電磁波滿足麥克斯韋方程，而粒子液體中的密度波滿足歐拉方程。所以電動力學(xué)和流體力學(xué)是兩個(gè)很不同的理論。但在二維空間，這兩個(gè)看起來很不同的理論實(shí)際上是等價(jià)的。這種兩個(gè)看起來很不同的理論的等價(jià)關(guān)系，被稱之為對偶關(guān)系。上面這個(gè)在二維空間的對偶關(guān)系，起源于二維弦液體和粒子液體之間的對偶關(guān)系。但在三維空間，弦液體和粒子液體不再等價(jià)，不再有對偶關(guān)系。但三維弦液體中的波還是由三維麥克斯韋方程描寫，這反映了電磁波的弦液體起源。最近十幾年在弦論中，大家非常熱鬧地探索二維規(guī)范理論和三維量子引力之間的對偶關(guān)系。也許對偶關(guān)系，可以幫助我們建立一個(gè)量子引力的理論。
——文小剛

尤亦莊（加州大學(xué)圣塔芭芭拉分校博士后）

（一）經(jīng)典渦旋的動力學(xué)

渦旋是一種在流體中常見的運(yùn)動形式，它指的是在一定范圍內(nèi)流體圍繞渦旋中心做持續(xù)性的旋轉(zhuǎn)流動。渦旋廣泛地出現(xiàn)在各種尺度上，包括木星上的氣旋和咖啡杯里的漩渦。

圖1 木星上的渦旋和咖啡杯里的渦旋

由于渦旋可以在流體中維持一段時(shí)間，我們可以把它看成一種有限壽命的粒子。我們可以在咖啡杯里制造渦旋：用匙子在杯中劃過，往往就會在尾流上激發(fā)兩個(gè)反向旋轉(zhuǎn)的渦旋。如果找一個(gè)閑暇的下午，坐在咖啡廳里觀察一下渦旋的世界，就會發(fā)現(xiàn)以下一些有趣的物理：(1) 渦旋按照其旋轉(zhuǎn)方向可以分為正渦旋（逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)）和負(fù)渦旋（順時(shí)針旋轉(zhuǎn)）兩種，就好像兩種電量相反的電荷一樣。 (2) 一個(gè)孤立的渦旋總是隨著背景流體一起流動，沒有慣性。也就是說，渦旋是無質(zhì)量的。(3)一對反向旋轉(zhuǎn)的渦旋總是束縛在一起平行運(yùn)動（比如匙子后面的兩個(gè)渦旋會一起脫離匙子，并順著尾流運(yùn)動）。正負(fù)渦旋可以互相湮滅，并釋放旋轉(zhuǎn)的能量（一般是通過粘滯耗散掉了）。這種行為有點(diǎn)類似于由一對正反夸克在一起構(gòu)成了介子，當(dāng)正反夸克對相互湮滅以后，介子就衰變成了光（釋放能量）。

圖2 咖啡匙劃過后激發(fā)一對正反渦旋對，及其受力分析

渦旋的這些特點(diǎn)暗示我們可以把渦旋類比為某種攜帶“電荷”的粒子。這里所謂的電荷，就是渦旋量，它衡量渦旋的旋轉(zhuǎn)程度的大小，并正比于流速場在包圍渦旋的環(huán)路上的線積分：

這個(gè)定義與靜電學(xué)中電荷的高斯定理非常相似，都明顯地帶有拓?fù)涞娘L(fēng)格：也就是說環(huán)路可以形變，但只要不掃過渦旋，渦旋量就不會有差別。這種拓?fù)涞亩x也表明渦旋也是全局的概念：盡管渦旋的中心可以看成點(diǎn)狀的粒子，但渦旋的意義卻蘊(yùn)于中心以外的環(huán)流的流動樣式之中。

如果說渦旋是一種演生的電荷，那么渦旋之間是否也像電荷一樣同性相斥、異性相吸呢？答案是肯定的，同號渦旋之間確實(shí)存在類似于靜電作用的斥力，而相反渦旋之間則表現(xiàn)為引力。這個(gè)演生的靜電作用源于流體的伯努利原理：同一條流線上，流速大的地方壓強(qiáng)小。

