摘要：《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出10個核心素養(yǎng)，從學生發(fā)展和數(shù)學課程教學的角度理解，數(shù)學核心素養(yǎng)是學生學習數(shù)學應當達成的有特定意義的綜合性能力。數(shù)學核心素養(yǎng)與數(shù)學課程的四方面內容有密切關系。數(shù)學核心素養(yǎng)具有綜合性、階段性和持久性的特征。數(shù)學基本思想統(tǒng)領數(shù)學和數(shù)學教育，數(shù)學核心素養(yǎng)更側重數(shù)學學習的深層次目標，數(shù)學思想方法更強調學習數(shù)學過程中運用的反映一定數(shù)學思想的具有操作性的方法。

關鍵詞:核心素養(yǎng)；小學數(shù)學；數(shù)學思想；數(shù)學思想方法

中圖分類號:G623.5文獻標志碼:A

文章編號:1000-0186(2015)09-0036-04

隨著基礎教育課程改革的不斷深入，人們越來越關注學生素質的培養(yǎng)。就數(shù)學學科而言，更關注學生的數(shù)學素養(yǎng)的提高，特別是有關數(shù)學核心素養(yǎng)的問題更引起廣泛的討論。如何理解數(shù)學核心素養(yǎng)，數(shù)學核心素養(yǎng)與數(shù)學基本思想、數(shù)學思想方法等之間的關系如何，本文試對這些問題談一談自己的理解。

一、對數(shù)學核心素養(yǎng)的理解

數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學學習者在學習數(shù)學或學習數(shù)學某一個領域所應達成的綜合性能力。數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學的教與學過程應當特別關注的基本素養(yǎng)?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》(以下簡稱《標準》）明確提出10個核心素養(yǎng)，即數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創(chuàng)新意識。在《〈義務教育數(shù)學課程教準（2011年版)〉解讀》等一些材料中，曾把這些表述稱為核心概念，但嚴格意義上講，把這些表述稱為'概念'并不合適，它們是思想、方法或者關于數(shù)學的整體理解與把握，是學生數(shù)學素養(yǎng)的表現(xiàn)。因此，把這10個表述稱為數(shù)學核心素養(yǎng)是恰當?shù)?。?shù)學核心素養(yǎng)可以理解為學生學習數(shù)學應當達成的有特定意義的綜合性能力。核心素養(yǎng)不是指具體的知識與技能，也不是一般意義上的數(shù)學能力。核心素養(yǎng)基于數(shù)學知識技能，又高于具體的數(shù)學知識技能。核心素養(yǎng)反映數(shù)學本質與數(shù)學思想，是在數(shù)學學習過程中形成的，具有綜合性、階段性和持久性。數(shù)學核心素養(yǎng)與數(shù)學課程的目標和內容直接相關，對于理解數(shù)學學科本質，設計數(shù)學教學，以及開展數(shù)學評價等有著重要的意義和價值。

