正弦定理習(xí)題精選精講

月光使者1991 2015-12-13

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正、余弦定理的五大命題熱點(diǎn)

正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形類型的重要工具，其主要作用是將已知條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系。在近年高考中主要有以下五大命題熱點(diǎn)：一、求解斜三角形中的基本元素

是指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個(gè)元素問題，進(jìn)而求出三角形的三線(高線、角平分線、中線)及周長等基本問題．例1(2005年全國高考江蘇卷) ?ABC中，A?

，BC＝3，則?ABC的周長為（）

A．43sin?B?

3 B．43sin?B???3C．6sin?B???3 D．6sin?B???3 3?6?3?6????

分析：由正弦定理，求出b及c，或整體求出b＋c，則周長為3＋b＋c而得到結(jié)果．解：由正弦定理得：

3sin

bsinB

csinC

b?csinB?sinC

b?c

sinB?sin(

2?3?B)

，

得b＋c

＝B＋sin(

2?3

－B)]＝6sin(B?

)．故三角形的周長為：3＋b＋c＝6sin?B???3，故選(D)． 66??

，周長應(yīng)為3

評(píng)注：由于本題是選擇題也可取△ABC為直角三角形時(shí)，即B＝

3＋3，故排除(A)、(B)、(C)．而選(D)．

例2(2005年全國高考湖北卷) 在ΔABC中，已知AB?

463

,cosB?

，AC邊上的中線BD=

5，求sinA的值．

分析：本題關(guān)鍵是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．

解：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接DE，則DE//AB，且DE?

AB?

263

，設(shè)BE＝在ΔBDE中利用余弦定理可得：BD

ED?2BE?EDcosBED， 73

5?x?

263

x，解得x?1，x??

故BC=2，從而AC?AB?BC?2AB?BCcosB?

222

283

，即AC?

221

sinB?

306

，

故

2sinA

sinA?

二、判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀．

例3(2005年北京春季高考題)在?ABC中，已知2sinAcosB?sinC，那么?ABC一定是（） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形解法1：由2sinAcosB?sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，

即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故選(B)．

解法2：由題意，得cosB＝

sinC2sinA

c2a

，再由余弦定理，得cosB＝

a?c?b

2ac

222

．

∴

a?c?b

2ac

222

＝

c2a

，即a＝b，得a＝b，故選(B)．

評(píng)注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：⑴統(tǒng)一化為角，再判斷(如解法1)，⑵統(tǒng)一化為邊，再判斷(如解法2)．三、解決與面積有關(guān)問題

主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來解題．

例4(2005年全國高考上海卷) 在?ABC中，若?A?120，AB?5，BC?7，

則?ABC的面積S＝?

分析：本題只需由余弦定理，求出邊AC，再運(yùn)用面積公式S＝

AB·ACsinA即可解決．

解：由余弦定理，得cosA＝

AB?AC?BC

2AB?AC

1534

25?AC?4910?AC

，解得AC＝3．

∴ S＝

AB·ACsinA＝．∴ AB·AC·sinA＝AC·h，得h＝AB· sinA＝

322

，故選(A)．

四、求值問題

例5(2005年全國高考天津卷) 在?ABC中，?A、?B、?C所對(duì)的邊長分別為a、b、c，設(shè)a、b、c滿足條件b

c?bc?a和

3，求?A和tanB的值．

分析：本題給出一些條件式的求值問題，關(guān)鍵還是運(yùn)用正、余弦定理．解：由余弦定理cosA?

b?c?a

2bc

222

，因此，?A?60?

在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.

由已知條件，應(yīng)用正弦定理

sinCsinB

sin(120??B)

sinB

sin120?cosB?cos120?sinB

sinB

cotB?

,解得cotB?2,從而tanB?

五、正余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用

利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)，例析如下：（一.）測量問題

例1 如圖1所示，為了測河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的寬度。

分析：求河的寬度，就是求△ABC在AB邊上的高，而在河的一邊，已測出AB長、∠CAB、∠CBA，這個(gè)三角形可確定。

解析：由正弦定理得∵S?ABC?

ACsin?CBA

ABsin?ACB12

，∴AC=AB=120m，又

圖1

AB?ACsin?CAB?AB?CD，解得CD=60m。

點(diǎn)評(píng)：雖然此題計(jì)算簡單，但是意義重大，屬于“不過河求河寬問題”。（二.）遇險(xiǎn)問題

例2某艦艇測得燈塔在它的東15°北的方向，此艦艇以30海里/小時(shí)的速度向正東前進(jìn)，30分鐘后又測得燈塔在它的東30°北。若此燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，問此艦艇繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險(xiǎn)？

解析：如圖艦艇在A點(diǎn)處觀測到燈塔S在東15°北的方向上；艦艇航行半小時(shí)后到達(dá)B點(diǎn)，測得S在東30°北的方向上。在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，過點(diǎn)S作SC⊥直線AB，垂足為C，則SC=15sin30°=7.5。

這表明航線離燈塔的距離為7.5海里，而燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險(xiǎn)。

點(diǎn)評(píng)：有關(guān)斜三角形的實(shí)際問題，其解題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，分

清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語；（2）畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；（3）分析與所研究問題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，通過合理運(yùn)用正弦定理和余弦定理求解。（三.）追擊問題

例3 如圖3，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°

方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，應(yīng)沿什么方向，用多少h能盡快追上乙船？解析：設(shè)用t h，甲船能追上乙船，且在C處相遇。

在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，設(shè)∠ABC=α，∠BAC=β。

∴α=180°－45°－15°=120°。根據(jù)余弦定理AC

北西

圖2

東 °

AB?BC?2AB?BCcos?，

28t?

81??20t??2?9?20t?(?34

，t=

)，128t?60t?27?0，（4t－3）（32t+9）=0，

圖3

解得t=

932

（舍）

∴AC=28×

=21 n mile，BC=20×

=15 n mile。

根據(jù)正弦定理，得sin??

BCsin?AC

15??

，又∵α=120°，∴β為銳角，

β=arcsin＜＜，211414

∴

arcsin

＜

，

∴甲船沿南偏東

－

arcsin

的方向用

h可以追上乙船。

點(diǎn)評(píng)：航海問題常涉及到解三角形的知識(shí)，本題中的 ∠ABC、AB邊已知，另兩邊未知，但他們都是航行的距離，由于兩船的航行速度已知，

所以，這兩邊均與時(shí)間t有關(guān)。這樣根據(jù)余弦定理，可列出關(guān)于t的一元二次方程，解出t的值。

五、交匯問題

是指正余弦定理與其它知識(shí)的交匯，如與不等式、數(shù)列、立體幾何(特別是求角與距離)、解析幾何、實(shí)際問題等知識(shí)交匯．例6 (2005年全國高考卷三試題)△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列，cosB?