圖3 一對渦旋附近的流速場

對于一對同號的渦旋，流速大的地方在渦旋的外側(cè)，因此渦旋受到的壓力向外；而對于一對異號的渦旋，流速大的部分在渦旋之間，因此渦旋受到的壓力向內(nèi)。只不過渦旋之間的這種靜電力并不遵從我們熟知的平方反比律，而是遵循一次方反比律。這是二維與三維世界的一個(gè)重要差別。因?yàn)闇u旋生活在二維的世界里，演生的電場線也只能在兩個(gè)空間維度上散開，這樣電場強(qiáng)度就不會衰減得像在三維空間中那么快，結(jié)果就得到一次方反比的靜電作用。因此，我們看到渦旋不但可以看作演生的電荷，而且它們之間的相互作用也滿足二維世界的庫侖定律。

如果兩個(gè)相反渦旋之間具有所謂的靜電吸引，那么它們?yōu)槭裁床幌耠p星一樣相互繞轉(zhuǎn)呢？這是因?yàn)槌搜萆碾娏?img doc360img-src='http://image95.360doc.com/DownloadImg/2016/03/0113/66922897_8' src="http://image95.360doc.com/DownloadImg/2016/03/0113/66922897_8" img_width="22" img_height="15" alt="咖啡杯里的電磁學(xué)：從渦旋到電與光的起源">，渦旋還受到演生的磁力。也就是說，當(dāng)渦旋在流體中運(yùn)動的時(shí)候，會受到垂直于運(yùn)動方向的偏轉(zhuǎn)力。它的起源與香蕉球的原理相同（旋轉(zhuǎn)的球周圍也存在渦旋，從而導(dǎo)致球的軌跡偏離直線），其效果就像電荷在均勻磁場中運(yùn)動會受到洛倫茲力一樣。所以對于渦旋來說，流體背景就像一個(gè)均勻的磁場一樣，其磁場強(qiáng)度正比于流體的密度。當(dāng)作用在渦旋上的演生電場力和演生磁場力平衡的時(shí)候，就出現(xiàn)了我們看到的咖啡杯里一對相反渦旋在一起平行運(yùn)動的現(xiàn)象（見上文圖中的受力分析）。

我們看到電場和磁場都出現(xiàn)了，那么會出現(xiàn)電磁波嗎？答案仍然是肯定的。如果把渦旋視為演生的電荷，那么演生的電磁波就是流體中的聲波（密度波）。可以證明在二維空間中，電磁波的麥克斯韋方程與聲波的歐拉方程在形式上是完全對偶的。只不過與我們熟知的三維空間有所不同的是，電磁波在二維空間內(nèi)只有一個(gè)橫波模式（光在二維只有一個(gè)垂直于傳播方向的偏振方向），而這一波動模式正好對應(yīng)于聲波在流體中唯一的縱波模式。電動力學(xué)中的電磁感應(yīng)就等價(jià)于流體力學(xué)中的流守恒方程：電磁波中電場和磁場交互激發(fā)的過程，相當(dāng)于是流體中流動（電場）導(dǎo)致密度積累（磁場），而密度積累（磁場）又驅(qū)動新的流動（電場）這樣的過程。綜上所述，我們可以建立如下類比關(guān)系：

渦旋動力學(xué) = 電動力學(xué)

渦旋 = 電荷

流體密度= 磁場

流體速度= 電場

聲波 = 電磁波

通過以上的討論，我們顯示了（二維空間內(nèi)）渦旋在流體中的行為就像電荷在電磁場中的行為一樣。渦旋其實(shí)就是電荷演生的一種最簡單的模型，而流體扮演的角色就像人們曾經(jīng)構(gòu)想的以太一樣：光的媒介。

