特約作者：河北　李紫菡

簡單多面體的外接球問題是立體幾何中的難點(diǎn)也是重要的考點(diǎn)，此類問題最能有效考查考生的空間想象能力，自然受到命題者的青睞．有些同學(xué)對于此類問題的解答，往往不知從何處入手，其實(shí)簡單多面體的外接球問題實(shí)質(zhì)上就是解決球的半徑和確定球心位置的問題，其中球心的確定是關(guān)鍵，抓住球心就抓住了球的位置．為此下面介紹了幾個(gè)解決球類問題的策略，可以快速秒殺各類球的球心．

若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球．也就是說如果一個(gè)定點(diǎn)到一個(gè)簡單多面體的所有頂點(diǎn)的距離都相等，那么這個(gè)定點(diǎn)就是該簡單多面體外接球的球心．深刻理解球的定義，可以得到簡單多面體的一些常見結(jié)論：

1．長方體或正方體的外接球的球心是其體對角線的中點(diǎn)；

2．正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心連線的中點(diǎn)；

3．直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線的中點(diǎn)；

4．正棱錐的外接球球心在其高上，具體位置可通過建立直角三角形運(yùn)用勾股定理計(jì)算得到；

5．若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心．

【小結(jié)】　本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來迅速求解的．

1．正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐、四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐，可將三棱錐補(bǔ)形成長方體或正方體；

2．同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐，可將三棱錐補(bǔ)形成長方體或正方體；

3．若已知棱錐含有線面垂直關(guān)系，則可將棱錐補(bǔ)形成長方體或正方體；

4．若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，則可將三棱錐補(bǔ)形成長方體或正方體．

【小結(jié)】　一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為a、b、c，則可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)形成一個(gè)長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐外接球的直徑．

利用球心O與截面圓圓心O′的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點(diǎn)的連線垂直于弦的性質(zhì)，確定球心．

【小結(jié)】　本題是運(yùn)用公式R²＝r²＋d²求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式．本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實(shí)質(zhì)就是通過尋找外接球的一個(gè)軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究．這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們深思．

來源：《金考卷特快專遞》第6期《微刊》