（Ⅰ）求cotA+cotC的值；（Ⅱ）設(shè)BA?BC?，求a＋c的值.

分析：本題是正、余弦定理與向量、等比數(shù)列等知識(shí)的交匯，關(guān)鍵是用好正弦定理、余弦定理等．

解：（Ⅰ）由cosB?

,得sinB?

327

()?,

由b2=ac及正弦定理得 sinB?sinAsinC. 則cotA?cotC?

1tanA

1tanCsinB

cosAsinA1

cosCsinC?

sinCcosA?cosCsinA

sinAsinC

sin(A?C)

sinBsinBsinB????????3332

（Ⅱ）由BA?BC?，得ca·cosB＝，由ㄋB＝，可得ac＝2，即b＝2．

224

由余弦定理b2=a2+c2－2ac+cosB，得a2+c2=b2+2ac·cosB=5. (a?c)易錯(cuò)題解析

例題1 在不等邊△ABC中，a為最大邊，如果a錯(cuò)解：∵a

a?c?2ac?5?4?9,

a?c?3

b?c，求A的取值范圍。

b?c，∴b?c?a

22222

0。則

cosA?

b?c?a

2bc

222

0，由于cosA在（0°，180°）上為減函數(shù)

且cos90°?0，∴A?90° 又∵A為△ABC的內(nèi)角，∴0°＜A＜90°。

辨析：錯(cuò)因是審題不細(xì)，已知條件弱用。題設(shè)是a為最大邊，而錯(cuò)解中只把a(bǔ)看做是三角形的普通一條邊，造成解題錯(cuò)誤。正解：由上面的解法，可得A＜90°。

又∵a為最大邊，∴A＞60°。因此得A的取值范圍是（60°，90°）。

例題2 在△ABC中，若

tanAtanB

，試判斷△ABC的形狀。

錯(cuò)解：由正弦定理，得

sinAsinB

tanAtanB

即

sinAsinB

sinAcosA

cosBsinB

，∵sinA?0，sinB?0

∴sinAcosA?sinBcosB，即sin2A?sin2B。

∴2A＝2B，即A＝B。故△ABC是等腰三角形。

辨析：由sin2A?sin2B，得2A＝2B。這是三角變換中常見的錯(cuò)誤，原因是不熟悉三角函數(shù)的性質(zhì)，三角變換生疏。正解：同上得sin2A?sin2B，∴2A＝2k??2B

或2A?2k????2B(k?Z)。

∵0?A??，0?b??，∴k?0，則A?B或A?故△ABC為等腰三角形或直角三角形。例題3 在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC?

B。

3，求

a?b?csinA?sinB?sinC

的值。

錯(cuò)解：∵A＝60°，b＝1，S△ABC?

∴

3，又S△ABC?

bcsinA，

csin60°，解得c＝4。

b?c?2bccosA?

由余弦定理，得a?1?16?8cos60°?13

又由正弦定理，得sinC?

639

，sinB?

3239

。

∴

a?b?csinA?sinB?sinC

1?432?

3239

639

。

辨析：如此復(fù)雜的算式，計(jì)算困難。其原因是公式不熟、方法不當(dāng)造成的。正解：由已知可得c?4，a?

。由正弦定理，得

2R?

asinA

sin60°

2393

?！?/p>

a?b?csinA?sinB?sinC

2R?

2393

。

例題4 在△ABC中，c?6?2，C＝30°，求a＋b的最大值。

錯(cuò)解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。

由正弦定理，得

asinA

sin(150°?A)

6?2

sin30°

∴a?2(6?b?2(6?

2)sinA，

2)sin(150°?A)

又∵sinA?1，sin(150°?A)?1 ∴a?b?2(

6?2)?2(6?2)?4(6?2)。

故a?b的最大值為4(6?2)。

辨析：錯(cuò)因是未弄清A與150°－A之間的關(guān)系。這里A與150°－A是相互制約的，不是相互獨(dú)立的兩個(gè)量，sinA與sin(150°－A)不能

同時(shí)取最大值1，因此所得的結(jié)果也是錯(cuò)誤的。正解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。

由正弦定理，得

asinA6?

sin(150°?A)

6?2

sin30°

因此a?b?2(2)[sinA?sin(150°?A)]

∴長為

a，b，c的三條線段能構(gòu)成銳角三角形。

辨析：三條線段構(gòu)成銳角三角形，要滿足兩個(gè)條件：①三條邊滿足三角形邊長關(guān)系；②最長線段的對(duì)角是銳角。顯然錯(cuò)解只驗(yàn)證了第二個(gè)條

件，而缺少第一個(gè)條件。正解：由錯(cuò)解可得cos??0

又∵

a??c?

(a?b?c)(a?b?

b?c)

b，

即長為a，c的三條線段能構(gòu)成銳角三角形。

高考試題展示

1、（06湖北卷）若?ABC的內(nèi)角A滿足sin2A?

2353

，則sinA?cosA?

．?

． D．?

解：由sin2A＝2sinAcosA?0，可知A這銳角，所以sinA＋cosA?0，

又(sinA?cosA)?1?sin2A?

，故選A

2、（06安徽卷）如果?A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于?A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則

A．?A1B1C1和?A2B2C2都是銳角三角形 B．?A1B1C1和?A2B2C2都是鈍角三角形

C．?A1B1C1是鈍角三角形，?A2B2C2是銳角三角形 D．?A1B1C1是銳角三角形，?A2B2C2是鈍角三角形

A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0，C解：則?AB111

sinA?cosA?sin(?A1)21?2?

是銳角三角形，若?A2B2C2是銳角三角形，由?sinB2?cosB1?sin(?B1)，

sinC?cosC?sin(?C1)21?2?

A??A1?2

B1，那么，A2?B2?C2?，所以?A2B2C2是鈍角三角形。故選D。得?B2?22?

