第11計   耗子開門   就地打洞

●計名釋義

《說唐》中有這樣一個故事.唐太宗征北，困在木陽城，絕糧.軍師獻(xiàn)計，沿著鼠洞挖去，可能找到糧食.結(jié)果，真的在地下深處發(fā)現(xiàn)了糧倉.太宗嘉獎耗子的牙啃立功，并題詩曰：鼠郎個小本能高，日夜磨牙得寶刀，唯恐孤王難遇見，宮門鑿出九條槽.

龐大的數(shù)學(xué)寶庫也是眾多的“數(shù)學(xué)耗子”啃穿的.你可知道，前1萬個質(zhì)數(shù)就是這些耗子們一個個啃出來的，七位數(shù)字對數(shù)表也是這樣啃出來的.

數(shù)學(xué)解題，當(dāng)你無計可施，或者一口難吞時，那就決定“啃”吧.

●典例示范

【例1】   已知f (x)=，判定其單調(diào)區(qū)間.

【分析】   用求導(dǎo)法研究單調(diào)性當(dāng)然可行，但未必簡便，直接從單調(diào)定義出發(fā)，循序漸進(jìn)，也可將“單調(diào)區(qū)間”啃出來.

【解答】   設(shè)x₁<x₂，f (x₁)-f (x₂)=  - .

【插語】   x₁，x₂都在根號底下，想法把它們啃出來.有辦法，將“分子有理化”.

【續(xù)解】    [KF（S]3[]1-2x1[KF)]-[KF(S]3[]1-2x2[KF)]

=

易知=△>0.

故有原式=<0.

故f (x)= 的增區(qū)間為（-∞,+∞).

【點(diǎn)評】   耗子開門是一個“以小克大，以弱克強(qiáng)”的策略.函數(shù)的單調(diào)法即不等式的比較法.方法基礎(chǔ)，可靠，只要有“啃”的精神，則可以透過形式上的繁雜看到思維上的清晰和簡捷.

【例2】   （04·天津卷）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽.設(shè)隨機(jī)變量ξ表示所選3人中女生的人數(shù).

（Ⅰ）求ξ的分布列；        （Ⅱ）求ξ的數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）求“所選3人中女生人數(shù)ξ≤1”的概率.

【思考】   本題設(shè)問簡單，方向明確，無須反推倒算，只要像耗子開門，牙啃立功就是了.【解答】   （Ⅰ）6人中任選3人，其中女生可以是0個，1個或2個，P（ξ=0）=;P(ξ=1)=；P (ξ=2)=，故ξ的分布列是：

（Ⅱ）ξ的數(shù)學(xué)期望是：

Eξ=0×+1×+2×=1.

(Ⅲ)由（Ⅰ），所選3人中女生人數(shù)ξ≤1的概率是：P（ξ≤1）=P (ξ=0)+P(=1)=.

【例3】   （04·上海，20文）如圖

，直線y=x與拋物線y=x² - 4交于

A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與

直線y= -5交于點(diǎn)Q.

(1)求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)P為拋物線上位于AB下方

（含點(diǎn)A、B）的動點(diǎn)時，

求△OPQ的面積的最大值.

【思考】   同例1一樣，本題設(shè)問明確，                      例3題圖

思路并不復(fù)雜，只須按所設(shè)條件逐一完成就是，只是要嚴(yán)防計算失誤.

【解答】   （1）由

設(shè)AB中點(diǎn)為M（x₀，y₀），則x₀ =，y₀=x₀=1.

故有M（2，1），又AB⊥MQ，∴MQ的方程是：y-1=-2(x-2)，令y=-5，得x=5，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(5,-5).

(2)由（1）知|OQ|=5為定值.

設(shè)P(x，x²-2)為拋物線上上一點(diǎn)，由（1）知x²-4x-32≤0，得x∈［-4,8］，又直線OQ的方程為：

x+y=0，點(diǎn)P到直線OQ的距離：

d=，顯然d≠0，(否則△POQ不存在)，即x≠4-4，為使△POQ面積最大只須d最大，當(dāng)x=8時，d_max =6.