'數(shù)學素養(yǎng)是指當前或未來的生活中為滿足個人成為一個會關心、會思考的市民的需要而具備的認識，并理解數(shù)學在自然、社會生活中的地位和能力，作出數(shù)學判斷的能力，以及參與數(shù)學活動的能力。'[1]可見，數(shù)學素養(yǎng)是人們通過數(shù)學的學習建立起來的認識、理解和處理周圍事物時所具備的品質，通常是在人們與周圍環(huán)境產(chǎn)生相互作用時所表現(xiàn)出來的思考方式和解決問題的策略。人們所遇到的問題可能是數(shù)學問題，也可能不是明顯的和直接的數(shù)學問題，而具備數(shù)學素養(yǎng)的人可以從數(shù)學的角度看待問題，可以用數(shù)學的思維方法思考問題，可以用數(shù)學的方法解決問題。比如，人們在超市購物時常常發(fā)現(xiàn)這樣的情境，收銀臺前排了長長的隊等待結賬，而只買一兩樣東西的人也同樣和買多樣東西的人排隊等候。有位數(shù)學家看到這種情境馬上想到，能否考慮為買東西少的人單獨設一個出口，這樣可以免去這些人長時間地等候，會大大提高效率。那么問題就出現(xiàn)了，什么叫買東西少，1件、2件、3件或4件，上限是多少？設定不同件數(shù)會對收銀的整體情況產(chǎn)生什么影響？因此，會想到用統(tǒng)計的方法，收集不同時段買不同件數(shù)東西人的數(shù)量，用這個數(shù)據(jù)可以幫助人們作出判斷。在這個過程中，至少從兩個方面反映面對這樣的情境，具有一定的數(shù)學素養(yǎng)有助于幫助人們提出問題和解決問題。首先是數(shù)感，具有數(shù)感的人會有意識地把一些事情與數(shù)和數(shù)量建立起聯(lián)系，認識到排隊結賬這件事中有數(shù)學問題，人們買東西的數(shù)量(個數(shù)）與結賬的速度有關系。買很少的東西也同樣排很長時間隊，一方面會顯得交款處排很長的隊，另一方面這些只買很少東西的人在心理上會產(chǎn)生焦慮。其次是數(shù)據(jù)分析觀念，解決這個問題時需要數(shù)據(jù)分析觀念，用具體的數(shù)據(jù)說話會有說服力地解決這個問題。從這個例子中可以了解到，具備數(shù)學素養(yǎng)可能有助于人們在具體的情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題。而這個情境本身可能并非有明顯的數(shù)學問題。

《標準》提出的這些數(shù)學核心素養(yǎng)一般與一個或幾個學習領域內容有密切的關系。某些核心素養(yǎng)與單一的學習領域內容相關。例如，數(shù)感、符號意識、運算能力與'數(shù)與代數(shù)'領域直接相關。在學習數(shù)的認識、數(shù)的運算、字母表示數(shù)等內容時與這些核心素養(yǎng)直接聯(lián)系。數(shù)的認識的學習過程有利于形成學生的數(shù)感，數(shù)感的建立有助于學生對數(shù)的理解和把握?？臻g觀念與'圖形與幾何'領域密切相關。學習圖形的認識和圖形的關系等內容應注重學生空間觀念的發(fā)展。學生探索一個正方體有多少個面，怎樣求易拉耀的表面積等內容時都需要空間觀念的支撐。數(shù)據(jù)分析觀念與'統(tǒng)計與概率'領域直接相關，數(shù)據(jù)的收集、整理、呈現(xiàn)和判斷的整體過程是形成學生的數(shù)據(jù)分析觀念的過程。

有些核心素養(yǎng)與幾個領域都有密切的關系，不直接指向某個單一的領域，包括幾何直觀、推理能力和模型思想。幾何直觀在學習圖形與幾何、數(shù)與代數(shù)等領域的內容時都會用到。在解決具體數(shù)學問題時，可以采用畫圖的方法幫助理解數(shù)與代數(shù)問題中的數(shù)量關系。推理能力在幾個領域的學習中都會用到。推理在幾何中經(jīng)常運用，特別是初中階段的平面幾何的證明。在數(shù)與代數(shù)中也常常用到推理。在小學數(shù)學教學中歸納是常用的思維方式。演繹也會經(jīng)常用到，最簡單的在表述一些運算的算理時，其實用到了演擇推理的方法。如在學習'20以內退位減法'時，'看減法，想加法'是用加減之間互為逆運算的方法來算的。而這個過程通常表述為，'因為9 6=15,所以15-9=6'，這里事實上沒有把'加減之間互為逆運算'這個大前提表述出來，加上這個大前提就是一個完整的演繹推理的過程。

模型思想同樣在'數(shù)與代數(shù)''圖形與幾何'以及'統(tǒng)計與概率'中都會用到。如'時、分、秒'可以從建立時間模型的角度理解。方程的學習更是一個建模的過程。數(shù)軸和直角坐標系都是刻畫空間位置的模型。'最簡單的一維幾何模型是一條線，如果在線上標出原點、單位、方向，則稱這樣的線為數(shù)軸?！?span lang='EN-US'>[2]

'實踐意識'與'創(chuàng)新意識'具有綜合性、整體性，在'綜合與實踐'領域中有突出的表現(xiàn)，但不局限于這個方面的內容，應當是貫穿整個小學數(shù)學教育全過程。