C??C1?2

3、（06遼寧卷）?ABC的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長分別為a,b,c設(shè)向量

,,若p?(a?c,b)q?(b?a,c?a)p//q,則角C的大小為

(A)

3632

1?222

【解析】p//q?(a?c)(c?a)?b(b?a)?b?a?c?ab，利用余弦定理可得2cosC?1，即cosC?，故?C?

選擇答案B。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩向量平行的坐標(biāo)形式的重要條件及余弦定理和三角函數(shù)，同時(shí)著重考查了同學(xué)們的運(yùn)算能力。 4、（06遼寧卷）已知等腰△ABC的腰為底的2倍，則頂角A的正切值是（）

(B)

(C)

(D)

Ｂ．

Ｄ．

解：

依題意，結(jié)合圖形可得tan

2tan

，故tanA?

2?15

1?tan

，選D

5、（06全國卷I）?ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且c?2a，則cosB?

A．

B．

．

解：?ABC中，a、b、c成等比數(shù)列，且c?2a，則b=2a，

cosB?

a?c?b

2ac

222

a?4a?2a

222

，選B.

6、06山東卷）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,A=

,a=

3,b=1，則c=

(A) 1 （B）2 （C）解：由正弦定理得sinB＝

3—1 （D）3

，又a?b，所以A?B，故B＝30?，所以C＝90?，故c＝2，選B

7、（06四川卷）設(shè)a,b,c分別是?ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，則a?b?b?c?是A?2B的（A）充要條件（B）充分而不必要條件（C）必要而充分條件（D）既不充分又不必要條件

解析：設(shè)a,b,c分別是?ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，若a?b?b?c?，

則sin∴

A?sinB(sinB?sinC)，則

1?cos2a

1?cos2B

sinBsinC，

(cos2B?cos2A)?sinBsinC，sin(B?A)sin(A?B)?sinBsinC，

又sin(A?B)?sinC，∴ sin(A?B)?sinB，∴ A?B?B，A?2B，若△ABC中，A?2B，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到a?b?b?c?，

所以a?b?b?c?是A?2B的充要條件，選A.

8、（06北京卷）在?ABC中，若sinA:sinB:sinC?5:7:8，則?B的大小是___________. 解： sinA:sinB:sinC?5:7:8?a?b?c＝5?7?8設(shè)a＝5k，b＝7k，c＝8k，

由余弦定理可解得?B的大小為

9、（06湖北卷）在?ABC中，已知a?

334

，b＝4，A＝30°，則sinB

＝

解：由正弦定理易得結(jié)論sinB

＝

。

10、（06江蘇卷）在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，則AC＝【思路點(diǎn)撥】本題主要考查解三角形的基本知識(shí) 【正確解答】由正弦定理得，

ACsin45

BCsin60

解得AC?【解后反思】解三角形：已知兩角及任一邊運(yùn)用正弦定理，已知兩邊及其夾角運(yùn)用余弦定理

11、（06全國II）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長為．解析: 由?ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列可得A+C=2B而A+B+C=?可得?B?

AD為邊BC上的中線可知BD=2,

由余弦定理定理可得AD?

本題主要考察等差中項(xiàng)和余弦定理,涉及三角形的內(nèi)角和定理,難度中等。 12、（06上海春）在△ABC中，已知BC?8,

則cos2C? . 解：由三角形面積公式，得

AC?5，三角形面積為12，

BC?CA?sinC?20sinC?12，即sinC?

725

從而應(yīng)填

．

于是cos2C?1?2sinC?

725

．

13、（06湖南卷）如圖3,D是直角△ABC斜邊BC上一點(diǎn),AB=AD,記∠CAD=?,∠ABC=?.

（1）證明 sin??cos2??0;

（2）若

AC=

求?的值.

解：(1)．如圖3，???

(??2?)?2??

,?sin??sin(2??)?3 ?cos2?，

即sin??cos2??0．

（2）．在?ABC中，由正弦定理得

DCsin?

ACsin(???)

DCsin?

Csin?

.?sin???

由(1)得sin???cos2?，?sin??2???2sin?),

即??sin??

0.解得sin??

sin???

．

0???

,s?in?

14、（06江西卷）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，

已知sinA?

，

（1）求tan

B?C2

sin

的值；

（2）若a?

2，S△ABC?

b的值．

解：（1）因?yàn)殇J角△ABC中，A＋B＋C＝?

，sinA?，所以cosA＝1，則

sin

B＋C

tan

B＋C2

A2A

＋sin

＝

＋sincos

2B＋C

＝

1－cos（B＋C）1＋cos（B＋C）＋121－cosA）＝1＋cosA17

1－cosA＋3＝

（2

）因?yàn)镾1?ABC又S?ABC＝

bcsinA＝

bc?

，則bc＝3。

將a＝2，cosA＝

，c＝

代入余弦定理：a＝b＋c－2bccosA中得b－6b＋9＝0

解得b

15、（06江西卷）如圖，已知△ABC是邊長為1的正三角形，

M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，線段MN經(jīng)過△ABC的中心G，設(shè)?MGA＝?（?

2?3

）

（1）

試將△AGM、△AGN的面積（分別記為S1與S2）表示為?的函

11B

（2）求y＝

＋

的最大值與最小值

解：（1）因?yàn)镚是邊長為1的正三角形ABC的中心，

所以 AG

＝

，?MAG＝

，

由正弦定理

GM＝

sin

sin（?－?－

得GM6

）

6sin（?＋

）

則S1sin?sin?

1＝

GM?GA?sin?＝

12sin（?＋

，同理可求得S2＝

）12sin（?－

）

數(shù)

（2）

y＝

1S1

＋

1S2

＝

144

sin?

sin（?＋

）＋sin（?－

＝72（3＋cot2?），）〕

因?yàn)?/p>

2?3

，所以當(dāng)?＝

或?＝

2?3

時(shí)，y取得最大值ymax＝240

當(dāng)?＝

時(shí)，y取得最小值ymin＝216

16、（06全國卷I）?ABC的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C，求當(dāng)A為何值時(shí)，cosA?2cos

πB+CAB+CA

.解: 由A+B+C=π, 得 = －, 所以有cos=sin .

22222

B?C2

取得最大值，并求出這個(gè)最大值。

B+CAAAA13

cosA+2cos =cosA+2sin=1－2sin2+ 2sin =－2(sin－ 2+

2222222

πA1B+C3

當(dāng)sin= , 即A= 時(shí), cosA+2cos取得最大值為22322

17、（06全國II）

在?ABC中，?B?45?,AC?（1）BC??

cosC?

