機器學(xué)習(xí)系列】斯坦福課程——欠擬合與過擬合概念

欠擬合與過擬合概念

本次課程大綱：

1、  局部加權(quán)回歸：線性回歸的變化版本

2、  概率解釋：另一種可能的對于線性回歸的解釋

3、  Logistic回歸：基于2的一個分類算法

4、  感知器算法：對于3的延伸，簡要講

復(fù)習(xí)：

 –第i個訓(xùn)練樣本

令，以參數(shù)向量為條件，對于輸入x，輸出為：

n為特征數(shù)量

定義成本函數(shù)J，定義為：

m為訓(xùn)練樣本

通過正規(guī)方程組推導(dǎo)的結(jié)論：

1、 過擬合與欠擬合

通常，你選擇交給學(xué)習(xí)算法處理的特征的方式對算法的工作過程有很大影響。

例：上次課的例子中，用x1表示房間大小。通過線性回歸，在橫軸為房間大小，縱軸為價格的圖中，畫出擬合曲線。回歸的曲線方程為：

若定義特征集合為：x1表示房子大小，x2表示房子大小的平方，使用相同的算法，擬合得到一個二次函數(shù)，在圖中即為一個拋物線，即：

以此類推，若訓(xùn)練集有7個數(shù)據(jù)，則可擬合出最高6次的多項式，可以找到一條完美的曲線，該曲線經(jīng)過每個數(shù)據(jù)點。但是這樣的模型又過于復(fù)雜，擬合結(jié)果僅僅反映了所給的特定數(shù)據(jù)的特質(zhì)，不具有通過房屋大小來估計房價的普遍性。而線性回歸的結(jié)果可能無法捕獲所有訓(xùn)練集的信息。

所以，對于一個監(jiān)督學(xué)習(xí)模型來說，過小的特征集合使得模型過于簡單，過大的特征集合使得模型過于復(fù)雜。

對于特征集過小的情況，稱之為欠擬合（underfitting）；

對于特征集過大的情況，稱之為過擬合（overfitting）

解決此類學(xué)習(xí)問題的方法：

1)       特征選擇算法：一類自動化算法，在這類回歸問題中選擇用到的特征

2)       非參數(shù)學(xué)習(xí)算法：緩解對于選取特征的需求，引出局部加權(quán)回歸

參數(shù)學(xué)習(xí)算法（parametric learning algorithm）

定義：參數(shù)學(xué)習(xí)算法是一類有固定數(shù)目參數(shù)，以用來進行數(shù)據(jù)擬合的算法。設(shè)該固定的參數(shù)集合為。線性回歸即使參數(shù)學(xué)習(xí)算法的一個例子

非參數(shù)學(xué)習(xí)算法（Non-parametric learning algorithm）

定義：一個參數(shù)數(shù)量會隨m（訓(xùn)練集大?。┰鲩L的算法。通常定義為參數(shù)數(shù)量雖m線性增長。換句話說，就是算法所需要的東西會隨著訓(xùn)練集合線性增長，算法的維持是基于整個訓(xùn)練集合的，即使是在學(xué)習(xí)以后。

2、  局部加權(quán)回歸（Locally Weighted Regression）

一種特定的非參數(shù)學(xué)習(xí)算法。也稱作Loess。

算法思想：

假設(shè)對于一個確定的查詢點x，在x處對你的假設(shè)h(x)求值。

對于線性回歸，步驟如下：

1)       擬合出，使最小

2)       返回

對于局部加權(quán)回歸，當(dāng)要處理x時：

1)       檢查數(shù)據(jù)集合，并且只考慮位于x周圍的固定區(qū)域內(nèi)的數(shù)據(jù)點

2)       對這個區(qū)域內(nèi)的點做線性回歸，擬合出一條直線

3)       根據(jù)這條擬合直線對x的輸出，作為算法返回的結(jié)果

用數(shù)學(xué)語言描述即：

1)       擬合出，使最小

2)       w為權(quán)值，有很多可能的選擇，比如：

-          其意義在于，所選取的x(i)越接近x，相應(yīng)的w(i)越接近1；x(i)越遠離x，w(i)越接近0。直觀的說，就是離得近的點權(quán)值大，離得遠的點權(quán)值小。

-          這個衰減函數(shù)比較具有普遍意義，雖然它的曲線是鐘形的，但不是高斯分布。

-          被稱作波長函數(shù)，它控制了權(quán)值隨距離下降的速率。它越小，鐘形越窄，w衰減的很快；它越大，衰減的就越慢。

3)       返回

總結(jié)：對于局部加權(quán)回歸，每進行一次預(yù)測，都要重新擬合一條曲線。但如果沿著x軸對每個點都進行同樣的操作，你會得到對于這個數(shù)據(jù)集的局部加權(quán)回歸預(yù)測結(jié)果，追蹤到一條非線性曲線。

*局部加權(quán)回歸的問題：

由于每次進行預(yù)測都要根據(jù)訓(xùn)練集擬合曲線，若訓(xùn)練集太大，每次進行預(yù)測的用到的訓(xùn)練集就會變得很大，有方法可以讓局部加權(quán)回歸對于大型數(shù)據(jù)集更高效，詳情參見Andrew Moore的關(guān)于KD-tree的工作。

