笑到噴的土豪解決雞兔同籠問題的辦法

我心飛揚695 2016-07-22

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公眾號：數學加

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小編有話說

　　關于雞兔同籠問題，真是經久不衰了。隨著雞兔同籠問題演繹出了很多有趣的數學段子，大家跟著數學加編輯來看看最近的一個特別火，特別有意思的數學段子吧。

　　“我有一朋友沒讀過書，生意卻做的相當的大，我一直很好奇。今天去拜訪他，終于找到了答案!他兒子在做作業(yè)，有道題不會，叫我們幫忙！題目是：雞和兔共40只，共有100只腳，雞和兔各幾只？

　　我答，“設雞的數量為X，兔的數量為Y”……我還沒算出答案，朋友已給出了答案！

　　他的算法是：假設雞和兔都訓練有素，吹一聲哨，抬起一只腳，100-40=60。再吹哨，又抬起一只腳，60-40=20，這時雞都一屁股坐地上了，兔子還兩只腳立著。所以，兔子有20÷2=10只，雞有40-10=30只。

　　所以他兒子數學總考第一。這種算法，讓數學老師和奧數老師們情何以堪啊!只能感慨學習不能讀死書??！不然拼不過土豪呀！”

　　數學加編輯看到這里就要笑噴了。這個中國古代著名的數學問題—雞兔同籠問題居然就這樣輕松解決了！雞兔同籠問題，是小學階段一個非常重要的數學模型。大家別以為只有雞和兔子這種題目，換個動物換個類別也要會哦。許多小學算術應用題都可以轉化成這類問題，或者用解它的典型解法--'假設法'來求解。解決這類問題可以極大的拓寬孩子的解題思路，家長也可以深入的了解一下，分享給自己的孩子，幫其拓寬解題思路，加深對所學知識的理解。今天除了常規(guī)解法之外，數學加也提供另外幾種非常規(guī)的解法，希望達到拋磚引玉的效果。

　　就以上面的數學段子中的題目為例 “雞兔同籠，上有40個頭，下有100只足。雞兔各有多少只？”

第一類解法：極端假設法

　　解法1：假設40個頭都是雞，那么應有足2×40=80（只），比實際少100-80=20（只）。這是把兔看作雞的緣故。而把一只兔看成一只雞，足數就會少4-2=2（只）。因此兔有20÷2=10（只），雞有40-10=30（只）。

　　解法2：假設40個頭都是兔，那么應有足4×40=160（只），比實際多160-100=60（只）。這是把雞看作兔的緣故。而把一只雞看成一只兔，足數就會多4-2=2（只）。因此雞有60÷2=30（只），兔有40-30=10（只）。

　　這兩種解法是最常見最普遍的兩種解法，也是通常學校教學里教授的“標準解法”，“數學是思維的體操”，如果學生僅僅滿足于掌握了解這兩種解法，很容易思維僵化，非常不利于學生發(fā)散思維的培養(yǎng)。這里我把我能想到解法全寫出來，供大家參與討論，批評指正。

　　解法3：假設100只足都是雞足，那么應有頭100÷2=50（個），比實際多50-40=10（個）。把兔足看作雞足，兔的只數（頭數）就會擴大4÷2倍，即兔的只數增加（4÷2-1）倍。因此兔有10÷（4÷2-1）=10（只），雞有40-10=30（只）。

　　解法4：假設100只足都是兔足，那么應有頭100÷4=25（個），比實際少40-25=15（個）。把雞足看作兔足，雞的只數（頭數）就會縮小4÷2倍，即雞的只數減少1-1÷（2÷4）=1/2。因此雞有15÷1/2=30（只），兔有40-30=10（只）。

第二類解法：任意假設

　　解法5：假設40個頭中，雞有12個（0至40中的任意整數），則兔有40-12=28（個），那么它們一共有足2×12+4×28=136（只），比實際多136-100=36（只）。這說明有一部分雞看作兔了，而把一只雞看成一只兔，足數就會多4-2=2（只），因此把雞看成兔的只數是36÷2=18（只）。那么雞實際有12+18=30（只），兔實際有28-18=10（只）。

　　解法6：假設100只足中，有雞足80只（0至100中的任意整數，最好是2的倍數），則兔足有100-80=20（只），那么它們一共有頭80÷2+20÷4=45（個），比實際多45-40=5（個）。這說明把一部分兔足看作雞足了，而把兔足看成雞足，兔的只數（頭數）就會增加（4÷2-1）倍。因此把兔看作雞的只數是5÷（4÷2-1）=5（只），那么兔實際有20÷4+5=10（只），雞實際有40-10=30（只）。

　　通過比較第一類和第二類解法，我們不難看出：任意假設是極端假設的一般形式，而極端假設是任意假設的特殊形式，也是簡便解法。

　　如果說上面的幾種解法你還比較容易想到，那么下面的幾種解法就不一定那么容易想到啦。

第三類解法：除減法

　　解法7：用腳的總數除以2，也就是100÷2=50（只）。這里我們可以設想為，每只雞都是一只腳站著；而每只兔子都用兩條后腿，像人一樣用兩只腳站著。這樣在50這個數里，雞的頭數算了一次，兔子的頭數相當于算了兩次.因此從50減去總頭數40，剩下的就是兔子頭數10只。有10只兔子當然雞就有30只。

　　這種解法其實就是《孫子算經》中記載的：做一次除法和一次減法，馬上能求出兔子數，多簡單！這也是文章前面這個數學段子中趣解的由來，我也課堂當中也經常喜歡給學生講解這種解法。

第四類解法：盈虧法

　　解法8：把總足數100看作標準數。假設雞有25只，兔則有40-25=15（只），那么它們有足2×25+4×15=110（只），比標準數盈余110-100=10（只）；再假設雞有32只，兔則有40-32=8（只），那么它們有足2×32+4×8=96（只），比標準數不足100-96=4（只）。根據盈不足術公式，可以求出雞的只數。即雞有（25×4+32×10）÷（4+10）=30（只），兔則有40-30=10（只）。

第五類解法：比例分配

　　解法9：40個頭一共100只足，平均每個頭有足100÷40=2.5（只）。而一只雞比平均數少（2.5-2）只足，一只兔比平均數多（4-2.5）只足。根據平均問題的“移多補少”思想：超出總數等于不足總數，故知：（2.5-2）×雞的只數=（4-2.5）×兔的只數。因此，雞的只數︰兔的只數=（4-2.5）：（2.5-2）=1.5：0.5=3：1按比例分配可以求出雞兔各有多少只。即雞有40×3/（3+1）=30（只），而兔則有40×1/（3+1）=10（只）。

第六類解法：列方程

　　解法10：設雞有x只，那么兔有（40-x）只。根據題意列方程：2x+4（40-x）=100 解這個方程得：x=30 40-x=40-30=10那么雞有30只，兔有10只。當然方程是一種萬能和傻瓜式的解法，這里就不多說了。