,求

(2)若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求中線CD的長度。解：（1

）由cosC?

sinC?

C?sinC)?

sinA?sin(180?45?C)?

由正弦定理知BC?

ACsinB

sinA?

102

（2

）AB?

ACsinB

sinC?

2，BD?

AB?1

由余弦定理知CD?

18、（06四川卷）已知A,B,C是三角形?ABC三內(nèi)角，

向量m??,n??cosA,sinA?，且m?n?1

（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若

1?sin2BcosB?sinB

3，求tanB

解：本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計(jì)算能力。

（Ⅰ）∵m?n?1

∴???cosA,sinA??1

A?cosA?1

asinA

csinC

BCsin45

ABsin75

BC?3?.

，C?150，BC?1，則AB?

21、（07北京文12理11）在△ABC中，若tanA?

解析：在△ABC中，若tanA?

，C?150，∴ A

為銳角，sinA?

1，BC?1，則根據(jù)正弦定理AB?

BC?

sinCsinA

。．

22、（07湖南理12）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a?1，b

【答案】

B?． 5π6

【解析】由正弦定理得cosB?

1?3?7??

，所以B?

5π6

23、（07湖南文12）在?ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，

若a?1,c?

，則A= .

【解析】由正弦定理得

asinA

csinC

sinA?

asinCc

，所以A=

π6

24、（07重慶文13）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，則AC＝【答案】：

。

【分析】

：由余弦定理得：AC

1?2?2?1?2?cos60?3.?AC?

22?

24、（07北京文理13）2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)

是我國以古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的．弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為?，那么cos2?的值等于

解析：圖中小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，∴ 每一個(gè)直角三角形的面積是6，設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為a, b，則

a2?b2?25

， ?1

ab?6??2

∴ 兩條直角邊的長分別為3，4，設(shè)直角三角形中較小的銳角為?，cosθ=

，cos2θ=2cos2θ－1=

725

。

25、（07福建理17）在△ABC中，tanA?（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若△

ABC最大邊的邊長為，求最小邊的邊長．

本小題主要考查兩角和差公式，用同角三角函數(shù)關(guān)系等解斜三角形的基本知識(shí)以及推理和運(yùn)算能力，滿分12分．

，tanB?

．

解：（Ⅰ）?C?π?(A?B)，?tanC??tan(A?B)??

41?

35?35??1．

又?0?C?π，?C?（Ⅱ）?C?

π．

，?

AB邊最大，即AB?．

又?tanA?tanB，A，B??0?，?角A最小，BC邊為最小邊．

sinA1?

tanA??，??π?由?cosA4且A??0?，

2??sin2A?cos2A?1，

得sinA?

ABsinC

BCsinA

得：BC?ABsinA

sinC

所以，最小邊BC?

26、（07廣東理16）已知△ABC頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為A(3，4)，B(0，0)，C(c，0)．（1）若c?5，求sin∠A的值；（2）若∠A是鈍角，求c的取值范圍．

解析：（1）AB?(?3,?4)，AC?(c?3,?4)，若c=5，則AC?(2,?4)，

253

∴cos?A?cos?AC,AB??2）若∠A為鈍角，則?

，∴sin∠A

；

253

,??)；

3c?9?16?0?c?0

解得c?，∴c的取值范圍是(

28、（07湖北理16）已知△ABC的面積為3，且滿足0?AB?AC?6，設(shè)AB和AC的夾角為?．

（I）求?的取值范圍；（II

）求函數(shù)f(?)?2sin?

2?的最大值與最小值．

本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算、解三角形、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力．解：（Ⅰ）設(shè)△ABC中角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，

則由

ππ?

bcsin??3，0≤bccos?≤6，可得0≤cot?≤1，∴??

4?． 22??

（Ⅱ）f(?)?2sin?

π??

2???1?cos??2????

2??

(1?

sin2?)?2??sin2??

π??

2??1?2sin?2????1．

3??

1≤3． ?

π?π2π?π??ππ?

∵????，2?????，∴2≤2sin?2??

3?63?3??42?

即當(dāng)??

5π12

時(shí)，f(?)max?3；當(dāng)??

π4

時(shí)，f(?)min?2．

29、（07全國卷1理17）設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a?2bsinA．（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）求cosA?sinC的取值范圍．

解：（Ⅰ）由a?2bsinA，根據(jù)正弦定理得sinA?2sinBsinA，所以sinB?

由△ABC為銳角三角形得B?

，

π6

．

（Ⅱ）cosA?sinC?cosA?sin???

A??cosA?sin??A? ???6?

A??．

3??

cosA?

2?2

由△ABC為銳角三角形知，?A??B，

．

2?3

，所以

．

sin?A???

232??

由此有

A????

32??

，

所以，cosA?

sinC的取值范圍為?

3?22

． ???

，邊BC?．設(shè)內(nèi)角B?x，周長為y．

30、（07全國卷2理17）在△ABC中，已知內(nèi)角A?（1）求函數(shù)y?f(x)的解析式和定義域；（2）求y的最大值．

解：（1）△ABC的內(nèi)角和A?B?C??，由A?

，B?0，C?0得0?B?

2??

．

應(yīng)用正弦定理，知AC?

BCsinA

sinB?

sin

x?4sinx，

AB?

2??

sinC?4sin??x?． sinA???

因?yàn)閥?AB?BC?AC，

所以y?4sinx?4sin?

2???x??0?x?

3?????， ?

（2

）因?yàn)閥?4?sinx?x?sinx?????2??

si?nx???

，即x?

5???

x???，

所以，當(dāng)x?

時(shí)，y

取得最大值

tanC?． 32、（07山東文17）在△ABC中，角A，B，

C的對(duì)邊分別為a，b，c，

（1）求cosC；

（2）若CB?CA?，且a?b?9，求c．

2?解：（1

）?tanC?

sinCcosC

解得cosC??

又?sinC?cosC?1

．

tanC?0，?C是銳角． ?cosC?

．

（2）?CB?CA?， ?abcosC?， ?ab?20．

又?a?b?9?a?2ab?b?81．

a?b?41．

222

c?a?b?2abcosC?36． ?c?6．

33、（07上海理17）在△ABC中，a，b，c分別是三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊．

若a?2,

π4

，cos35

255

，求△ABC的面積S．

解：由題意，得cosB?

，B為銳角，sinB?

，

sinA?sin(π?B?C)?sin?