（二）量子流體與量子渦旋

現(xiàn)在，我們需要從經(jīng)典走向量子。因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)世界中，電荷往往是量子化的，也就是說存在最小的單位電荷（比如電子電荷）。為了從渦旋的角度來理解這件事情，我們需要涉及一點(diǎn)點(diǎn)量子力學(xué)。量子力學(xué)的基本原理就是波粒二象性：波動可以視作粒子，而粒子都有波動的行為。這里的波動是一種波函數(shù)相位隨空間變化的運(yùn)動形式，而量子力學(xué)將這種相位的變化與粒子的動量聯(lián)系在一起：動量 = 平移單位距離所積累的相位。而對于構(gòu)成流體微觀自由度來說，它們的速度與動量成比例，因此也就與相位的空間梯度成比例，可以表達(dá)為。也就是說，在量子流體中，每個(gè)渦旋的背后實(shí)際上是一個(gè)圍繞渦旋中心旋轉(zhuǎn)而改變的相位分布。

圖4 量子流體的流速與相位梯度成正比（不同背景顏色代表不同的相位）

由于波函數(shù)的單值性（也就是說一個(gè)點(diǎn)只能有唯一確定的波函數(shù)取值），這就要求流體環(huán)繞一周以后相位只能相差的整數(shù)倍（因?yàn)?/p>

表示相位轉(zhuǎn)過一周，波函數(shù)恢復(fù)原來的取值），也就是說渦旋量只能是一個(gè)基本單位的整數(shù)倍。這個(gè)最小單位就是環(huán)繞一圈相位改變一周的渦旋，稱為量子渦旋。量子渦旋是量子流體波函數(shù)的拓?fù)淦娈慄c(diǎn)，圍繞這些奇異點(diǎn)，波函數(shù)的相位將有一個(gè)周期的改變。在量子流體中，渦旋只能一個(gè)一個(gè)單位地激發(fā)，而比量子渦旋更小的渦旋將導(dǎo)致波函數(shù)的出現(xiàn)割線而不被量子力學(xué)所允許。按照我們之前所做的類比，渦旋量代表演生的電荷量，那么量子渦旋就提供了關(guān)于電荷量子化的一種自然的理解：如果渦旋必須一個(gè)一個(gè)激發(fā)，那么電荷也是一樣的。這就在某種程度上解釋了電荷存在基本單位的量子力學(xué)原因（至少對二維空間的情形而言）。

量子渦旋的中心是由整個(gè)背景的相位分布的圖樣決定的，也就是說關(guān)于渦旋在哪里的信息實(shí)際上是散布在整個(gè)量子流體的背景中的。這是一個(gè)令人驚訝的觀念，也就是說粒子的定義不來自于自身而來自于整個(gè)真空的集體作用。這正反映了還原論和演生論兩種不同思路的對比。在還原論的觀念中，真空只不過是舞臺，而粒子才是舞臺上的主角；而在演生論的觀念看來，真空不但積極地參與了粒子建構(gòu)，而且實(shí)際上決定了粒子的行為。而粒子本身的意義反而變得模糊，或者說粒子只是作為真空的運(yùn)動模式的物化體現(xiàn)。而這種運(yùn)動模式的具體規(guī)律則由真空的序（組織方式）決定，這也就是凝聚態(tài)物理的核心觀念：序決定激發(fā)，真空決定粒子。

（三）奇異弦與弦網(wǎng)凝聚

為了更加明確地看出量子渦旋的非局域本質(zhì)，我們需要提取量子流體相位分布背后所隱含的結(jié)構(gòu)。下圖顯示了包含有許多量子渦旋的相位分布，其中以+/-標(biāo)記渦旋的符號。

圖5 相位分布中的奇異弦結(jié)構(gòu)

