1． （2015·福建第9題   4分）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，分別以點(diǎn)A和B為圓心，以相同的長（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N，作直線MN交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接CD，下列結(jié)論錯誤的是（　　）

A．AD=BD                 B． BD=CD                 

C． ∠A=∠BED          D．  ∠ECD=∠EDC

考點(diǎn)：

作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線．

分析：    

由題意可知：MN為AB的垂直平分線，可以得出AD=BD；CD為直角三角形ABC斜邊上的中線，得出CD=BD；利用三角形的內(nèi)角和得出∠A=∠BED；因?yàn)椤?/span>A≠60°，得不出AC=AD，無法得出EC=ED，則∠ECD=∠EDC不成立；由此選擇答案即可．

解答：    

∵MN為AB的垂直平分線，

∴AD=BD，∠BDE=90°；

∵∠ACB=90°，

∴CD=BD；

∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，

∴∠A=∠BED；

∵∠A≠60°，AC≠AD，

∴EC≠ED，

∴∠ECD≠∠EDC．

故選：D．

點(diǎn)評：    

此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．注意垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．

2．（2015福建龍巖8，4分）如圖，在邊長為的等邊三角形ABC中，過點(diǎn)C垂直于BC的直線交∠ABC的平分線于點(diǎn)P，則點(diǎn)P到邊AB所在直線的距離為（　?。?/span>

A．                  B.    

C．                  D．  1

考點(diǎn)：    

角平分線的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理．

分析：    

根據(jù)△ABC為等邊三角形，BP平分∠ABC，得到∠PBC=30°，利用PC⊥BC，所以∠PCB=90°，在Rt△PCB中，=1，即可解答．

解答： 

∵△ABC為等邊三角形，BP平分∠ABC，

∴∠PBC= ∠ABC =30°，

∵PC⊥BC，

∴∠PCB=90°，

在Rt△PCB中，=1，

∴點(diǎn)P到邊AB所在直線的距離為1，

故選：D．

點(diǎn)評： 

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、利用三角函數(shù)求值，解決本題的關(guān)鍵是等邊三角形的性質(zhì)．

3. （2015·北海,第12題3分）如圖，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿對角線OB折疊后，點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，OD與BC交于點(diǎn)E，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（　?。?/span>

 A． （4，8）        B． （5，8） 

C．        D． 

考點(diǎn)： 

翻折變換（折疊問題）；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．

專題： 

計算題．

分析： 

由四邊形ABCD為矩形，利用矩形的性質(zhì)得到兩對邊相等，再利用折疊的性質(zhì)得到OA=OD，兩對角相等，利用HL得到直角三角形BOC與直角三角形BOD全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等及等角對等邊得到OE=EB，在直角三角形OCE中，設(shè)CE=x，表示出OE，利用勾股定理求出x的值，確定出CE與OE的長，進(jìn)而由三角形COE與三角形DEF相似，求出DF與EF的長，即可確定出D坐標(biāo)．

解答：

∵矩形ABCD中，OA=8，OC=4，

∴BC=OA=8，AB=OC=4，

由折疊得到OD=OA=BC，

∠AOB=∠DOB，∠ODB=∠BAO=90°，

在Rt△CBP和Rt△DOB中，

，

∴Rt△CBP≌Rt△DOB（HL），

∴∠CBO=∠DOB，

∴OE=EB，

設(shè)CE=x，則EB=OE=8﹣x，

在Rt△COE中，根據(jù)勾股定理得：

（8﹣x）²=x²+4²，

解得：x=3，

∴CE=3，OE=5，DE=3，

過D作DF⊥BC，可得△COE∽△FDE，

點(diǎn)評： 

此題考查了翻折變換（折疊問題），坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．

1． （2015，廣西柳州，16，3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，則sinB=　　．

考點(diǎn)：    

銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．

分析：   

根據(jù)銳角三角函數(shù)定義直接進(jìn)行解答．

解答：   

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，

∴sinB==．

故答案是：．

點(diǎn)評：    

本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．

2. （2015·北海,第16題3分）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在DC邊的延長線上．若∠CAE=15°，則AE=8　．

考點(diǎn)： 

含30度角的直角三角形；正方形的性質(zhì)．

分析： 

先由正方形的性質(zhì)可得∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，由∠CAE=15°，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差得出∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=30°．然后在Rt△ADE中，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可得到AE=2AD=8．

解答：

∵正方形ABCD的邊長為4，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，

∴∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，

∵∠CAE=15°，

∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．

∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，

∴AE=2AD=8．

故答案為8．

點(diǎn)評： 

本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．也考查了正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．求出∠E=30°是解題的關(guān)鍵．

3. （2015·黃岡,第14題3分）在△ ABC 中,AB=13cm,AC=20cm,BC 邊上的高為12cm,則△ABC 的面積為__________cm2.

