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算術(shù)是從一個或幾個具體的數(shù)計算另一個數(shù)的學(xué)問，在這兒，數(shù)是已知和不變的。代數(shù)等式中有些數(shù)雖然未知，但其所指，仍是一個固定的數(shù)。在幾百年前，只在幾何中表示數(shù)量的對應(yīng)，運動則代表著變化。幾千年中的算術(shù)、幾何和運動的研究，人們在三者間交叉借用形象來類比推理，直到1694年萊布尼茨終于用了函數(shù)這名詞，抽象地表達變動的已知數(shù)到答案數(shù)之間，算法所對應(yīng)的映射。其后近百年間，由約翰·伯努里和他的學(xué)生歐拉的推崇，最后到維爾斯特拉斯，確認(rèn)了必須用函數(shù)的概念，把微積分建立在代數(shù)而不是幾何的基礎(chǔ)上。 函數(shù)，是我們從小學(xué)算術(shù)到中學(xué)要理解的第一個抽象概念，沒過這坎的人，與數(shù)理絕緣，后面的課就不能理解了，對數(shù)學(xué)的認(rèn)知停留在中世紀(jì)。初等微積分是在函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對變動數(shù)極限運算的數(shù)學(xué)，牛頓稱之為“流數(shù)術(shù)”，在有窮的世界窺測無窮的彼岸。近代分析建立在無窮空間的映射概念上，研究抽象空間結(jié)構(gòu)和算子性質(zhì)。由此俯視分析理論，能更抽象地構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，解決微分方程解和函數(shù)推廣等等難題。理科生在這里，必須再過一個坎，走進抽象無窮的世界，才能理解現(xiàn)在的數(shù)學(xué)，而不是停留在二百年前的舊時光里。 算術(shù)的眼界局限在數(shù)域中。函數(shù)表達了數(shù)域中變量與映射值的對應(yīng)關(guān)系。經(jīng)典微積分用函數(shù)和極限的概念從數(shù)域，跨進實數(shù)和歐幾里德空間。其運算都基于這個空間的性質(zhì)。泛函分析將函數(shù)作為變量，研究它所在的空間和算子。在這里，一個函數(shù)也只看成集合上的一個點。 將討論的對象抽象成集合中的點，點與點之間的相鄰關(guān)系和點間運算對應(yīng)關(guān)系，是集合上設(shè)定了的性質(zhì)。數(shù)學(xué)的空間是定義有這些性質(zhì)的集合，在這些設(shè)定條件下來討論數(shù)學(xué)問題，而不再借助任何其他背景。在我們介紹過的空間里，由粗到精的包含關(guān)系順序是：拓?fù)淇臻g，T2空間，距離空間，賦范空間，巴拿赫空間，希爾伯特空間。這些空間都只是抽象的類，可在相應(yīng)的各類里設(shè)定具體的拓?fù)?、距離、范數(shù)或內(nèi)積。L2和l2空間，歐幾里德空間，實數(shù)空間則是常見具體化的希爾伯特空間。初等微積分局限在實數(shù)空間和歐幾里德空間里，泛函分析研究抽象的空間，特別是賦范空間、巴拿赫空間和希爾伯特空間的結(jié)構(gòu)和線性運算性質(zhì)。下面帶你領(lǐng)略這里的風(fēng)光。 兩個距離空間中的映射稱為算子。這篇只討論賦范空間的線性算子?；仡櫼幌沦x范空間定義，它是線性空間，是以向量長度為范數(shù)導(dǎo)出了距離的距離空間。在這距離定義下，如果它對收斂還是完備的，則稱為巴拿赫空間（Banach space）。大家熟悉的歐幾里德空間 |
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