3π

B??，

10?4?

ac?sinB?

12?2?

107?45?87

由正弦定理得 c?

107

， ? S?．

34、（07天津文17）在△ABC中，已知AC?2，BC?3，cosA??（Ⅰ）求sinB的值；

．

（Ⅱ）求sin?2B?

的值． 6?

本小題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和公式、倍角公式、正弦定理等的知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力．滿分12分．

（Ⅰ）解：在△

ABC中，sinA??

3?，

5sinA?

23?35?25

．

由正弦定理，

BCsinA

ACsinB

．所以sinB?

ACBC

（Ⅱ）解：因?yàn)閏osA??

，所以角A為鈍角，從而角B為銳角，于是

cosB??

cos2B?2cosB?1?2?

525

1725

，

sin2B?2sinBcosB?2??

．

17117?????

． ??

sin?2B???sin2Bcos?cos2Bsin

252252506?66?

35、（07浙江理18）已知△

ABC（I）求邊AB的長；（II）若△ABC的面積為

1，且sinA?sinB?C．

sinC，求角C的度數(shù)．

解：（I

）由題意及正弦定理，得AB?BC?AC?

兩式相減，得AB?1．

（II）由△ABC的面積

1，BC?AC?，

BC?AC?sinC?

sinC，得BC?AC?

，

由余弦定理，得cosC?

AC?BC?AB

2AC?BC

(AC?BC)?2AC?BC?AB

2AC?BC

，

所以C?60．

36、（07天津文理15）如圖，在?ABC中，?BAC?120?,AB?2,AC?1,D是邊BC上一點(diǎn)，DC?2BD,則

AD?BC?__________. 【答案】?

AB?AC

【分析】法一：由余弦定理得cosB?

可得BC

2?AB?AC

AB?AD

2?AB?BD

,AD?

，

故BC=2，從而AC?AB?BC?2AB?BCcosB?

283

，即AC?

221

sinB?

306

，故

2sinA

213306

，sinA?

二、判斷三角形的形狀給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀．例3(2005年北京春季高考題)在?ABC中，已知2sinAcosB?sinC，那么?ABC一定是（）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形

解法1：由2sinAcosB?sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故選(B)．

解法2：由題意，得cosB＝

sinC2sinA

c2a

，再由余弦定理，得cosB＝

a?c?b

2ac

222

．

∴

a?c?b

2ac

222

＝

c2a

，即a＝b，得a＝b，故選(B)．

主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來解題．

例4(2005年全國高考上海卷) 在?ABC中，若?A?120，AB?5，BC?7，則?ABC的面積S＝?

分析：本題只需由余弦定理，求出邊AC，再運(yùn)用面積公式S＝

AB·ACsinA即可解決．

解：由余弦定理，得cosA＝

AB?AC?BC

2AB?AC

25?AC?4910?AC

，解得AC＝3．

∴ S＝

AB·ACsinA＝

1534

．∴ AB·AC·sinA＝AC·h，得h＝AB· sinA＝

322

，故選(A)．

四、求值問題

例5(2005年全國高考天津卷) 在?ABC中，?A、?B、?C所對(duì)的邊長分別為a、b、c，設(shè)a、b、c滿足條件

b?c?bc?a和

222

3，求?A和tanB的值．

分析：本題給出一些條件式的求值問題，關(guān)鍵還是運(yùn)用正、余弦定理．解：由余弦定理cosA?

b?c?a

2bc

12?

222

，因此，?A?60? 在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.

由已知條件，應(yīng)用正弦定理?

sinCsinB

sin(120??B)

sinB

sin120?cosB?cos120?sinB

sinB

cotB?

,解得cotB?2,從而tanB?

五、交匯問題

是指正余弦定理與其它知識(shí)的交匯，如與不等式、數(shù)列、立體幾何(特別是求角與距離)、解析幾何、實(shí)際問題等知識(shí)交匯．例6(2005年全國高考卷三試題)△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列，cosB?

3 （Ⅰ）求cotA+cotC的值；（Ⅱ）設(shè)BA?BC?，求a＋c的值.

分析：本題是正、余弦定理與向量、等比數(shù)列等知識(shí)的交匯，關(guān)鍵是用好正弦定理、余弦定理等．

解：（Ⅰ）由cosB?

,得sinB?

1tanC?4

327

()?,由b2=ac及正弦定理得 sin2B?sinAsinC.

cosAsinA7.

cosCsinC

sinCcosA?cosCsinA

sinAsinC

sin(A?C)sinB

則cotA?cotC? ?

1tanA?

sinB

sinB7sinB

3332

（Ⅱ）由BA?BC?，得ca·cosB＝，由ㄋB＝，可得ac＝2，即b＝2．

224

由余弦定理b2=a2+c2－2ac+cosB，得a2+c2=b2+2ac·cosB=5. (a?c)正余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用

利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)，例析如下：一、測量問題

例1 如圖1所示，為了測河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的寬度。

分析：求河的寬度，就是求△ABC在AB邊上的高，而在河的一邊，已測出AB長、∠CAB、∠CBA，這個(gè)三角形可確定。

解析：由正弦定理得

a?c?2ac?5?4?9,

a?c?3

ACsin?CBA

ABsin?ACB

，∴AC=AB=120m，又∵

圖1

S?ABC?

AB?ACsin?CAB?AB?CD，解得CD=60m。

點(diǎn)評(píng)：雖然此題計(jì)算簡單，但是意義重大，屬于“不過河求河寬問題”。二、遇險(xiǎn)問題

這表明航線離燈塔的距離為7.5海里，而燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險(xiǎn)。

點(diǎn)評(píng)：有關(guān)斜三角形的實(shí)際問題，其解題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，分

清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語；（2）畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；（3）分析與所研究問題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，通過合理運(yùn)用正弦定理和余弦定理求解。

三、追擊問題

例3 如圖3，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，應(yīng)沿什么方向，用多少h能盡快追上乙船？

解析：設(shè)用t h，甲船能追上乙船，且在C處相遇。

在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，設(shè)∠ABC=α，∠BAC=β。 ∴α=180°－45°－15°=120°。根據(jù)余弦定理AC

圖2

東 C

AB?BC?2AB?BCcos?，

28t?

81??20t??2?9?20t?(?34

，t=

)，128t?60t?27?0，（4t－3）（32t+9）=0，

=15 n mile。

解得t=

932

（舍）∴AC=28×

=21 n mile，BC=20×

圖3

根據(jù)正弦定理，

得sin??