∴(S_△POQ)_max =·|OQ|·d_max=·5·6=30.

【例4】   O為銳角△ABC的外心，若S_△BOC，S_△COA，S_△AOB成等差數(shù)列，求tanA·tanC的值.

【解答】   如圖，有：S_△BOC+S_△AOB=2S_△COA.

不妨設(shè)△ABC外接圓半徑為1，令∠BOC=α=2A,

∠AOC=β=2B，∠AOB=r=2C，

則有：sinα+sinγ=sinβ，

即sin2A+sin2C=2sin2B.

2sin(A+C)cos (A-C)= 4sinBcosB.                             例4題解圖

∵sin(A+C)=sinB≠0,cosB= -cos(A+C).

∴cos (A-C)+2cos (A+C)=0,cosAcosC +sinAsinC +2(cosA+cosC – sinAsinC )=0.

3cosAcosC=sinAsinC，故tanAtanC=3.

【點(diǎn)評】   本例中的“門”不少，其中“同圓半徑相等”是“門”，由此將面積關(guān)系轉(zhuǎn)換成有關(guān)角的關(guān)系；以下通過圓心角與圓周角的轉(zhuǎn)換，和差化積與倍角公式，誘導(dǎo)公式、和角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系等依次轉(zhuǎn)換，這便是一連串的“門”，逐一啃來，從而最終達(dá)到解題目的.

●對應(yīng)訓(xùn)練

1.在棱長為4的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，

O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，點(diǎn)P在

棱CC₁上，且CC₁= 4CP.

(Ⅰ)求直線AP與平面BCC₁B₁所

成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；

（Ⅱ）設(shè)O點(diǎn)在平面D₁AP上的

射影是H，求證：D₁H⊥AP；

（Ⅲ）求點(diǎn)P到平面ABD₁的距離.                    第1題圖

2.證明不等式： (n∈N₊).

3.設(shè)x∈，f (x)=，求f (x)的最大值與最小值.

4.若x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1，求函數(shù)u=的最小值.

●參考答案

1.建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，有：

A(4,0,0)，P(0,4,1)，B(4,4,0)，B₁(4,4,4)，D₁(0,0,4).(Ⅰ)連BP，∵AB⊥平面BCC₁B₁.

∴AB⊥BP，∠APB是直線AP與平面BB₁C₁C的夾角，∵=

∴tan∠APB=.

∴AP與平面BB₁C₁C所成角為arctan.

(Ⅱ)連D₁B₁，則O∈DB₁.

∵=（4,4,0)，=（-4,4,1）,

∴·=-16+16+0=0.

即⊥，也就是⊥.               第1題解圖

已知OH⊥面AD₁P，∴AP⊥D₁O(三垂線定理)

（Ⅲ）在DD₁上取||=1，有Q(0,0,1)，作QR⊥AD₁于R，∵RQ∥AB，∴PQ∥面ABD₁，∵AB⊥面AA₁D₁D，∴AB⊥QR，則QR⊥面ABD₁，QR之長是Q到平面ABD₁的距離，

∵S_△ADQ =||·||=]||·||.

即：4·||= 4×3，∴||=.

已證PQ∥ABD₁，∴點(diǎn)P到平面ABP₁的距離為.

點(diǎn)評：雖是“綜合法”證題，但也并非“巷子里趕豬，直來直去”，特別（Ⅱ）,(Ⅲ)兩問，本解都用到了若干轉(zhuǎn)換手法.

2.只須證

右式=

=

=.

∴成立，從而1+

3.先將f (x)化為同一個角的單一三角函數(shù)，得f (x)= -sin+.

當(dāng)x∈時,2x-，故f (x)為，上的減函數(shù),當(dāng)x=時,

［f(x)］_min =，當(dāng)x=時,［f (x)］_max =-.

4.注意到，同理：，，

∴u≥=8.