(shù)都有相應(yīng)的尺度函數(shù)，有的小波是沒(méi)有對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)的。
其實(shí)就我自己理解的話，框架就是一套對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波分解的方法，它就像一個(gè)固定的模式。比如多分辨分析，它所構(gòu)造的小波分析框架就是把信號(hào)分解成一個(gè)個(gè)互相不交叉的子頻帶，但所有的子頻帶的直和又是信號(hào)的頻帶，如果尺度函數(shù)選得好，各個(gè)子空間還可以是正交的（好像是這樣）！
尺度函數(shù)和小波函數(shù)構(gòu)成j 1空間，也就是V空間中尺度函數(shù)的正交補(bǔ)，
框架是比正交基更廣的一個(gè)概念，打個(gè)比喻，一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，x、y軸就是坐標(biāo)系的正交基，它們是相互垂直的，而框架則不一定垂直，例如夾角為120度的三個(gè)向量就構(gòu)成了坐標(biāo)系的一個(gè)框架。
正交基只是框架中的一個(gè)特例。

對(duì)于多分辨率而言，尺度函數(shù)與小波函數(shù)共同構(gòu)造了信號(hào)的分解。這里尺度函數(shù)可以由低通濾波器構(gòu)造，而小波函數(shù)則由高通濾波器實(shí)現(xiàn)。這樣的濾波器組就構(gòu)成了分解的框架。而同時(shí)我們可以看到，低通濾波器的尺度函數(shù)可以作為下一級(jí)的小波函數(shù)和尺度函數(shù)的母函數(shù)。說(shuō)明白些，其實(shí)尺度函數(shù)表征了信號(hào)的低頻特征，小波函數(shù)才是真正逼近高頻的基。

由濾波器系數(shù)繪制尺度函數(shù)和小波函數(shù)圖像的Matlab程序

function ScaleWaveFig(h)
% -- 函數(shù)描述 : 由濾波器系數(shù)繪制尺度函數(shù)和小波函數(shù)圖像
% M : 標(biāo)準(zhǔn)化常數(shù)
% h : (尺度)濾波器系數(shù)
% g : 小波濾波器系數(shù)
% a : 尺度函數(shù)初始化
% w : 小波函數(shù)初始化
% -- 時(shí)間 : 2007-12-02
% -- 作者 : 劉恒冰(LIUHB) 版權(quán)所有(C)
M = 2;
g = fliplr(h);
for i = 1 : length(h)
g(i) = (-1) ^ (i 1) * g(i);
end
a = h;
w = g;
% 繪制尺度函數(shù)圖像
b = [ ];
for i = 1 : 7
L = M * length(a);
b(1 : M : L - M 1) = a;
for j = 2 : M
b(j : M : L - M j) = zeros(1, L / M);
end
a = b;
a = conv(h, a);
% a = sqrt(M) * a; || a = sqrt(M) * a; ?
n = length(a);
a = a(1, 1 : n - 1);
end
n = length(a);
x = linspace(0, 3, n);
subplot(221);
plot(x, a); grid on;
% 繪制小波函數(shù)圖像
b = [ ];
for i = 1 : 7
L = M * length(w);
b(1 : M : L - M 1) = w;
for j = 2 : M
b(j : M : L - M j) = zeros(1, L / M);
end
w = b;
w = conv(h, w);
% w = sqrt(M) * w; || w = sqrt(M) * w; ?
n = length(w);
w = w(1, 1 : n - 1);
end
n = length(w);
x = linspace(0, 3, n);
subplot(222);
plot(x, w); grid on;