BCsin?AC

15??

又∵α=120°，∴β為銳角，β

=arcsin，

＜＜，

21141414

214

∴

arcsin

＜

，∴甲船沿南偏東

－

的方向用h可以追上乙船。

點(diǎn)評(píng)：航海問題常涉及到解三角形的知識(shí)，本題中的 ∠ABC、AB邊已知，另兩邊未知，但他們都是航行的距離，由于兩船的航行速度已知，所以，這兩邊均與時(shí)間t有關(guān)。這樣根據(jù)余弦定理，可列出關(guān)于t的一元二次方程，解出t的值。

正弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用

在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等，并且都等于外接圓的直徑．這一定理的引入，標(biāo)志著對(duì)三角形的又向前邁進(jìn)了一步，由過去的解直角三角形到可以解任意三角形．正弦定理在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，下面介紹幾例．

例1 某人在草地上散步，看到他西南有兩根相距6米的標(biāo)桿，當(dāng)他向正北方向步行3分鐘后，看到一根標(biāo)桿在其南方向上，另一根標(biāo)桿在其南偏西30?方向上，求此人步行的速度．

解：如圖所示，A、B兩點(diǎn)的距離為6米，當(dāng)此人沿正北方向走到C點(diǎn)時(shí)，測得∠BCO =45?， ∠ACO =30?，∴∠BCA =∠BCO－∠ACO =45?－30?=15?．

由題意，知∠BAC =120?，∠ABC =45?．在△ABC中，由正弦定理，得：

北

ACsin?ABCsin15?

ABsin?BCA

，

30?45

即有AC =

AB?sin?ABCsin?BCA

6?sin45?

=63＋6．

在直角三角形AOC中，有：OC = AC·cos30?= (63＋6)×

= 9＋33．

西O

東

設(shè)步行速度為x米/分，則x =

9?33

= 3＋

3≈4.7．

南

即此人步行的速度為4.7米/分．

例2 某海輪以30海里/小時(shí)的速度航行，在A點(diǎn)測得海面上油井P在南偏東60?，向北航行40分鐘后到達(dá)B點(diǎn)，測得油井P在南偏東30?，海輪改為北偏東60?的航向再行駛80分鐘到達(dá)C點(diǎn)，求P、C間的距離．

解：如圖，在△ABP中，AB = 30×∠APB =30?，∠BAP =120?，由正弦定理，得：

604060

= 20，

60?

，即

ABsin?BPA

BPsin?BAP

2012

BP32

，解得BP =203．

在△BPC中，BC = 30×

8060

= 40，

由已知∠PBC =90?，∴PC =所以P、C間的距離為20

PB?BC

(203)?20=207 (海里)．

7海里．

評(píng)析：上述兩例是在準(zhǔn)確理解方位角的前提下，合理運(yùn)用正弦定理把問題解決，因此，用正弦定理解有關(guān)應(yīng)用問題時(shí)，要注意問題中的一些名稱、術(shù)語，如仰角、俯角、視角、象限角、方位角等．

例3 某工廠生產(chǎn)主要產(chǎn)品后，留下大量中心角為60?，半徑為a的扇形邊角料，現(xiàn)要廢物利用，從中剪裁下巨型毛坯，要求矩形面積

盡可能大，請(qǐng)問如何裁剪？

分析：從實(shí)際出發(fā)，盡可能使面積最大，有兩種裁剪方法．一種是使矩形的一邊落在扇形的半徑上，另一種是使矩形的兩頂點(diǎn)分別在扇形的兩條半徑上，分別計(jì)算出這兩種情況下的最大值，再比較結(jié)果的出最佳方案．

解：方案一，如圖1，矩形有兩個(gè)頂點(diǎn)在半徑OA上，設(shè)∠AOP =?，則PM = a·sin?， ∵扇形中心角為60?，∴∠PQO =120?，由正弦定理，得：

OPsin120?

PQsin(60???)

，即PQ =

·a·sin(60?－?)，

∴矩形的MPQR的面積為：S1=PM·PQ =

·a·sin?·sin(60?－?) =

·a[cos(2?－60?)－cos60?]≤

·a·(1－

) =

a，

當(dāng)?=30?時(shí)，cos(2?－60?) = 1，S1取得最大值

a．

方案二，如圖2，矩形有兩個(gè)頂點(diǎn)分別在扇形的兩條半徑OA、OB上，設(shè)∠AOM =?，∠MRA =

×60?=30?，∠MRO =150?，由正弦定理，得：

RMsin?

asin150?

，即RM = 2a·sin?，

又

ORsin(30???)

asin150?

，∴OR = 2a·sin(30?－?)，∴矩形的MPQR的面積為：

S2= MR·PQ = 4a·sin?·sin(30?－?) = 2a·[cos(2?－30?)－cos30?]≤2a·(1－即在此情況下，∠AOM =?=15?時(shí)，可求出M點(diǎn)，然后作出MPQR面積為最大．

222

) = (2－

3)a2．

由于S1－S2=

a－(2－

3)a=

(73－12)＞0，所以第一種方案能

圖2

使裁出的矩形面積最大，即∠AOP =?=30?，使P取在AB弧中點(diǎn)，分別向扇形的一條半徑作垂線及平行線得到矩形MPQR，即為最大矩形．

正余弦定理的變式、應(yīng)用及其推廣

圖1

M A O正余弦定理是反映三角形中邊與角之間關(guān)系的兩個(gè)重要定理，如果將它們整合、變形后再應(yīng)用，就會(huì)感到另一種新奇與愉悅，同時(shí)也

給眾多題目找到了“同一根源” 。

一、變式如果將正弦定理中a = 2RsinA , b = 2RsinB , c = 2RsinC代入余弦定理中可得：

（1）sin 2C + sin 2B - 2sinCsinBcosA = sin 2A；（2）sin 2A + sin 2C - 2sinAsinCcosB = sin2B；（3）sin 2A + sin 2B - 2sinAsinBcosC = sin 2C；

以上諸式表明，三角形中兩個(gè)角的正弦的平方和減去第三個(gè)角的正弦的平方，等于前兩個(gè)角的正弦與第三個(gè)角的余弦的積的兩倍；變式1：在△ABC中，sinA + sinB - sinC = 2sinAsinBcosC;

變式2：在△ABC中，sin 2A + sin 2B-sin 2（A+B）= -2sinAsinBcos（A+B），即sin2A + sin2B +2sinAsinBcos(A+B) = sin2(A+B);

觀察變式的結(jié)構(gòu)特征總有“意猶未盡”之感，必然令人產(chǎn)生一種猜測：當(dāng)A、B為任意角時(shí)，等式還會(huì)成立嗎？事實(shí)上，答案是肯定的。變式3：sin2α+sin2β+2sinαsinβcos(α+β)= sin2(α+β) 證明：左=

1?cos2?