二、數(shù)學核心素養(yǎng)的特征

按照上述對數(shù)學核心素養(yǎng)的理解，數(shù)學核心素養(yǎng)具有綜合性、階段性和持久性的特征。

我們不妨用一個與'幾何直觀'有關的例子來說明數(shù)學核心素養(yǎng)的幾個特征。在2013年第十一屆全國小學數(shù)學觀摩課中一節(jié)'分數(shù)乘法'的教學中，要解決的問題是'每小時織圍巾1/5米，1/2小時織多少米？'。教師引導學生用畫圖的方法解決1/5*1/2=。教師引導學生：'如果用一個長方形表示

兩種方法的不同在于第二步，方法1在第二次分的時候仍然是按第一次分的同樣方式把一個小長方形平均分成2份；方法2卻用畫一條小橫線的方式來分。兩種方法看起來沒有差別，但當教師問：為什么得到的結果是1/10的時候，第2種方法就顯得比第1種方法更清楚。一個男生說了一句關鍵性的話'加一個輔助線'，形成下面的情況。

在這個圖中可—地看到1/5的1/2是1/10，也就,1/5*1/2=1/10.

借助上面的案例，我們來分析數(shù)學核心素養(yǎng)的特征。

首先是綜合性。綜合性是指數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學基礎知識、基本能力、數(shù)學思考和數(shù)學態(tài)度等的綜合體現(xiàn)。數(shù)學基礎知識和基本能力可以看等的綜合體現(xiàn)。數(shù)學基礎知識和基本能力可以看作數(shù)學核心素養(yǎng)的外顯表現(xiàn)。在上面用幾何直觀表示分數(shù)乘法的過程中，需要運用分數(shù)的意義、乘法的意義、乘法運算、用圖表示分數(shù)等基礎知識和基本技能。同時，學生要思考用什么樣的方式可以更好地表示出這樣一種數(shù)量關系。這是一種綜合的能力。核心素養(yǎng)總是基于數(shù)學的基礎知識和基本能力實現(xiàn)的，并且外化于運用基礎知識和基本能力解決問題的過程。同時，數(shù)學核心素養(yǎng)也促進數(shù)學基礎知識的深刻理解和數(shù)學基本能力的提升。數(shù)學思考與數(shù)學態(tài)度作為數(shù)學核心素養(yǎng)的內隱特質。核心素養(yǎng)的形成需要對數(shù)學內部和數(shù)學外部之間的各種關系進行深入理解和綜合運用，在這個過程中，數(shù)學的思考能力和思考方式以及數(shù)學態(tài)度起著重要作用，而這種作用往往不是直接看到的，是內隱于解決問題過程之中的。在上面的例子中，教師已經(jīng)事先提示學生，用一個長方形表示一個1米長的圍巾，并事先準備好長方形紙，讓學生來做，以及提示學生先畫什么，再畫什么。如果教師不用這樣的提示，可能學生會作出各種不同的幾何直觀的表示方式。這會顯示出學生不同的思考方式和學習數(shù)學過程中的態(tài)度。

其次是階段性。階段性是指學生的數(shù)學核心素養(yǎng)表現(xiàn)為不同層次水平、不同階段。在上面的例子中，學生用不同的方式表現(xiàn)分數(shù)乘法的過程。分一個長方形的方式和順序不同，表現(xiàn)了學生運用幾何直觀的不同水平。五年級的學生可以在一個圖中表示出兩種不同的數(shù)量關系，并理解它們之間的聯(lián)系。而低年級的學生可能達不到這種水平。在一個圖中只表達一種數(shù)量關系。到了初中，學生可以用更復雜的方式表達數(shù)量關系，幾何直觀的水平會更高。這反映了幾何直觀的不同階段。數(shù)學核心素養(yǎng)的水平和層次劃分，是一個復雜的問題，不同的核心素養(yǎng)也有各自的特點。這將是一個值得深入研究的問題。

