可樂數學按：作者通過6個具體的例子，介紹了數學與物理之美妙。也談了學習數學和物理的體會。連載之一見上篇。

數學與物理之美妙

可以說，科學家探索真理的一大動機是為了追求美，正如法國數學家龐加萊（Poincare，1854--1912）在《科學與方法》一書中所說的：

科學家之所以研究自然，不是因為這樣做很有用。他們研究自然是因為，他們從研究中得到了樂趣，而他們得到樂趣是因為它美。如果自然不美，它就不值得去探索，生命也不值得存在……我指的是本質上的美，它源于自然各部分和諧的秩序，并且純粹的理智能夠領悟它。

更極端的說法出自英國數學家哈代（Hardy，1877--1947），他在《一個數學家的辨白》中說道：

美是首要的試金石：丑陋的數學不可能永存。

我想舉幾個例子來說明數學與物理之美妙，這些例子曾經震撼了我，或許你們也會有同感。

第一個例子：牛頓（Newton，1642--1727）。

我們先來看一看Newton是怎么說的吧：

我不知道世人怎樣看待我， 可我自己認為， 我好像只是一個在海邊玩耍的孩子，不時為撿到一些比通常更光滑的石子或更美麗的貝殼而歡欣，而展現(xiàn)在我面前的則是完全尚未被探明的真理之海。

這些話是Newton在他漫長的一生行將結束時對自己的評價。 他很謙虛地告訴我們，他其實只是發(fā)現(xiàn)了一些美妙的東西而已，尚未發(fā)現(xiàn)的還無窮無盡。 我們中的大多數或許都感覺不到數學的大海邊有什么“光滑的石子或美麗的貝殼”， 自然也就不會因此而歡欣鼓舞。其實，確實有的。我們舉一個Newton本人發(fā)現(xiàn)的“美麗的貝殼”來說明這一點。很多人都知道Newton發(fā)現(xiàn)了三棱鏡的分光現(xiàn)象，并解釋了使得自然界如此多彩中的顏色之謎， 他描述了這個發(fā)現(xiàn)給他帶來的喜悅：

在1666年初我做了一個三角形的玻璃棱柱鏡，利用它來研究顏色的現(xiàn)象。 為了這個目的。我把房間染成漆黑的。 在窗戶上做一個小孔，讓適量的日光射進來， 我又把棱鏡放在光的入口處，使光能夠折射到對面的墻上去。當我第一次看見由此而產生的鮮明的強烈的光色時， 我感到極大的愉悅。

我相信每一個人見過彩虹的人都會為光的色散而震撼，隱藏在這個美妙現(xiàn)象背后的機制是什么呢？如果你念過大學物理就知道，之所以色散是因為光經過棱鏡后做了傅里葉（Fourier，1768--1830）分解， 就像聲波經過濾波器分解為簡單的諧波一樣；如果你念過量子力學，那么就能夠從原理上解釋這個現(xiàn)象。總之，這個解釋需要數學和物理中非常深刻的東西。

第二個例子，牛頓利用萬有引力定律以及牛頓第二定律推導開普勒的三個定律。這是純粹的數學工作，需要用到微積分。但是，我要告訴你，這絕對是一件了不起的事情，如果一個人學了微積分以后不知道怎么用來完成這個著名的推導，那么他的微積分水平恐怕有折扣。事實上，正是這個例子點燃了某些人的數學火花，20世紀最偉大的數學之一辛格（I. M. Singer，1924--）就是從這里開始他的數學生涯的，在接受別人的問題訪談：“你第一次是如何遭遇數學的”時，他這樣回答（見J. Segel, Recountings: Conversations with MIT Mathematicians (A K Peters, Ltd, 2009)第25頁。）：

當我在高中的時候我就對科學感興趣，而且獲得了密歇根大學的獎學金。在密歇根的頭一年，我覺得沒有什么挑戰(zhàn)性，很失望，當一天和尚撞一天鐘，直到在微積分的課堂上，我們的老師介紹了牛頓如何從他的平方反比定律推導出行星的橢圓軌道。我感覺到，特殊的事情發(fā)生了，是富有智慧與美妙的事情！我現(xiàn)在仍然能感受這一點，而且常常跟那些門外漢說：“只要想一想人類智慧是何等的卓越；在一張紙上就可以演算出行星的軌道！”真是令人難以置信，事實上恰當的說應該是，令人\emph{敬畏}。我為那個推導感到激動；這加強了我投身科學的決定。