+ 2sinαsinβcos (α+β) = 1 -

( cos2α+cos2β) + 2sinαsinβcos (α+β)

= 1 - cos (α+β)cos (α-β) + 2sinαsinβcos (α+β) = 1 - cos (α+β) [ cos (α-β) - 2sinαsinβ]= 1 – cos2(α+β) = sin2(α+β)

二、應(yīng)用

上述變式有著廣泛的應(yīng)用，以下從幾個(gè)方面加以說明：

1、求三角函數(shù)值例1、求cos2 71°+ cos71°cos49°+ cos 2 49°的值.

解：由變式（2）知sin 219°+ sin 241°+ sin19°sin41°= sin 219°+ sin 241°+ 2sin19°sin41°cos60°= sin260°=例2、(1998年高考試題)在△ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊，設(shè)a+c=2b，A-C=

，求sinB的值。

解：由a+c=2b及正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，∴4sinB= sinA + sinC+2 sinA sinC= sinB+2 sinA sinC（1+cosB），又∵A-C=∴2 sinA sinC= -cos（A+C）+cos

，

+ cosB， ∴3sinB=（

+ cosB）（1+cosB），化簡得, 8cosB+3cosB-5=0，

∴cosB=

，或cosB=-1（不合題意,舍去），∴sinB=1?()

398

。

2、判定三角形形狀例3、在△ABC中，已知sinA + sinB+ sinC = 2, 試判斷△ABC的形狀：解：由變式（1）知sinA + sinB+ sinC- 2 = 2sinAsinBcosC+ 2 sinC- = 2( sinAsinB - cosC)cosC = 2cosC [sinAsinB + cos( A+B)]= 2cosAcosBcosC 又∵sinA + sinB+ sinC = 2,∴cosAcosBcosC = 0，即 cosA = 0 或 cosB = 0 或 cosC = 0 ， ∴△ABC是直角三角形。

3、證明三角恒等式例4、設(shè)α、β為銳角，且sinα+ sinβ= sin(α+β), 求證：α+β=證明：由變式(3)知sin(α+β) = sin

。

+ sin2?+2sinαsinβcos(α+β)

= sin(α+β)+ 2sinαsinβcos(α+β)≥sin(α+β) + 2sinαsinβcos(α+β)?？梢奵os(α+β)≤0 得α+β≥則

, 若α+β＞

，

＞α＞

-β＞0 , 得sinα＞sin (

-β) = cosβ＞0 ，從而sin(α+β) = sin2α+ sin 2β＞cos 2β+ sin 2β= 1，所以α+β=

。

三、推廣

若將變式（3）中的β用-β來代替即可得，推論1：sin 2α+ sin 2β-2sinαsinβcos(α-β)= sin 2(α-β)；若將變式（3）中的α、β分別用

-α，

-β來代替即可得，推論2：cos2α+ cos2β-2cosαcosβcos(α+β)=sin2(α+β)；

若將推論2中的β用 -β來代替即可得。推論3：cosα+cosβ-2cosαcosβcos(α-β)=sin(α-β)；事實(shí)上，若對(duì)變式（3）式中分別對(duì)α、β賦以不同的特殊角則還可得一系列高考試題： ①（1991全國高考）求cos 210°+ cos 250°- sin40°sin80°的值； ②（1992全國高考）求sin 220°+ cos280°+ 07年高考題

山東理（20）（本小題滿分12

分）如圖，甲船以每小時(shí)?

3sin20°cos80°的值；③（1995全國高考）求sin 220°+ cos 250°+ sin20°cos50°的值。

A1處

時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120方

向的B

2處，此時(shí)兩船相距（20）

海里，問乙船每小時(shí)航行多少海里？

正、余弦定理的五大命題熱點(diǎn)

，BC＝3，則?ABC的周長為（）

A．43sin?B?

3 B．43sin?B???3C．6sin?B???3 D．6sin?B???3 3?6?3?6????

分析：由正弦定理，求出b及c，或整體求出b＋c，則周長為3＋b＋c而得到結(jié)果．解：由正弦定理得：

3sin

bsinB

csinC

b?csinB?sinC

b?c

sinB?sin(

2?3?B)

，

得b＋c

＝B＋sin(

2?3

－B)]＝6sin(B?

)．故三角形的周長為：3＋b＋c＝6sin?B???3，故選(D)． 66??

，周長應(yīng)為3

評(píng)注：由于本題是選擇題也可取△ABC為直角三角形時(shí)，即B＝

3＋3，故排除(A)、(B)、(C)．而選(D)．

例2(2005年全國高考湖北卷) 在ΔABC中，已知AB?

463

,cosB?

，AC邊上的中線BD=

5，求sinA的值．

分析：本題關(guān)鍵是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．

解：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接DE，則DE//AB，且DE?

AB?

263

，設(shè)BE＝在ΔBDE中利用余弦定理可得：BD

ED?2BE?EDcosBED， 73

5?x?

263

x，解得x?1，x??

故BC=2，從而AC?AB?BC?2AB?BCcosB?

222

283

，即AC?

221

sinB?

306

，

故

2sinA

sinA?

二、判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀．

即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故選(B)．

解法2：由題意，得cosB＝

sinC2sinA

c2a

，再由余弦定理，得cosB＝

a?c?b

2ac

222

．

∴

a?c?b

2ac

222

＝

c2a

，即a＝b，得a＝b，故選(B)．

主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來解題．

例4(2005年全國高考上海卷) 在?ABC中，若?A?120，AB?5，BC?7，

則?ABC的面積S＝?

