一課研究之'懂一點(diǎn)邏輯'

魚(yú)悅的圖書(shū)館 2016-07-17

展開(kāi)全文

向你介紹我是誰(shuí)

本期內(nèi)容有哪些

聽(tīng)書(shū)：“阿凡提分羊”的邏輯問(wèn)題
閱讀：懂一點(diǎn)邏輯知識(shí)
拓展：“實(shí)踐上錯(cuò)，邏輯上對(duì)”的芝諾詭辯

1.聽(tīng)書(shū)

“阿凡提分羊”的邏輯問(wèn)題

阿凡提分羊的故事：17只羊，老大分得其中的1/9，老二分得其中的1/3，老三分得其中的1/2，羊必須整只分，怎么分？

2.閱讀

懂一點(diǎn)邏輯知識(shí)

“如果路上的車輛能少一些的話，那么污染情況將是可接受的。我們要么減少車輛的數(shù)量，要么設(shè)置道路收費(fèi)，或者兩者同時(shí)執(zhí)行。如果執(zhí)行道路收費(fèi)的話，夏天將會(huì)炙熱得讓人難以忍受。事實(shí)上，夏天正在變得十分涼爽。結(jié)論毋庸置疑：污染情況是可以接受的。”

上面這段話的陳述是否“站得住腳”，或者根本是毫無(wú)邏輯的？

兩個(gè)前提一個(gè)結(jié)論

上面這段話非常復(fù)雜。因此，我們先看一些比較簡(jiǎn)單的論點(diǎn)?；厮莨畔ＥD哲學(xué)家亞里士多德（他被認(rèn)為是邏輯學(xué)的創(chuàng)始者）。他的方法以各種不同形式的三段論為基礎(chǔ)，是一種基于兩個(gè)前提一個(gè)結(jié)論的三段陳述的論辯類型。下面是一個(gè)例子——

分隔線上面是前提，下面是結(jié)論。在這個(gè)例子中，無(wú)論我們對(duì)“獵犬”、“狗”、“動(dòng)物”賦予什么樣的意義，結(jié)論是必然的。

下面這個(gè)例子是相同的三段論，但是使用了不同的詞語(yǔ)——

在這個(gè)例子里，如果以通常的意義理解那些詞語(yǔ)，那么每一句陳述都是毫無(wú)意義的。但是，這兩個(gè)三段論的例子都具有相同的結(jié)構(gòu)，而且正是這個(gè)結(jié)構(gòu)使得三段論有效。你絕對(duì)不可能找出這樣一個(gè)例子，A，B，C符合這個(gè)結(jié)構(gòu)，前提是真的，但結(jié)論卻是假的。正是它使得一個(gè)合理論辯變得有用。

我們可以通過(guò)改變量詞，如“所有”，“一些”，以及“沒(méi)有”，來(lái)獲得三段論的其他形式。如——

這個(gè)論辯有效嗎？它適用于所有的A，B，以及C嗎？還是說(shuō)它是一個(gè)潛藏的反例，一個(gè)前提為真但是結(jié)論卻是假的例子？如果讓A為獵犬，B為棕色物體，C為桌子，那么下面的例子讓人信服嗎？

我們舉出的反例說(shuō)明了這個(gè)三段論是無(wú)效的。有非常多不同的三段論類型，這些分解論辯的方法一直持續(xù)了超過(guò)2000年之久，而且在中世紀(jì)的大學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)了至關(guān)重要的位置。亞里士多德的邏輯（他的三段論）被認(rèn)為是至19世紀(jì)最完美的科學(xué)。

命題邏輯

另一種形式的邏輯要比三段論走得更遠(yuǎn)。它用于處理命題或簡(jiǎn)單的陳述，以及它們的組合。要分析篇頭的觀點(diǎn)，我們先要學(xué)習(xí)一些“命題邏輯”的相關(guān)知識(shí)。它曾經(jīng)被稱作“邏輯代數(shù)”，因?yàn)閱讨巍げ紶栆庾R(shí)到它可以作為一種新的代數(shù)來(lái)對(duì)待，這給了我們一些關(guān)于它的結(jié)構(gòu)的線索，在19世紀(jì)40年代，布爾和奧古斯都·德摩根等數(shù)學(xué)家對(duì)邏輯做出了相當(dāng)多的工作。

讓我們具體看一下。考慮一個(gè)命題a，a代表“阿旺是一只獵犬”。命題a可能為“真”或是“假”。如果那只名為“阿旺”的狗，它的確是一只獵犬，那么這個(gè)命題就是真的（T），但是如果“阿旺”是我家的貓的名字，同時(shí)說(shuō)的又是這只貓，那么這個(gè)命題就是假的（F）。一個(gè)命題的真假取決于它的參照物。

如果我們還有另一個(gè)陳述b，如“咪咪是一只貓”，那么我們就可以以幾種方式組合這兩個(gè)命題。一種組合寫(xiě)為a ∨ b。連接符“V”表示“或”，但是它在邏輯中的使用和日常中的“或”略微有些不同。在邏輯中，如果“阿旺是一只獵犬”， “咪咪是一只貓”，兩者有一個(gè)為真或兩者都為真，那么a ∨ b為真。只有當(dāng)a和b都為假時(shí)，a ∨ b才是假。這種命題間的關(guān)聯(lián)可以用一個(gè)真值表來(lái)概括（如下表）。