我想順便說一說數學與物理的關系。物理是描述現(xiàn)實世界的，怎么描述，需要語言，這就是數學。牛頓創(chuàng)造出微積分就是因為他要論證《自然哲學中的數學原理》中的諸多物理事實?，F(xiàn)在很多學數學的人漸漸忘了數學的緣起，也不重視其應用，這是很可怕的。數學的一個最大的作用在于，它可以對自然界發(fā)現(xiàn)的各種規(guī)律給出一個合乎情理的邏輯上的解釋。它甚至能讓你覺得，從數學上看，自然界的規(guī)律都是天理昭彰、自然而然的。

第三個例子，2010年菲爾茲獎獲得者、法國數學家維拉尼（C\'{e}dric Villani， 1973--）。記者采訪問他在中學的數學學習經歷中有什么特別之處，他這樣回答：

學習了什么是群之類的東西。理解新概念的快樂是至關重要的。我對一個簡單的概念記憶猶新：證明一個函數是一個奇函數和一個偶函數的和。當然，我很容易地解決了這個問題，但是其解出乎意料。我第一次理解了，函數可以不必由公式給出，它可以由其它函數抽象地構造出來。我還記得對另一個定理的驚奇，這個定理說，在一個平行四邊形中，兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和，我被這個恒等式的簡單和美麗迷住了。

注：后面的一個定理歸功于阿波羅尼斯（Apollonius，約公元前262年--190年）。

如果你用解析幾何的辦法來證明這個定理的話，將會發(fā)現(xiàn)證明是平凡的，它無非就是利用一個顯然的代數等式：$(x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)$。

第四個例子，無窮級數之和。無窮級數是高等數學中一個最重要的工具之一，例如前面我們提到的母函數

就是一個無窮級數，同時它也是高中數學中最重要的一個無窮級數。一個有限的版本是：

羅塔教授關于做演講的最后一個基本要求是，要給聽眾一些真正有用的東西，我想我的講演中你可以真正帶回家的就是后面這一個公式。如果你還不滿意，我可以用另一種方式再寫一遍：

20世紀最偉大的數學家之一賽爾伯格（Selberg，1917--2007）在《拉馬努金（Ramanujan，1887-1920） 一百周年誕辰之際的反思》一文中回憶起他在中學時因為偶然看到一個無窮級數給他一生所造成的影響：

這里我要說幾句題外話，因為這反映出機遇在人的一生中起著何等重要——是極大的作用。我大約在13歲開始讀數學。當時，我偶然打開一本書，就看見了~pi/4的萊布尼茲（Leibniz，1646--1716）級數

由奇數的倒數加正負號交錯變化構成。在此之前，學校的數學一直令我乏味，

但是這個式子看起來不僅奇怪而且漂亮，因此我下決心要讀一讀這本書，以便知道這個式子是怎樣得到的。

在南開大學舉行的一次無主題座談會上，陳省身先生被問及這樣的問題：數學之美何在？他如是回答：

世界上美有不同的形態(tài)。藝術有藝術之美， 數學有數學之美。藝術之美， 由范曾兄給大家解答（笑聲）。至于數學之美，大家聽我舉一個例子：

進入了數學殿堂的人看著這個無窮級數， 看到這個公式就覺得很美！ 很美！ 你們看：有限與無限之轉化， 化古今為須臾， 撫四海于一瞬。這是科學之美！ 自然之美！ 宇宙之美??！

第五個例子，博弈論。大概很多人都聽說過數學家納什（John Nash，1928--2015），他是~1994~年諾貝爾經濟學獎的得主。一度因為研究數學走火入魔患上精神病，他的傳奇故事被拍攝成電影《美麗心靈》。

他憑什么工作拿諾貝爾獎呢？大家知道，諾貝爾獎里邊沒有數學獎，但是納什正是憑他早在1950年代的數學工作獲得諾貝爾經濟學獎。他所做的數學屬于博弈論，英文叫game theory。這個博弈論之所以能夠用于經濟學，主要是因為

馮諾依曼的貢獻。Nash~則進一步推進了馮·諾依曼（John von Neumann，1903--1957）的工作。經濟學在20世紀經歷了兩場革命，其中之一就是自1970年以來逐漸成為態(tài)勢的“博弈論革命”，納什的工作是這一發(fā)展的起點。20~世紀著名的諾貝爾經濟學獎得主莎繆爾森（Paul A. Samuelson，1915-2009）曾經說過：

