【本講主要內(nèi)容】

    拋物線的定義及相關(guān)概念、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的幾何性質(zhì) 

【知識(shí)掌握】

【知識(shí)點(diǎn)精析】

    1. 拋物線定義：

    平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線，定點(diǎn)不在定直線上。它與橢圓、雙曲線的第二定義相仿，僅比值（離心率e）不同，當(dāng)e＝1時(shí)為拋物線，當(dāng)0<e<1時(shí)為橢圓，當(dāng)e>1時(shí)為雙曲線。

    2. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，參數(shù)的幾何意義，是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，掌握不同形式方程的幾何性質(zhì)（如下表）：

其中為拋物線上任一點(diǎn)。

    3. 對(duì)于拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為，以簡(jiǎn)化運(yùn)算。

    4. 拋物線的焦點(diǎn)弦：設(shè)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，直線與的斜率分別為，直線的傾斜角為，則有，，，，，，。

    說(shuō)明：

    1. 求拋物線方程時(shí)，若由已知條件可知曲線是拋物線一般用待定系數(shù)法；若由已知條件可知曲線的動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律一般用軌跡法。

    2. 凡涉及拋物線的弦長(zhǎng)、弦的中點(diǎn)、弦的斜率問(wèn)題時(shí)要注意利用韋達(dá)定理，能避免求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜運(yùn)算。

    3. 解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)。

【解題方法指導(dǎo)】

    例1. 已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，且與圓相交的公共弦長(zhǎng)等于，求此拋物線的方程。

解析：設(shè)所求拋物線的方程為或

設(shè)交點(diǎn)（y₁>0）

則，∴，代入得

∴點(diǎn)在上，在上

∴或，∴

故所求拋物線方程為或。

  例2. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且∥軸，證明直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。

解析：證法一：由題意知拋物線的焦點(diǎn)

故可設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線的方程為

    由，消去得

    設(shè)，則

    ∵∥軸，且在準(zhǔn)線上

    ∴點(diǎn)坐標(biāo)為

    于是直線的方程為

    要證明經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，只需證明，即證

    注意到知上式成立，故直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。

    證法二：同上得。又∵∥軸，且在準(zhǔn)線上，∴點(diǎn)坐標(biāo)為。于是，知三點(diǎn)共線，從而直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。

    證法三：如圖，

    設(shè)軸與拋物線準(zhǔn)線交于點(diǎn)，過(guò)作，是垂足

    則∥∥，連結(jié)交于點(diǎn)，則

    又根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，

    ∴

    因此點(diǎn)是的中點(diǎn)，即與原點(diǎn)重合，∴直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。

    評(píng)述：本題考查拋物線的概念和性質(zhì)，直線的方程和性質(zhì)，運(yùn)算能力和邏輯推理能力。其中證法一和二為代數(shù)法，證法三為幾何法，充分運(yùn)用了拋物線的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，更為巧妙。

【考點(diǎn)突破】

【考點(diǎn)指要】

    拋物線部分是每年高考必考內(nèi)容，考點(diǎn)中要求掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)，多出現(xiàn)在選擇題和填空題中，主要考查基礎(chǔ)知識(shí)、基礎(chǔ)技能、基本方法，分值大約是５分。

    考查通常分為四個(gè)層次：

    層次一：考查拋物線定義的應(yīng)用；

    層次二：考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法；

    層次三：考查拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用；

    層次四：考查拋物線與平面向量等知識(shí)的綜合問(wèn)題。

    解決問(wèn)題的基本方法和途徑：待定系數(shù)法、軌跡方程法、數(shù)形結(jié)合法、分類討論法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法。

【典型例題分析】

  例3. （2006江西）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（    ）

A.                 B.                

C.                 D.

    答案：Ｂ

    解析：解法一：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則

           ，

    解得或（舍），代入拋物線可得點(diǎn)的坐標(biāo)為。

    解法二：由題意設(shè)，則，

    即，，求得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為。

    評(píng)述：本題考查了拋物線的動(dòng)點(diǎn)與向量運(yùn)算問(wèn)題。

  例4. （2006安徽）若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為（    ）

    A. －2                  B. 2               C. －4                  Ｄ. 4

    答案：D

    解析：橢圓的右焦點(diǎn)為，所以拋物線的焦點(diǎn)為，則。

    評(píng)述：本題考查拋物線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的基本量的關(guān)系。