最后是持久性。持久性是指數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不僅有助于學生對數(shù)學知識的理解與把握，還是伴隨學生進一步學習，以及將來走向生活和工作的歷程。在上面的例子中，運用圖表等直觀的形式表達復雜數(shù)量關系的能力，作為學生的數(shù)學素養(yǎng)，可以一直伴隨他的學習和生活。學生到中學、大學，乃至走向生活和工作，也會有意識地運用幾何直觀的方式解決問題，包括數(shù)學問題和數(shù)學以外的問題。這體現(xiàn)了這一核心素養(yǎng)的持久性。

三、數(shù)學核心素養(yǎng)與相關概念的關系

與數(shù)學核心素養(yǎng)有著密切關系的還有數(shù)學基本思想、數(shù)學思想方法等概念。按照上述對數(shù)學核心素養(yǎng)的理解，我們可以嘗試分析這幾個概念之間的關系。

數(shù)學基本思想是《標準》提出的'四基'之一，也義務教育階段學生應當達到的重要目標之一。數(shù)學基本思想是數(shù)學科學本質特征的反映，是數(shù)學科學的基石。史寧中認為，數(shù)學基本思想'是數(shù)學發(fā)展所依賴、所依靠的思想'。[3]數(shù)學基本思想是研究數(shù)學科學不可缺少的思想，也是學習數(shù)學，理解和掌握數(shù)學所應追求和達成的目標。'數(shù)學發(fā)展所依賴的思想在本質上有三個：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的。通過抽象，在現(xiàn)實生活中得到數(shù)學的概念和運算法則，通過推理得到數(shù)學的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學與外部世界的聯(lián)系'。[3]把抽象、推理和模型作為數(shù)學的基本思想與數(shù)學具有抽象性、嚴謹性和廣泛的應用性的基本特征是一致的。抽象性就是抽象思想的體現(xiàn)，嚴謹性來自合乎邏輯的推理，廣泛的應用性恰是通過建立數(shù)學模型使數(shù)學與現(xiàn)實中的問題建立聯(lián)系，解決更廣泛的實際問題。對于數(shù)學教育而言，了解數(shù)學科學發(fā)展所依賴的數(shù)學基本思想是必要的，也是最基本的目標。這體現(xiàn)了對數(shù)學學科的基本理解與把握，及對數(shù)學這門學科基本的思維方式的理解。

數(shù)學的思想方法是學習數(shù)學，特別是解決數(shù)學問題所運用的方法。這些方法一般來講是具有一定的可操作性，同時反映數(shù)學的某些思想，不是一般意義上的具體方法。在數(shù)學學習和解決數(shù)學問題過程中，人們形成了一些重要的數(shù)學思想方法，如轉換的思想方法、數(shù)形結合的思想方法、等量替換的思想方法、特殊化的方法、窮舉的方法等。在小學數(shù)學教育中，經(jīng)常運用這些思想方法解決一類數(shù)學問題。如用轉換的思想方法學習平行四邊形面積公式，將平行四邊形轉換成長方形，由長方形的面積=長*寬，得知平行四邊形的面積=底邊*高。用等量替換的方法解方程等。

從上述的理解中，可以嘗試分析這三個概念之間的關系。數(shù)學基本思想是統(tǒng)領整個數(shù)學和數(shù)學教育的思想，對于研究數(shù)學和學習數(shù)學的人都有重要指導意義。同樣，數(shù)學基本思想對數(shù)學核心素養(yǎng)也是上位的具有指導性的?；蛘呖梢岳斫鈹?shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學基本思想在學習某一個或幾個領域內容中的具體表現(xiàn)。數(shù)學思想方法則是體現(xiàn)如何從操作層面上實現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)和體現(xiàn)數(shù)學基本思想的方法或能力。（作者馬云鵬，東北師范大學教育學部，吉林長春130024）

參考文獻：

[1]馬云鵬，張春莉.數(shù)學教育評價[M].北京：高等教育出版社，2003:199.

[2]史寧中.數(shù)學思想概論（第5輯）：自然界中的數(shù)學模型[M].長春：東北師范大學出版社，2012:118.

[3]史寧中.數(shù)學思想概論（第1輯）：數(shù)量與數(shù)量關系的抽象[M].長春：東北師范大學出版社，2008:1.