我們也可以使用“與”來(lái)組合命題，寫(xiě)為a∧b，它們的真值表關(guān)系如下。

另外還有“非”，寫(xiě)為￢a。它們的真值表關(guān)系如下：

如果我們通過(guò)混合的形式將連接符∨，∧，￢與a，b，c組合起來(lái)，如a∧（b∨c），邏輯代數(shù)便會(huì)更加清晰。我們可以得到一個(gè)等式，稱為同一性。

a∧（b∨c）≡（a∧b）∨（a∧c）

符號(hào)≡表示兩個(gè)邏輯陳述等價(jià)，即符號(hào)兩邊具有相同的真值表。這時(shí)邏輯代數(shù)和普通代數(shù)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)，因?yàn)榉?hào)∧和∨與普通代數(shù)中的×和＋具有類似之處，在普通代數(shù)中，我們有x×（y＋z）＝（x×y）＋（x×z）。但是，這個(gè)對(duì)應(yīng)并不總是成立，存在一些例外。

其他邏輯連接符可能是跟根據(jù)這些基本符號(hào)定義的。一個(gè)有用的連接符是“邏輯蘊(yùn)含”a→b，它的定義等價(jià)于￢a∨b，其真值表如下：

現(xiàn)在，我們回過(guò)頭來(lái)看一下開(kāi)頭的那個(gè)論述。我們可以將它寫(xiě)成為符號(hào)形式，并給出它的論辯：

這個(gè)論辯是否有效呢？讓我們假設(shè)結(jié)論P(yáng)是假的，但是所有的前提都是真的。如果我們可以證明這個(gè)假設(shè)是一個(gè)謬論，那么意味著論辯是有效的，從而也就意味著不可能前提都為真，結(jié)論卻為假。如果P為假，那么根據(jù)第一個(gè)前提C→P，C必須為假。由于C∨S為真，那么C為假的是意味著S為真。根據(jù)第三個(gè)前提S→H，則H應(yīng)當(dāng)為真。也就是說(shuō)，￢H是假的。這與最后一個(gè)前提￢H假設(shè)為真，相矛盾。盡管這個(gè)開(kāi)篇陳述的內(nèi)容仍頗具爭(zhēng)議，但至少論辯的結(jié)構(gòu)是有效地。

當(dāng)然，除了上述的“兩個(gè)前提一個(gè)結(jié)論的三段論”和“命題邏輯”外，還有其他邏輯，比如“一階謂詞邏輯”、“模糊邏輯”等。這里不再一一贅述。

（本文節(jié)選自《你不可不知的50個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)》）

3.思考

芝諾詭辯

芝諾是古希臘的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家，他有一個(gè)著名的“阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜”的詭辯。大意是這樣的：阿基里斯是古希臘神話中善于跑步的英雄，它與烏龜賽跑，烏龜在前，阿基里斯在后，那么阿基里斯永遠(yuǎn)也追不上在他前面的烏龜。芝諾的理由是：因?yàn)榘⒒锼乖谧飞蠟觚數(shù)钠瘘c(diǎn)時(shí)，烏龜往前走了一段路程，當(dāng)阿基里斯再次追過(guò)這段路程時(shí)，烏龜又往前走了一段……這樣下去，雖然阿基里斯越追越近，但永遠(yuǎn)追不上烏龜。

當(dāng)然，這個(gè)結(jié)論實(shí)際上錯(cuò)誤的。因?yàn)橹ブZ把阿基里斯追趕烏龜?shù)穆烦倘我獾胤指畛蔁o(wú)限多段，用有限去解釋無(wú)限。

奇怪的是芝諾的詭辯在邏輯上沒(méi)有任何毛病，得到的結(jié)論卻是錯(cuò)誤的?！皩?shí)踐上錯(cuò)，邏輯上對(duì)”這一結(jié)果正說(shuō)明了邏輯定理與事實(shí)常常不一致，不能單靠純粹的數(shù)學(xué)推理來(lái)解釋實(shí)際生活中的問(wèn)題。

你若盛開(kāi) 蝴蝶自來(lái)

本站是提供個(gè)人知識(shí)管理的網(wǎng)絡(luò)存儲(chǔ)空間，所有內(nèi)容均由用戶發(fā)布，不代表本站觀點(diǎn)。請(qǐng)注意甄別內(nèi)容中的聯(lián)系方式、誘導(dǎo)購(gòu)買等信息，謹(jǐn)防詐騙。如發(fā)現(xiàn)有害或侵權(quán)內(nèi)容，請(qǐng)點(diǎn)擊一鍵舉報(bào)。

轉(zhuǎn)藏 分享

QQ空間 QQ好友新浪微博微信

獻(xiàn)花（0） +1

來(lái)自：魚(yú)悅的圖書(shū)館 > 《實(shí)用資料》

舉報(bào)/認(rèn)領(lǐng)