要想在現(xiàn)代社會做一個有文化的人，必須對博弈論有一個大致的了解。}

博弈論的數學思想其實很簡單，我簡單地介紹一下。博弈論認為：人是理性的，在作策略選擇時，每個人都會追求在約束條件下的利益的最大化；同時，各人之間的行為又是互相影響的。當你與人下棋時，你就不得不考慮你的對手對你的決策會做出什么反應。而社會經濟活動就如同下棋一樣。也就是說，在任何交易中，你做決策時必定也要考慮到其他人的決策；另一方面，其他人做決策時也必定要考慮到你的決策。你的行為結果不僅取決于你本人的決策，同時也取決于其他人的決策。這樣，你對你的對手之間就構成了一個博弈。凡是涉及到人群的互動，就存在著博弈，博弈論研究的就是在互動條件下人們的最優(yōu)決策問題。

第六個例子，對偶。我想要說的最后一個例子是對偶（duality）的想法，這個概念涉及到物理學的前沿。

我先舉一個最簡單的例子來說明數學中的對偶，我想要表達的是，對偶可以很具體的說清楚的。

我想舉一個幾何學里的例子：可以認為，在所有的平行四邊形中，矩形和菱形是互為對偶的。這個對偶其實是顯而易見的：將一個矩形各邊的中點依次連接可以得到一個菱形，將一個菱形各邊的中點依次連接可以得到一個矩形。

對偶的概念廣泛地出現(xiàn)在數學和物理中，例如時空對偶（相對論）和電磁對偶，我的體會是，這兩個對偶還有非常緊密的關聯(lián)，或許它們是互相約束的愛因斯坦的相對論與麥克斯韋的方程之間有著深刻的淵源。

對偶的想法在量子力學中有更好的體現(xiàn)。比方說，我們知道，在經典物理中，對于光，有牛頓的粒子說與惠更斯的波動說，這兩種學說一直爭辯不休。然而，隨著量子力學的發(fā)現(xiàn)，人們逐漸接受這樣一個觀點：物質具有波粒二象性，并且波的特性與粒子的特性互為對偶。這是一個很奇妙的事實，連續(xù)的波與離散的粒子可以視為對偶。然而，再仔細想一想，也不會覺得很奇怪，因為在經典物理中，連續(xù)的電磁波與離散的電荷也可以視為對偶。當然，目前并沒有發(fā)現(xiàn)孤立的磁荷，這是當代實驗物理的一個重大課題。

或許我說這話你要覺得奇怪，但事實就是如此：對于電磁對偶，目前我們還缺乏了解。事實上，這是目前理論物理學家很關心的一個問題，從唯象的水平上說，電磁對偶早在法拉第——麥克斯韋的時代就已經理解了，現(xiàn)在大家關心的是，如何對此做出解釋，這個對偶的機制在哪里？物理學家已經發(fā)展起一些非常有前途的理論了，同樣的，涉及到的數學高深莫測。

因為我本人也是“外行看熱鬧”，只能點到為止，有興趣的朋友請自己上網找資料。

學習數學和物理的體會

我不想把這個問題分開談，事實上可以做一個比較。

根據我的學習經驗，物理其實比數學難學。我有時候傾向于相信，學物理的人一般要比學數學的人聰明，反正我在數學系沒有遇見特別聰明的同學，但是物理系的劉云朋則是無可爭辯的聰明人。另外，我發(fā)現(xiàn)，物理學家寫的書好像要比數學家寫的書好懂。（記得楊振寧先生曾講過這樣一句笑話：“數學書有兩種，第一種是你看了第一頁就不想看了，第二種是你看了第一句話就不想看了?！保├?，愛因斯坦，他有三卷《愛因斯坦文集》在中國有中譯本，我們首都師范大學數學院有個老師就對愛因斯坦的表述能力深為嘆服，他說還沒有一個人能有愛因斯坦寫文章說話那么清晰明了，他直接從愛因斯坦的通俗演講中學會了狹義相對論。

在我的情況是，費曼的三卷《物理學講義》讓我可以讀下去。順便提一句，費曼的很多書都有中譯本，你們可以去找來看看，很有意思，也很有啟發(fā)性。例如《發(fā)現(xiàn)的樂趣》、《別鬧了，費曼先生》。雖然費曼的書寫得很好了，但是我還是有問題，因為從前受的數學教育過分形式化， 以至于我讀物理時總是想要嚴格地補充各種瑣碎的細節(jié)。有時候就是被這些細枝末節(jié)干擾了，使得我“只見樹木不見森林”。到目前為止，我學物理還不是很成功，所以我很難給大家提供有價值的建議。對于數學，我已經說過，我學得并不是很好，如果說我分數考得高，那是因為習題做得多的原因。其實我并不聰明，不過我也并不因此而自卑。