我們將所有的零相位線標(biāo)出，并且以箭頭標(biāo)明方向（從正渦旋發(fā)出而收于負(fù)渦旋）?？梢钥吹竭@些線總是連接一對正負(fù)渦旋（或者延伸到無限遠(yuǎn)去），它們就是量子渦旋之間看不見的奇異弦。在奇異弦的刻畫下，原先光怪陸離的相位分布背后的結(jié)構(gòu)立刻變得清晰明了：每次跨過奇異弦，相位就變化一周，至于是增加還是減少取決于奇異弦的方向與跨越方向之間是右手還是左手關(guān)系。在這個(gè)圖像下，量子渦旋獲得了一個(gè)更加深刻的含義：它們是奇異弦的末端！隱藏在相位結(jié)構(gòu)中的奇異弦明確地表達(dá)出了渦旋的非局域本質(zhì)：它們是量子流體的拓?fù)浼ぐl(fā)。

將粒子理解為開弦的末端，這種思路始于超弦理論，并且產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響：物理學(xué)不再局限于對點(diǎn)狀對象（粒子）的研究，而是拓展到了線、面等更加高維的延展幾何對象（比如弦、膜等）。而從量子渦旋到奇異弦的這一拓展并不僅僅是理論家的一種數(shù)學(xué)游戲，它代表了從“面向?qū)ο蟆钡奈锢韺W(xué)到“面向關(guān)系”的物理學(xué)這樣一種風(fēng)格上的轉(zhuǎn)變。在面向?qū)ο蟮奈锢韺W(xué)中，我們關(guān)注的是流體中看得見的一個(gè)個(gè)渦旋；而在面向關(guān)系的物理學(xué)中，我們強(qiáng)調(diào)的是渦旋之間的一種看不見的關(guān)系（奇異弦），而且更進(jìn)一步，我們甚至可以而且應(yīng)該用這個(gè)關(guān)系來定義渦旋。也就是說，渦旋是作為奇異弦的末端存在的！是奇異弦的關(guān)系定義了渦旋的意義。

對于由渦旋演生電荷來說，奇異弦就相當(dāng)于演生的電場線：電荷是作為電場線的末端而存在的。量子化的電場線就給出量子化的電荷。這些電場線在量子漲落的作用下，不斷地在空間中扭動變形，而且真空中也充滿了漲落的電場線閉弦，這種狀態(tài)被稱為弦網(wǎng)凝聚，對應(yīng)于我們熟知的解禁閉的電動力學(xué)。漲落的電場線同時(shí)也傳遞了電荷之間的相互作用，這等價(jià)于在量子場論中由光子傳遞的電磁相互作用，因此電場線的漲落模式就是演生的光子。研究還表明，電荷的費(fèi)米統(tǒng)計(jì)也可以由弦網(wǎng)凝聚自然地給出，從而得到演生的電子。如果假定我們的真空是弦網(wǎng)凝聚體，那么電子和光子就有一種很簡單的圖像：光子是弦的震蕩，而電子則是弦的末端。這樣看來，宇宙的圖景就像一鍋巨大的面湯，充滿了流動的面條。我想飛面神教（Flying Spaghetti Monster）的信眾們也許會很欣賞這樣的看法。

量子電動力學(xué)與（量子）弦論的這種等價(jià)關(guān)系被稱為規(guī)范-弦對偶。而另一方面，某些弦論的經(jīng)典動力學(xué)自然地是引力理論，或者說是關(guān)于時(shí)空幾何的動力學(xué)理論，就像廣義相對論一樣。這實(shí)際上就建立了規(guī)范理論和引力理論的一種對應(yīng)關(guān)系，比如AdS/CFT全息對偶就是一個(gè)廣為人知的例子。特別是最近幾年來，類似的全息對偶關(guān)系在凝聚態(tài)物理領(lǐng)域也激起了廣泛的興趣。人們希望借助AdS空間的引力理論，來理解其邊界上強(qiáng)耦合的量子多體系統(tǒng)。或者反過來從邊界上的量子糾纏結(jié)構(gòu)，來考察時(shí)空幾何的演生。在歷史上，高能物理曾經(jīng)多次與凝聚態(tài)物理攜手共進(jìn)，每一次都取得了輝煌的成就，比如對稱自發(fā)破缺以及重整化群理論的發(fā)展，那么在今天蓬勃興起的關(guān)于全息對偶的研究會不會是他們第三次成功的合作呢？讓我們拭目以待。