分析：本題只需由余弦定理，求出邊AC，再運(yùn)用面積公式S＝

AB·ACsinA即可解決．

解：由余弦定理，得cosA＝

AB?AC?BC

2AB?AC

1534

25?AC?4910?AC

，解得AC＝3．

∴ S＝

AB·ACsinA＝．∴ AB·AC·sinA＝AC·h，得h＝AB· sinA＝

322

，故選(A)．

四、求值問題

例5(2005年全國高考天津卷) 在?ABC中，?A、?B、?C所對(duì)的邊長分別為a、b、c，設(shè)a、b、c滿足條件b

c?bc?a和

3，求?A和tanB的值．

分析：本題給出一些條件式的求值問題，關(guān)鍵還是運(yùn)用正、余弦定理．解：由余弦定理cosA?

b?c?a

2bc

222

，因此，?A?60?

在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.

由已知條件，應(yīng)用正弦定理

sinCsinB

sin(120??B)

sinB

sin120?cosB?cos120?sinB

sinB

cotB?

,解得cotB?2,從而tanB?

五、正余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用

例1 如圖1所示，為了測河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的寬度。

分析：求河的寬度，就是求△ABC在AB邊上的高，而在河的一邊，已測出AB長、∠CAB、∠CBA，這個(gè)三角形可確定。

解析：由正弦定理得∵S?ABC?

ACsin?CBA

ABsin?ACB12

，∴AC=AB=120m，又

圖1

AB?ACsin?CAB?AB?CD，解得CD=60m。

點(diǎn)評(píng)：雖然此題計(jì)算簡單，但是意義重大，屬于“不過河求河寬問題”。（二.）遇險(xiǎn)問題

這表明航線離燈塔的距離為7.5海里，而燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險(xiǎn)。

點(diǎn)評(píng)：有關(guān)斜三角形的實(shí)際問題，其解題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，分

例3 如圖3，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°

在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，設(shè)∠ABC=α，∠BAC=β。

∴α=180°－45°－15°=120°。根據(jù)余弦定理AC

北西

圖2

東 °

AB?BC?2AB?BCcos?，

28t?

81??20t??2?9?20t?(?34

，t=

)，128t?60t?27?0，（4t－3）（32t+9）=0，

圖3

解得t=

932

（舍）

∴AC=28×

=21 n mile，BC=20×

=15 n mile。

根據(jù)正弦定理，得sin??

BCsin?AC

15??

，又∵α=120°，∴β為銳角，

β=arcsin＜＜，211414

∴

arcsin

＜

，

∴甲船沿南偏東

－

arcsin

的方向用

h可以追上乙船。

點(diǎn)評(píng)：航海問題常涉及到解三角形的知識(shí)，本題中的 ∠ABC、AB邊已知，另兩邊未知，但他們都是航行的距離，由于兩船的航行速度已知，

所以，這兩邊均與時(shí)間t有關(guān)。這樣根據(jù)余弦定理，可列出關(guān)于t的一元二次方程，解出t的值。

五、交匯問題

（Ⅰ）求cotA+cotC的值；（Ⅱ）設(shè)BA?BC?，求a＋c的值.

分析：本題是正、余弦定理與向量、等比數(shù)列等知識(shí)的交匯，關(guān)鍵是用好正弦定理、余弦定理等．

解：（Ⅰ）由cosB?

,得sinB?

327

()?,

由b2=ac及正弦定理得 sinB?sinAsinC. 則cotA?cotC?

1tanA

1tanCsinB

cosAsinA1

cosCsinC?

sinCcosA?cosCsinA

sinAsinC

sin(A?C)

sinBsinBsinB????????3332

（Ⅱ）由BA?BC?，得ca·cosB＝，由ㄋB＝，可得ac＝2，即b＝2．

224

由余弦定理b2=a2+c2－2ac+cosB，得a2+c2=b2+2ac·cosB=5. (a?c)易錯(cuò)題解析

例題1 在不等邊△ABC中，a為最大邊，如果a錯(cuò)解：∵a

a?c?2ac?5?4?9,

a?c?3

b?c，求A的取值范圍。

b?c，∴b?c?a

22222

0。則

cosA?

b?c?a

2bc

222

0，由于cosA在（0°，180°）上為減函數(shù)

且cos90°?0，∴A?90° 又∵A為△ABC的內(nèi)角，∴0°＜A＜90°。

又∵a為最大邊，∴A＞60°。因此得A的取值范圍是（60°，90°）。

例題2 在△ABC中，若

tanAtanB

，試判斷△ABC的形狀。

錯(cuò)解：由正弦定理，得

sinAsinB

tanAtanB

即

sinAsinB

sinAcosA

cosBsinB

，∵sinA?0，sinB?0

∴sinAcosA?sinBcosB，即sin2A?sin2B。

∴2A＝2B，即A＝B。故△ABC是等腰三角形。

或2A?2k????2B(k?Z)。

∵0?A??，0?b??，∴k?0，則A?B或A?故△ABC為等腰三角形或直角三角形。例題3 在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC?

B。

3，求

a?b?csinA?sinB?sinC

的值。

錯(cuò)解：∵A＝60°，b＝1，S△ABC?

∴

3，又S△ABC?

bcsinA，

csin60°，解得c＝4。

b?c?2bccosA?

由余弦定理，得a?1?16?8cos60°?13

又由正弦定理，得sinC?

639

，sinB?

3239

。

∴

a?b?csinA?sinB?sinC

1?432?

3239

639

。

辨析：如此復(fù)雜的算式，計(jì)算困難。其原因是公式不熟、方法不當(dāng)造成的。正解：由已知可得c?4，a?

。由正弦定理，得

2R?

asinA

sin60°

2393

?！?/p>

a?b?csinA?sinB?sinC

2R?

2393

。

例題4 在△ABC中，c?6?2，C＝30°，求a＋b的最大值。

錯(cuò)解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。

由正弦定理，得

asinA

sin(150°?A)

6?2

sin30°

∴a?2(6?b?2(6?

2)sinA，

2)sin(150°?A)

又∵sinA?1，sin(150°?A)?1 ∴a?b?2(

6?2)?2(6?2)?4(6?2)。

故a?b的最大值為4(6?2)。

辨析：錯(cuò)因是未弄清A與150°－A之間的關(guān)系。這里A與150°－A是相互制約的，不是相互獨(dú)立的兩個(gè)量，sinA與sin(150°－A)不能

同時(shí)取最大值1，因此所得的結(jié)果也是錯(cuò)誤的。正解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。

由正弦定理，得

asinA6?

sin(150°?A)

6?2

sin30°

因此a?b?2(2)[sinA?sin(150°?A)]

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來自：月光使者1991 > 《讀書/考試》

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