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梅涅勞斯（Menelaus）定理是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于F、D、E點(diǎn)，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。 證明一： 過(guò)點(diǎn)A作AG∥BC交DF的延長(zhǎng)線于G, 則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1 證明二： 過(guò)點(diǎn)C作CP∥DF交AB于P，則BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)F、D、E分別在△ABC的邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線上，且滿足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。利用這個(gè)逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線。 證明三： 過(guò)ABC三點(diǎn)向三邊引垂線AA'BB'CC'， 所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA' 所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 ABC為三個(gè)頂點(diǎn)，DEF為三個(gè)分點(diǎn) (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 （頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）=1 空間感好的人可以這么記：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1 為了說(shuō)明問(wèn)題，并給大家一個(gè)深刻印象，我們假定圖中的A、B、C、D、E、F是六個(gè)旅游景點(diǎn)，各景點(diǎn)之間有公路相連。我們乘直升機(jī)飛到這些景點(diǎn)的上空， 然后選擇其中的任意一個(gè)景點(diǎn)降落。我們換乘汽車(chē)沿公路去每一個(gè)景點(diǎn)游玩，最后回到出發(fā)點(diǎn)，直升機(jī)就停在那里等待我們回去。 我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“游歷”了所有的景點(diǎn)。只“路過(guò)”而不停留觀賞的景點(diǎn)，不能算是“游歷”。 例如直升機(jī)降落在A點(diǎn)，我們從A點(diǎn)出發(fā)，“游歷”了其它五個(gè)字母所代表的景點(diǎn)后，最終還要回到出發(fā)點(diǎn)A。 另外還有一個(gè)要求，就是同一直線上的三個(gè)景點(diǎn)，必須連續(xù)游過(guò)之后，才能變更到其它直線上的景點(diǎn)。 從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案共有四種，下面逐一說(shuō)明： 方案 ① ——從A經(jīng)過(guò)B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后經(jīng)過(guò)B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后從E經(jīng)過(guò)C（不停留）回到出發(fā)點(diǎn)A。 按照這個(gè)方案，可以寫(xiě)出關(guān)系式： ?。ˋF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。 現(xiàn)在，您知道應(yīng)該怎樣寫(xiě)“梅涅勞斯定理”的公式了吧。 從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案還有： 方案 ② ——可以簡(jiǎn)記為：A→B→F→D→E→C→A，由此可寫(xiě)出以下公式： （AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。從A出發(fā)還可以向“C”方向走，于是有： 方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可寫(xiě)出公式： （AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。 從A出發(fā)還有最后一個(gè)方案： 方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此寫(xiě)出公式： （AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。 我們的直升機(jī)還可以選擇在B、C、D、E、F任一點(diǎn)降落，因此就有了圖中的另外一些公式。 值得注意的是，有些公式中包含了四項(xiàng)因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項(xiàng)。當(dāng)直升機(jī)降落在B點(diǎn)時(shí)，就會(huì)有四項(xiàng)因式。而在C點(diǎn)和F點(diǎn)，既會(huì)有三項(xiàng)的公式，也會(huì)有四項(xiàng)的公式。公式為四項(xiàng)時(shí)，有的景點(diǎn)會(huì)游覽了兩次。 不知道梅涅勞斯當(dāng)年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個(gè)典型的公式給我們看看。 還可以從逆時(shí)針來(lái)看，從第一個(gè)頂點(diǎn)到逆時(shí)針的第一個(gè)交點(diǎn)比上到下一個(gè)頂點(diǎn)的距離，以此類(lèi)推，可得到三個(gè)比例，它們的乘積為1. 現(xiàn)在是否可以說(shuō)，我們對(duì)梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢。那些復(fù)雜的相除相乘的關(guān)系式，不會(huì)再寫(xiě)錯(cuò)或是記不住吧。 |
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來(lái)自： 王虎應(yīng)六爻求真 > 《平面幾何》