3、 概率解釋

概率解釋所解決的問題：

在線性回歸中，為什么選擇最小二乘作為計算參數(shù)的指標(biāo)，使得假設(shè)預(yù)測出的值和真正y值之間面積的平方最小化？

我們提供一組假設(shè)，證明在這組假設(shè)下最小二乘是有意義的，但是這組假設(shè)不唯一，還有其他很多方法可以證明其有意義。

（1）      假設(shè)1：

假設(shè)輸入與輸出為線性函數(shù)關(guān)系，表示為：

其中，為誤差項，這個參數(shù)可以理解為對未建模效應(yīng)的捕獲，如果還有其他特征，這個誤差項表示了一種我們沒有捕獲的特征，或者看成一種隨機的噪聲。

假設(shè)服從某個概率分布，如高斯分布（正態(tài)分布）：，表示一個均值是0，方差是的高斯分布。

高斯分布的概率密度函數(shù)：

根據(jù)上述兩式可得：

即，在給定了特征與參數(shù)之后，輸出是一個服從高斯分布的隨機變量,可描述為：

*為什么選取高斯分布？

1)         便于數(shù)學(xué)處理

2)         對絕大多數(shù)問題，如果使用了線性回歸模型，然后測量誤差分布，通常會發(fā)現(xiàn)誤差是高斯分布的。

3)         中心極限定律：若干獨立的隨機變量之和趨向于服從高斯分布。若誤差有多個因素導(dǎo)致，這些因素造成的效應(yīng)的總和接近服從高斯分布。

注意：并不是一個隨機變量，而是一個嘗試估計的值，就是說它本身是一個常量，只不過我們不知道它的值，所以上式中用分號表示。分號應(yīng)讀作“以…作為參數(shù)”，上式讀作“給定x(i)以為參數(shù)的y(i)的概率服從高斯分布”。

假設(shè)每個 為IID（independently and identically distributed）獨立同分布

即誤差項彼此之間是獨立的，并且他們服從均值和方差相同的高斯分布

（2）      假設(shè)2：

設(shè)的似然性為（即給定x(i)以為參數(shù)的y(i)的概率）：

由于是獨立同分布，所以上式可寫成所有分布的乘積：

（3）      假設(shè)3：

極大似然估計：選取使似然性最大化（數(shù)據(jù)出現(xiàn)的可能性盡可能大）

定義對數(shù)似然函數(shù)為：

上式兩個加項，前一項為常數(shù)。所以，使似然函數(shù)最大，就是使后一項最小，即：

這一項就是之前的 ，由此得證，即之前的最小二乘法計算參數(shù)，實際上是假設(shè)了誤差項滿足高斯分布，且獨立同分布的情況，使似然最大化來計算參數(shù)。

注意：高斯分布的方差對最終結(jié)果沒有影響，由于方差一定為正數(shù)，所以無論取什么值，最后結(jié)果都相同。這個性質(zhì)會在下節(jié)課講到。

4、 Logistic回歸

這是我們要學(xué)習(xí)的第一個分類算法。之前的回歸問題嘗試預(yù)測的變量y是連續(xù)變量，在這個分類算法中，變量y是離散的，y只取{0,1}兩個值。

一般這種離散二值分類問題用線性回歸效果不好。比如x<=3，y=0；x>3，y=1，那么當(dāng)x>3的樣本占得比例很大是，線性回歸的直線斜率就會越來越小，y=0.5時對應(yīng)的x判決點就會比3大，造成預(yù)測錯誤。

若y取值{0,1}，首先改變假設(shè)的形式，使假設(shè)得到的值總在[0,1]之間，即：

所以，選取如下函數(shù)：

其中：

g函數(shù)一般被稱為logistic函數(shù)，圖像如下：

z很小時，g(z)趨于0，z很大時，g(z)趨于1，z=0時，g(z)=0.5

對假設(shè)的概率解釋：

假設(shè)給定x以為參數(shù)的y=1和y=0的概率：

可以簡寫成：

參數(shù)的似然性：

求對數(shù)似然性：

為了使似然性最大化，類似于線性回歸使用梯度下降的方法，求對數(shù)似然性對的偏導(dǎo)，即：

因為求最大值，此時為梯度上升。

偏導(dǎo)數(shù)展開：

則：

即類似上節(jié)課的隨機梯度上升算法，形式上和線性回歸是相同的，只是符號相反，為logistic函數(shù)，但實質(zhì)上和線性回歸是不同的學(xué)習(xí)算法。

5、 感知器算法

在logistic方法中，g(z)會生成[0,1]之間的小數(shù)，但如何是g(z)只生成0或1？

所以，感知器算法將g(z)定義如下：

同樣令，和logistic回歸的梯度上升算法類似，學(xué)習(xí)規(guī)則如下：

盡管看起來和之前的學(xué)習(xí)算法類似，但感知器算法是一種非常簡便的學(xué)習(xí)算法，臨界值和輸出只能是0或1，是比logistic更簡單的算法。后續(xù)講到學(xué)習(xí)理論是，會將其作為基本的構(gòu)造步驟。