【達(dá)標(biāo)測(cè)試】

一. 選擇題：

1. 拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)的值是（    ）

    A.                    B.                    C.                 D.

2. 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)在軸上，又拋物線上的點(diǎn)，與焦點(diǎn)的距離為4，則等于（    ）

    A. 4               B. 4或－4                    C. －2                  D. －2或2

3. 焦點(diǎn)在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（    ）

    A.                           B. 或

    C.                              D. 或

4. 圓心在拋物線上，并且與拋物線的準(zhǔn)線及軸都相切的圓的方程為（    ）

    A.                     B.

    C.                     D.

5. 正方體的棱長(zhǎng)為１，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方差為１，則點(diǎn)的軌跡是（    ）

    A. 拋物線             B. 雙曲線          C. 直線                D. 以上都不對(duì)

6. 已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到此拋物線準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（　　　）

    A. 5               B. 4               C.              D.

7. 已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的最小值是（    ）

    A.                    B. 4        C.                    D. 5

8. 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值是（    ）

    A. 12                    B. －12                C. 3               D. －3

二. 填空題：

9. 已知圓和拋物線的準(zhǔn)線相切，則的值是＿＿＿＿＿。

10. 已知分別是拋物線上兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的垂心恰好是此拋物線的焦點(diǎn)，則直線的方程為＿＿＿＿＿。

11. 過(guò)點(diǎn)（0，1）的直線與交于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則＿＿＿。

12. 已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，那么線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是＿＿＿＿＿。

三. 解答題：

13. 已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是5，求拋物線的方程。

14. 過(guò)點(diǎn)（4，1）作拋物線的弦，恰被所平分，求所在直線方程。

15. 設(shè)點(diǎn)F（1，0），M點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且。

    ⑴當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；

    ⑵設(shè)是曲線上的三點(diǎn)，且成等差數(shù)列，當(dāng)的垂直平分線與軸交于E（3，0）時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)。

【綜合測(cè)試】

一. 選擇題：

1. （2005上海）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線（    ）

    A. 有且僅有一條                       B. 有且僅有兩條

    C. 有無(wú)窮多條                           D. 不存在

2. （2005江蘇）拋物線上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（   ）

    A.                   B.            C.             D. 0

3. （2005遼寧）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為，若它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線與拋物線的交點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是（    ）

    A.              B.         C.              D. 21

4. （2005全國(guó)Ⅰ）已知雙曲線的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線的離心率為（    ）

    A.                 B.                    C.          D.

5. （2004全國(guó)）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是（    ）

    A.                B.             C.           D.

6. （2006山東）動(dòng)點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，為原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)取得最小值，則的最小值為（    ）

    A.         B.         C.         D.

7. （2004北京）在一只杯子的軸截面中，杯子內(nèi)壁的曲線滿足拋物線方程，在杯內(nèi)放一個(gè)小球，要使球觸及杯子的底部，則該球的表面積的取值范圍是（    ）

    A.            B.             C.            D.

8. （2005北京）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，直線與該拋物線相交于兩點(diǎn)，則點(diǎn)及點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離之和為（   ）

    A. 8               B. 7               C. 10                    D. 12

二. 填空題：

9. （2004全國(guó)Ⅳ）設(shè)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸的距離之和的最小值是＿＿＿＿＿。

10. （2005北京）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且垂直于軸的弦為，以為直徑的圓為，則圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是＿＿＿＿＿，圓的面積是＿＿＿＿＿。

11. （2005遼寧）已知拋物線的一條弦，，所在直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），則＿＿＿＿＿。

12. （2004黃岡）已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上，現(xiàn)將拋物線沿向量進(jìn)行平移，且使得拋物線的焦點(diǎn)沿直線移到點(diǎn)處，則平移后所得拋物線被軸截得的弦長(zhǎng)＿＿＿＿＿。

三. 解答題：

13. （2004山東）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為，直線過(guò)定點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)。

    ⑴若以弦為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn)，求的值；

    ⑵在⑴的條件下，若，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

14. （2005四川）

    如圖，是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，的最小值為8。

    ⑴求拋物線方程；

    ⑵若為坐標(biāo)原點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)，使過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且，若存在，求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

15. （2005河南）已知拋物線，為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)，動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)。若總存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得。

    ⑴求；

    ⑵求滿足的點(diǎn)的軌跡方程。