考點(diǎn)：

勾股定理．

分析：

此題分兩種情況：∠B 為銳角或∠B 為鈍角已知AB、AC 的值，利用勾股定理即可求出BC 的長，利用三角形的面積公式得結(jié)果．

解答：

當(dāng)∠B 為銳角時（如圖 1），

     在Rt△ABD  中，

     BD= =5cm ，

     在Rt△ADC  中，

     CD=  =16cm ，

      ∴BC=21 ，

      ∴S△ ABC=   = ×21×12=126cm  ；

當(dāng)∠B 為鈍角時（如圖2 ），

     在Rt△ABD  中，

     BD==5cm ，

     在Rt△ADC  中，

     CD= =16cm ，

      ∴BC=CD ﹣BD=16 ﹣5=11cm，

      ∴S△ ABC= = ×11×12=66cm  ，

  故答案為：126 或66 ．

點(diǎn)評：

本題主要考查了勾股定理和三角形的面積公式，畫出圖形，分類討論是解答此題的關(guān)鍵．

4. （2015·黑龍江哈爾濱，第20題3分）（2015·哈爾濱）如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊BC上，∠C+∠BAD=∠DAC，tan∠BAD=，AD=，CD=13，則線段AC的長為　　．

考點(diǎn)： 

勾股定理；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．

分析：

點(diǎn)評： 

考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得到AG和CG的長．

5. （2015·山西,第15題3分）太原市公共自行車的建設(shè)速度、單日租騎量等四項(xiàng)指標(biāo)穩(wěn)居全國首位．公共自行車車樁的截面示意圖如圖所示，AB⊥AD，AD⊥DC，點(diǎn)B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，則點(diǎn)A到地面的距離是　　cm．

考點(diǎn)：    

勾股定理的應(yīng)用．

分析：    

分別過點(diǎn)A作AM⊥BF于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥AB于點(diǎn)N，利用勾股定理得出BN的長，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出即可．

解答：    

過點(diǎn)A作AM⊥BF于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥AB于點(diǎn)N，

∵AD=24cm，則BF=24cm，

∴BN===7（cm），

∵∠AMB=∠FNB=90°，∠ABM=∠FBN，

∴△BNF∽△BMA，

則：

故點(diǎn)A到地面的距離是：．

故答案為：．

點(diǎn)評：    

此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出△BNF∽△BMA是解題關(guān)鍵．

6. （2015·貴州省貴陽,第14題4分）“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．小亮隨機(jī)地向大正方形內(nèi)部區(qū)域投飛鏢．若直角三角形兩條直角邊的長分別是2和1，則飛鏢投到小正方形（陰影）區(qū)域的概率是　　．

考點(diǎn)：    

幾何概率；勾股定理．

分析：    

首先確定小正方形的面積在大正方形中占的比例，根據(jù)這個比例即可求出針扎到小正方形（陰影）區(qū)域的概率．

解答：   

直角三角形的兩條直角邊的長分別是2和1，則小正方形的邊長為1，根據(jù)勾股定理得大正方形的邊長為，=，針扎到小正方形（陰影）區(qū)域的概率是．

點(diǎn)評：    

本題將概率的求解設(shè)置于“趙爽弦圖”的游戲中，考查學(xué)生對簡單幾何概型的掌握情況，既避免了單純依靠公式機(jī)械計算的做法，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實(shí)生活、甚至娛樂中的運(yùn)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)性．用到的知識點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比．易錯點(diǎn)是得到兩個正方形的邊長．

7.（2015·貴州省黔東南州,第6題4分）如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，則DH=（　?。?/span>

A．                B． 

C． 12               D．   24

考點(diǎn)：    

菱形的性質(zhì)．

分析：    

設(shè)對角線相交于點(diǎn)O，根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，然后根據(jù)菱形的面積等對角線乘積的一半和底乘以高列出方程求解即可．

解答：

如圖，設(shè)對角線相交于點(diǎn)O，

∵AC=8，DB=6，

∴AO=AC=×8=4，

BO=BD=×6=3，

由勾股定理的，AB===5，

∵DH⊥AB，

∴S_菱形ABCD=AB·DH=AC·BD，

即5DH=×8×6，

解得DH=．

故選A．

點(diǎn)評：   

本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，主要利用了菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，難點(diǎn)在于利用菱形的面積的兩種表示方法列出方程．

8. （2015·遼寧省朝陽,第14題3分）如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，則警示牌的高CD為　2.9　米（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：=1.41，=1.73）．

考點(diǎn)：    

勾股定理的應(yīng)用．

分析：    

首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得DM=AM=4m，再根據(jù)勾股定理可得MC²+MB²=（2MC）²，代入數(shù)可得答案．

解答：   

由題意可得：∵AM=4米，∠MAD=45°，

∴DM=4m，

∵AM=4米，AB=8米，

∴MB=12米，

∵∠MBC=30°，

∴BC=2MC，

∴MC²+MB²=（2MC）²，

MC²+12²=（2MC）²，

∴MC=4﹣4≈2.9（米），

故答案為：2.9．

點(diǎn)評：    

此題主要考查了勾股定理得應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．